江蘇省海安高級中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題

江蘇省海安高級中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題）1.已知集合，則_【答案】【解析】【分析】利用交集定義直接求解【詳解】集合，故答案為：【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第_象限【答案】四【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，求出的坐標(biāo)得答案【詳解】，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第四象限故答案為：四【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題3.為了解某一段公路汽車通過時的車速情況，現(xiàn)隨機(jī)抽測了通過這段公路的200輛汽車的時速，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的200輛汽車中，時速在區(qū)間內(nèi)的汽車有_輛【答案】80【解析】試題分析：時速在區(qū)間內(nèi)的汽車有考點：頻率分布直方圖4.袋中裝有5個大小相同的球，其中3個黑球，2個白球，從中一次摸出2個球，則摸出1個黑球和1個白球的概率等于_【答案】【解析】分析：通過枚舉法寫出摸出2個球的所有情況，再找出摸出1個黑球和1個白球的情況，由此能求出概率.詳解：設(shè)3個黑球用A，B，C表示；2個白球用甲，乙表示，摸出2個球的所有情況：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10種，其中摸出1個黑球和1個白球的情況有6種，所以，摸出1個黑球和1個白球的概率為.故答案為.點睛：本題考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解題時要注意枚舉法的合理運用.5.在一次知識競賽中，抽取5名選手，答對的題數(shù)分布情況如表，則這組樣本的方差為_答對題數(shù)48910人數(shù)分布1121【答案】【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)和方差即可【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)為，方差為故答案為：【點睛】本題考查了平均數(shù)與方差的計算問題，熟記計算公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題6.如圖所示的算法流程圖中，最后輸出值為_【答案】25【解析】分析：由流程圖可知，該算法為先判斷后計算的當(dāng)型循環(huán)，模擬執(zhí)行程序，即可得到答案.詳解：程序執(zhí)行如下15輸出 故不成立時，.故答案為25.點睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷循環(huán)的類型和終止循環(huán)的條件是解題關(guān)鍵7.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面若，則，若，則；若，則；若，則上述命題中為真命題的是_填寫所有真命題的序號【答案】【解析】【分析】由線面垂直的判定定理可知正確；與n可能平行可能相交；與n可能平行或異面；由線面平行的性質(zhì)定理可知正確【詳解】選項正確，由線面垂直的判定定理可知：若，則；選項錯誤，若，則m與n可能平行可能相交；選項錯誤，若，則m與n可能平行或異面； 選項正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知：若，則故答案為：【點睛】本題考查命題真假的判斷，涉及線面位置關(guān)系的確定，熟記基本定理，準(zhǔn)確推理是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題8.公元五世紀(jì)張丘建所著張丘建算經(jīng)卷22題為：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何”題目的意思是：有個女子善于織布，一天比一天織得快每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布5尺，一個月天共織布9匹3丈，則該女子每天織尺布的增加量為_尺匹丈，1丈尺【答案】【解析】分析：設(shè)該女子織布每天增加尺，由等差數(shù)列前項和公式求出即可.詳解：設(shè)該女子織布每天增加尺， 由題意知，尺，尺 又由等差數(shù)列前項和公式得，解得尺故答案為點睛：本題考查等差數(shù)列的實際應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列性質(zhì)的合理運用.9.若，則_【答案】【解析】【分析】，可得，利用和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其倍角公式即可得出【詳解】，化為：，解得，故答案為：【點睛】本題考查了余弦和正切和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題10.如圖，已知O為矩形ABCD內(nèi)的一點，且，則_【答案】【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件得出O，C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，再計算的值【詳解】以A為原點，以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理可得：又，故答案為：【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，建立坐標(biāo)系是突破點，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬于中檔題11.已知關(guān)于x的方程在上有三個相異實根，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】分析：將方程問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)與的圖象在上有三個不同交點.根據(jù)函數(shù)圖象可以求出答案.詳解：方程在上有3個相異實根，函數(shù)與的圖象在上有三個不同交點，在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，由圖象可知，在上，函數(shù)與有兩個不同的交點，在上，函數(shù)與有一個交點 ，聯(lián)立，整理得， ，即，解得實數(shù)的取值范圍為故答案為點睛：本題主要考查方程的根與函數(shù)圖象交點的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想以及分析問題解決問題的能力.12.已知，且，則的最小值等于_【答案】11【解析】分析：構(gòu)造基本不等式模型，化簡整理，應(yīng)用基本不等式，即可得出答案.詳解： ， ， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 的最小值等于11.故答案為11.點睛：本題考查基本不等式的性質(zhì)與應(yīng)用，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的運用.13.如圖，已知，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點不含端點A，B，且，則的最大值為_【答案】4【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得A，B，C的坐標(biāo)，可得以AB為直徑的半圓方程，以AC為直徑的半圓方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算可得最大值【詳解】以A為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得，以AB為直徑的半圓方程為，以AC為直徑的半圓方程為，設(shè)，可得，即有，即為，即有，又，可得，即，則，可得，即，時，的最大值為4故答案為：4【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算問題，也考查了圓的方程與應(yīng)用問題，建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量是解題的關(guān)鍵14.若關(guān)于x的不等式對任意的實數(shù)及任意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題意可得先對b恒成立，即為，再由參數(shù)分離和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性和最值，即可得到所求a的范圍【詳解】關(guān)于x的不等式對任意的實數(shù)及任意的實數(shù)恒成立，先看成b的一次函數(shù) ，可得 即為，可得恒成立，設(shè)，可得時，遞增；時，遞減，又，可得在的最小值為，可得即有a的范圍是故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立問題解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題二、解答題（本大題共6小題）15.