湖南省常德市屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期檢測(cè)考試試題文

湖南省常德市2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期檢測(cè)考試試題 文（含解析）第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求兩個(gè)集合的交集.【詳解】由，解得；由，解得，故.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的實(shí)部為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，從而得到其實(shí)部.【詳解】，z的實(shí)部為故應(yīng)選B【點(diǎn)睛】數(shù)運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)，則，.3.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲500個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有300個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為 （ ）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】C【解析】【分析】利用面積比列方程，解方程求得黑色部分的面積.【詳解】設(shè)黑色部分的面積為，則，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面積測(cè)算的問(wèn)題，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4.閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入，則輸出的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】運(yùn)行程序進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)時(shí)，退出程序，輸出的值.【詳解】運(yùn)行程序，判斷否，判斷否，判斷是，輸出，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查計(jì)算程序框圖輸出結(jié)果，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）A. 函數(shù)的周期為B. 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. 將函數(shù)的圖像向右平行移動(dòng)個(gè)單位得到函數(shù)的圖像D. 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，由此得到說(shuō)法不正確的選項(xiàng).【詳解】的最小正周期為，故A選項(xiàng)正確.，故B選項(xiàng)正確. 將函數(shù)的圖像向右平行移動(dòng)個(gè)單位得到函數(shù)，故C選項(xiàng)正確.，故不是的對(duì)稱軸，即D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.所以本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的周期性，考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，考查三角函數(shù)圖像變換，屬于基礎(chǔ)題.6.張丘建算經(jīng)卷上第22題為“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，第1天織了5尺布，現(xiàn)在一月（按30天計(jì)算）共織390尺布.此問(wèn)題中若記該女子一月中的第天所織布的尺數(shù)為，則的值為（ ）A. 56B. 52C. 28D. 26【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出等差數(shù)列的公差，然后利用前項(xiàng)和列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【詳解】等差數(shù)列的首項(xiàng)，設(shè)公差為，故，解得，故.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判斷出小于零數(shù)，然后判斷出到之間的數(shù)，最后判斷出大于的數(shù)，由此得出的大小關(guān)系.【詳解】由于，故，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)比較大小，考查“，”分段法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組，由此求得到的距離.【詳解】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有，故，也即到的距離為.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查中點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.9.如圖，網(wǎng)格線上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，其正視圖，側(cè)視圖均為等邊三角形，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三視圖判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而求得幾何體的體積.【詳解】等邊三角形的高為，由三視圖可知，該幾何體的左邊是一個(gè)三棱錐，右邊是一個(gè)半個(gè)圓錐，由此可求得幾何體的體積為 ，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，考查錐體體積計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)的部分圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析和排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】，定義域?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除兩個(gè)選項(xiàng).，排除D選項(xiàng)，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的判斷，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.11.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且，則的面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得的值，由此求得三角形的面積.【詳解】由正弦定理得，由于，故上式化簡(jiǎn)得，由于是三角形內(nèi)角，故.由余弦定理得，故，所以三角形的面積為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理，考查兩角和的正弦公式以及三角形內(nèi)角和定理，考查方程的思想，屬于中檔題.12.已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，為曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，化簡(jiǎn)求得離心率.【詳解】由于軸，不妨設(shè)，而.故直線的方程分別為，令，求得，由于，故，化簡(jiǎn)得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查直線方程的求法，屬于中檔題.第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分13.設(shè)向量，且，則_【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】，由于，所以，即，解得，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，且滿足，若的最大值為_【答案】8【解析】【分析】畫出可行域，向下平移到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知直線l：kxy+2k10與圓x2+y26交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作直線l的垂線與y軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|，則|CD|_【答案】【解析】【分析】由|AB|，可得r2d22，即，得k，即tan,過(guò)D作DHAC于H，則HDAB，在RtDHC中，計(jì)算CD即可.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心到直線l的距離為d，由|AB|，可得r2d22,d2，即，解得k,直線AC的斜率為，可得tan，過(guò)D作DHAC于H，則HDAB,在RtDHC中，CD.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解直角三角形是關(guān)鍵，屬于中檔題16.已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】【解析】【分析】利用奇偶性求得函數(shù)在時(shí)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.【詳解】設(shè)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故.