高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)18空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

考點(diǎn)18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積 1.（2010陜西高考理科7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 2 【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中等題。【思路點(diǎn)撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積【規(guī)范解答】選C 由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長分別為和1的直角三角形，棱柱的高為，所以該幾何體的體積2.（2010遼寧高考文科11）已知SABC是球O表面上的點(diǎn)，SA平面ABC,ABBC，SA=AB=1 BC=,則球O的表面積等于（ ）（A）4(B）3(C)2(D) 【命題立意】本題考查了空間是兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式?！舅悸伏c(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系球心坐標(biāo)球的半徑球的表面積【規(guī)范解答】選A。平面ABC，AB，AC平面ABC，故可以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為軸，AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則,設(shè)球心O坐標(biāo)為，則點(diǎn)O到各頂點(diǎn)SABC的距離相等，都等于球的半徑R。，解得，球的表面積為。故選A。【方法技巧】1、選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，2、也可用另外的方法找到球心，因為ABC是直角，所以AC是過A、B、C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因為球心到點(diǎn)SAC的距離都相等，且SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點(diǎn)，球的半徑為SC的一半，3、再一種方法是將三棱錐S-ABC補(bǔ)成一個長方體。3.（2010遼寧高考理科12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（ ） (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系考查空間想象能力和運(yùn)算能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】分兩種情況，一種是邊長為a的棱在一個三角形中，另一種情況時長度為a的棱不在一個三角形中，分別討論?！疽?guī)范解答】選A 對于第一種情況，取BC的中點(diǎn)D連結(jié)PD、AD，則在三角形PAD中，有對于第二種情況同理可以得到綜合兩種情況，及，所以a的取值范圍是（0,）。4.（2010安徽高考理科8）一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為（ ）A、280B、292C、360D、372【命題立意】本題主要考查三視圖知識，考查考生的空間想象能力【思路點(diǎn)撥】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖，進(jìn)而運(yùn)算求解?！疽?guī)范解答】選 C，由幾何體的三視圖可知，該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面積之和。其中下面的長方體的長、寬、高分別為8、10、2, 上面的長方體的長、寬、高分別為6、2、8,所以該幾何體的表面積為，故C正確。【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決此題的關(guān)鍵。由三視圖很容易知道是兩個長方體的組合體，畫出直觀圖，得出各個棱的長度，把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面積之和。5.（2010浙江高考文科8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ）（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【命題立意】本題主要考察了對三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題?！舅悸伏c(diǎn)撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積?！疽?guī)范解答】選B。此幾何體上方為正四棱柱、下方為正四棱錐。所以其體積為。【方法技巧】對于不規(guī)則幾何體求體積時可分幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和。6.（2010北京高考理科3）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為（ ）（A）（B）（C）（D）【命題立意】本題考查三視圖知識，考查同學(xué)們的空間想象能力。【思路點(diǎn)撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖?！疽?guī)范解答】選C。由主、左視圖可知直觀圖如圖所示：因此，俯視圖是（C）。7.（2010北京高考理科8）如圖，正方體ABCD-的棱長為2，動點(diǎn)E、F在棱上，動點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），則四面體PE的體積（ ）（）與，都有關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)【命題立意】本題考查幾何體體積的求法，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高。考查空間想象能力，運(yùn)算能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】把PEFQ的體積表示出來。由于中，Q到EF的距離為側(cè)面的對角線長，故選擇為底面。點(diǎn)P到的距離，即是點(diǎn)P到對角面的距離?！疽?guī)范解答】選D。，點(diǎn)P到平面EFQ的距離為， 。因此體積只與有關(guān)，而與無關(guān)。8.