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泰勒級數(shù)的定義:若函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),則在該鄰域內(nèi)f(x)的n階泰勒公式為:其中:,稱為拉格朗日余項(xiàng)。以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。泰勒級數(shù)在冪級數(shù)展開中的作用:在泰勒公式中,取,得:這個(gè)級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)。函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)是x的冪級數(shù),那么這種展開是唯一的,且必然與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致。注意:如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)的某一臨域內(nèi)收斂,它不一定收斂于f(x)。因此,如果f(x)在處有各階導(dǎo)數(shù),則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能做出來,但這個(gè)級數(shù)能否在某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂,以及是否收斂于f(x)都需要進(jìn)一步驗(yàn)證。 幾個(gè)重要的泰勒級數(shù)。參數(shù)x 為復(fù)數(shù)時(shí)它們依然成立。 指數(shù)函數(shù)和自然對數(shù): 幾何級數(shù): 二項(xiàng)式定理: 三角函數(shù): 雙曲函數(shù): 朗伯W函數(shù):
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