，故切線方程為，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查切線方程的求法，考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題（本大題共70分 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（）求；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（I）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此求得的值，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式.（II）利用求得的表達(dá)式，由此求得的表達(dá)式，利用分組求和法求的值.【詳解】（）設(shè)等比數(shù)列的公比 即， 解得：或 ，又的各項(xiàng)為正，故 （）設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)和為.由解得. .,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查分組求和法，所以中檔題.18.如圖，在四棱錐中，平面， ，.()證明：平面平面；()若的面積為，求三棱錐的體積.【答案】()證明見解析；().【解析】【分析】（I）利用勾股定理證明，根據(jù)平面證得，由此證得平面 平面.（II）利用三角形的面積列方程求得的長(zhǎng)，然后計(jì)算出三棱錐的體積.【詳解】()在直角梯形中， =， ， , 平面，平面， ，又 平面，又平面，平面 平面 .()設(shè)，=， ,又 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題.19.某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下表所示：捕魚量(單位：噸)頻數(shù)27731根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：晴好天氣(單位：天)頻數(shù)27632（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）（）估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數(shù)；（）若以（）中確定的平均數(shù)作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量.估計(jì)一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內(nèi)的捕魚總量；已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬(wàn)元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí)，每天成本為10萬(wàn)元/艘；若不捕魚，每天成本為2萬(wàn)元/艘，請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元的概率.【答案】（）16噸；（）1168噸；.【解析】【分析】（I）先計(jì)算出總的捕魚量，然后除以，得到平均數(shù).（II） 先計(jì)算出近年晴好天氣數(shù)的平均值，乘以每天捕魚量的平均數(shù)，得到一年捕魚總量的估計(jì)值. 先求得年利潤(rùn)的表達(dá)式，利用年利潤(rùn)不少于列不等式，解不等式求得需要晴好天氣天數(shù)，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)求得概率.【詳解】（）此噸位的捕魚船一天的捕魚量的平均數(shù)為：噸 ,（）此噸位的捕魚船20年的此地的晴好天氣天數(shù)的平均值為：天 又噸所以預(yù)計(jì)一艘上述噸位的捕魚船下一年在捕魚期內(nèi)的捕魚量大約1168噸 .設(shè)每年100天的捕魚期內(nèi)晴好天氣天數(shù)為則年利潤(rùn)為由得：.一艘此種捕魚船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元，即捕魚期內(nèi)的晴好天氣天數(shù)不低于75，又100天捕魚期內(nèi)的晴好天氣天數(shù)不低于75的頻率為預(yù)測(cè)一艘此種捕魚船年利潤(rùn)不少于1600萬(wàn)元的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由頻數(shù)分布計(jì)算平均數(shù)，考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.（I）求橢圓的方程；(II)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn) (均異于點(diǎn))，試探求直線與的斜率之和是否為定值，證明你的結(jié)論.【答案】（I）；(II) 證明見解析.【解析】【分析】（I）根據(jù)離心率和三角形的周長(zhǎng)列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值，從而求得橢圓方程.（II）先求得直線斜率不存在時(shí)，與得斜率之和.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，利用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，化簡(jiǎn)后得到.由此判斷出直線與的斜率之和為定值.【詳解】（）由題設(shè)知，由橢圓的定義知：的周長(zhǎng)為，解得. 故因此，所以橢圓的方程為. （）由題設(shè)知，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)，則. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得.由題意知，因此設(shè)，則， 故有直線的斜率之和為即直線的斜率之和為定值2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查斜率公式，考查運(yùn)算和求解能力，所以中檔題.21.已知函數(shù).()討論函數(shù)的單調(diào)性；()設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍.【答案】() (1)若，在上單調(diào)遞增；(2)若，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減； ().【解析】【分析】（I）先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定義域，然后對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)性.（II）將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意的恒成立”，根據(jù)（I）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立，求得的取值范圍.【詳解】() ,(1)若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)若，由得；由得 函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. ()由題設(shè)，對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立即對(duì)任意的恒成立 ,由()可知，若，則，不滿足恒成立,若，由()可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. ，又恒成立，即, 設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，解得的取值范圍為 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)），.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I）寫出曲線與圓的極坐標(biāo)方程；（II）在極坐標(biāo)系中，已知射線分別與曲線及圓相交于，當(dāng)時(shí)，求的最大值.【答案】（I）,；（II）.【解析】【分析】（I）將曲線參數(shù)消去轉(zhuǎn)化為普通方程，然后轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式將圓的普通方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.（II）由于兩個(gè)三角形的高相同，故將面積的比轉(zhuǎn)化為，將代入曲線和圓的極坐標(biāo)方程，求得，由此求得的表達(dá)式，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并根據(jù)三角函數(shù)的值域，求得的最大值.【詳解】()曲線的普通方程為，由普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式的的極坐標(biāo)方程為：，即. 曲線的極坐標(biāo)方程為： . ()因?yàn)榕c以點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)，它們的高相同，即 ,由()知，所以 ,由得，所以當(dāng)即時(shí)，有最大值為,因此 的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，考查三角形面積的比，考查極坐標(biāo)系下長(zhǎng)度的計(jì)算，屬于中檔題.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)，.()當(dāng)，求不等式的解集；()若函數(shù)滿足，且恒成立，求的取值范圍.【答案】()；