（2010北京高考文科8）如圖，正方體的棱長為2，動點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（ ）（A）與x，y都有關(guān)； （B）與x，y都無關(guān)；（C）與x有關(guān)，與y無關(guān)； （D）與y有關(guān)，與x無關(guān)；【命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高。【思路點(diǎn)撥】把EFQ看作底面，點(diǎn)P到對角面的距離即為對應(yīng)的高?！疽?guī)范解答】選C。，點(diǎn)P到平面EFQ的距離為。9.（2010 海南寧夏高考理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.【思路點(diǎn)撥】找出球與棱柱的相對關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關(guān)系.【規(guī)范解答】選.設(shè)球心為，設(shè)正三棱柱上底面為，中心為，因為三棱柱所有棱的長都為，則可知 ，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選.11110.（2010福建高考文科3）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（ ）A. B.2 C. D.6【命題立意】本題考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積。【思路點(diǎn)撥】把三視圖恢復(fù)成直觀圖，求出各個側(cè)面的側(cè)面積，進(jìn)為求出總的側(cè)面積?！疽?guī)范解答】選D，三棱柱的直觀圖如下：底面為邊長2的正三角形，側(cè)棱長為1的正三棱柱，。11.（2010廣東高考理科6）如圖1， ABC為三角形，/, 平面ABC且3= =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱主視圖）是（ ）ABCD 【命題立意】本題考察三視圖的畫法?！舅悸伏c(diǎn)撥】可由投影的方法得到。【規(guī)范解答】選由/及3=可得四邊形的投影為梯形，再由3= =AB及底面為三角形可得正視圖為。12.（2010 海南寧夏高考理科T14）正視圖為一個三角形的幾何體可以是 (寫出三種)【命題立意】本題主要考查空間幾何體的三視圖的相關(guān)知識.【思路點(diǎn)撥】一般來說，椎體的正視圖中才會出現(xiàn)三角形.【規(guī)范解答】由幾何體的三視圖可知，正視圖為三角形的可以是三棱錐、圓錐、四棱錐等.【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐（不唯一）13.（2010天津高考文科2）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識，和柱體體積的計算，屬于容易題?！舅悸伏c(diǎn)撥】由三視圖還原幾何體的形狀?！疽?guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則正視圖和俯視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個試圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何題的體積為【答案】3【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖，進(jìn)行充分的空間想象，綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法。14.（2010湖南高考文科13）圖2中的三個直角三角形是一個體積為20cm2的幾何體的三視圖，則h= cm【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力。【思路點(diǎn)撥】三視圖直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖，得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1DDA，D1DDC，且DC=5，DA=6，則V=DADCh=20,h=4【答案】4【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，常常利用長方體為載體分析。常常注意三個方面：虛線和實線，面高和體高，垂直。15.（2010遼寧高考理科15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為_. 【命題立意】考查了幾何體的三視圖和幾何體中的簡單計算?！舅悸伏c(diǎn)撥】由三視圖做出該幾何體的直觀圖，判斷出最長的棱，計算得出答案?！疽?guī)范解答】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，（如圖）底面ABCD是正方形，邊長是2，高PC2，所以最長的棱是PA，長為?！敬鸢浮?6.（2010浙江高考理科12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是_.【命題立意】本題考查三視圖、體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】先由三視圖想象出直觀圖，再分解求體積?！疽?guī)范解答】該幾何體的直觀圖：上面是一個正四棱柱（底面邊長4，高2），下面是一個四棱臺（上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為3）。因此，其體積為：?！敬鸢浮?44【方法技巧】（1）在由三視圖畫直觀圖時，要注意三視圖中的尺寸與直觀圖中尺寸間的對應(yīng)關(guān)系；（2）求復(fù)雜幾何體的體積一般先把它分成幾個簡單的幾何體，再分別求體積；17.（2010天津高考理科2）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 【命題立意】考查三視圖的概念及錐體的體積公式?！舅悸伏c(diǎn)撥】由三視圖還原幾何體的形狀?！疽?guī)范解答】由三視圖可得該幾何體是一個組合體，上面是一個高為1的正四棱錐，其底是邊長為2的正方形，下面是一個長為1、寬為1、高為2的長方體，所以所求幾何體的體積為?！敬鸢浮俊痉椒记伞扛鶕?jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖，進(jìn)行充分的空間想象，綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法。11118.（2010福建高考理科12）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于 。【命題立意】本題主要考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積?！舅悸伏c(diǎn)撥】 把三視圖恢復(fù)稱直觀圖，求出上下底面和各個側(cè)面的側(cè)面積，進(jìn)為求出表面積?！疽?guī)范解答】三棱柱的直觀圖為底面為邊長2的正三角形，側(cè)棱長為1的正三棱柱，?！敬鸢浮?9（2010湖南高考理科4）圖3中的三個直角