已知內(nèi)接于單位圓，且，求角C求面積的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】變形已知條件可得，代入可得，可得C值；由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab的取值范圍，進(jìn)而可得面積的最值【詳解】，的外接圓為單位圓，其半徑由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，“=”成立，的面積，面積的最大值為：【點睛】本題考查兩角和與差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，熟記定理，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，屬中檔題16.（本小題滿分14分）如圖，在四面體中，點是的中點，點在線段上，且（1）若平面，求實數(shù)的值；（2）求證：平面平面【答案】 詳見解析【解析】試題分析：（1）已知線面平行，可利用其性質(zhì)定理，將其轉(zhuǎn)化為線線平行，得比例等量關(guān)系：因為平面，易得平面，平面 平面，所以，又點是的中點，點在線段上，所以點為的中點，由得（2）證面面垂直，關(guān)鍵證線面垂直，由題意分析證平面，這是因為，點E是BC的中點，所以，又，平面，所以平面試題解析：解：（1）因為平面，易得平面，平面 平面，所以，又點是的中點，點在線段上，所以點為的中點，由得； 7分（2）因為，點E是BC的中點，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以平面平面AED 14分考點：線面平行性質(zhì)定理，面面垂直判定定理17.如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內(nèi)部一點，于，于，且，. 現(xiàn)要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.（1）設(shè)，試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù)，并指明的取值范圍；（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)時，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關(guān)系，得出和，進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式，再結(jié)合已知尺寸條件，確定角的范圍. （2）根據(jù)正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數(shù)表達(dá)式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應(yīng)的點在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因為，所以，所以，在直角中，因為，所以，所以，所以 ，.（2）因為 ，令，由，得，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，此時，答：當(dāng)時，四邊形材料的面積最小，最小值為.點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，注意換元法和基本不等式的合理運用.換元法求函數(shù)的值域，通過引入新變量（輔助式，輔助函數(shù)等），把所有分散的已知條件聯(lián)系起來，將已知條件和要求的結(jié)果結(jié)合起來，把隱藏在條件中的性質(zhì)顯現(xiàn)出來，或把繁瑣的表達(dá)式簡化，之后就可以利用各種常見的函數(shù)的圖象和性質(zhì)或基本不等式來解決問題.常見的換元方法有代數(shù)和三角代換兩種.要特別注意原函數(shù)的自變量與新函數(shù)自變量之間的關(guān)系.18.已知橢圓E：，直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與E有兩個交點A，B，線段AB的中點為M若，點K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過點，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由【答案】（1） （2）見證明；（3）見解析【解析】【分析】，橢圓E：，兩個焦點，設(shè)，求出的表達(dá)式，然后求解范圍即可設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，利用點差法轉(zhuǎn)化求解即可直線l過點，直線l不過原點且與橢圓E有兩個交點的充要條件是且設(shè)，設(shè)直線，代入橢圓方程，通過四邊形OAPB為平行四邊形，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】，橢圓E：，兩個焦點，設(shè)，的范圍是設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為，則兩式相減，得，即，故；設(shè)，設(shè)直線，即，由的結(jié)論可知，代入橢圓方程得，由與，聯(lián)立得若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，即，整理得解得，經(jīng)檢驗滿足題意所以當(dāng)時，四邊形OAPB為平行四邊形【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，點差法，直線與橢圓的交點，考查分析問題解決問題的能力，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題19.已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，且曲線在其與y軸的交點處的切線記為，曲線在其與x軸的交點處的切線記為，且求，之間的距離；若存在x使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍；對于函數(shù)和的公共定義域中的任意實數(shù)，稱的值為兩函數(shù)在處的偏差求證：函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2【答案】（1）（2）（3）見證明【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題意求出a的值，求出，的解析式，求出平行線間的距離即可；令，問題轉(zhuǎn)化為，求出m的范圍即可；法一：令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，證明即可；法二：令，令，；令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【詳解】，的圖象與坐標(biāo)軸的交點為，的圖象與坐標(biāo)軸的交點為，由題意得，即，又，函數(shù)和的圖象在其坐標(biāo)軸的交點處的切線方程分別為：，兩平行切線間的距離為由，得，故在有解，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，故，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，即實數(shù)m的取值范圍為解法一：函數(shù)和的偏差為：，設(shè)為的解，則則當(dāng)，；當(dāng)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故F，即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于解法二：由于函數(shù)和的偏差：，令，；令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式有解問題，考查新定義，正確求導(dǎo)，理解新定義是解題的關(guān)鍵，是難題20.設(shè)數(shù)列的前n項和為，求數(shù)列的通項公式；設(shè)數(shù)列滿足：對于任意的，都有成立求數(shù)列的通項公式；設(shè)數(shù)列，問：數(shù)列中是否存在三項，使得它們構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由【答案】(1)，.(2)，.見解析.【解析】分析：（1）當(dāng)時，類比寫出，兩式相減整理得，當(dāng)時，求得，從而求得數(shù)列的通項公式.； （2）將代入已知條件，用與（1）相似的方法，變換求出數(shù)列的通項公式； 由的通項公式分析，得，假設(shè)存在三項，成等差數(shù)列，且，則，即，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，化簡得，將或代入已知條件，即可得到結(jié)論.詳解：解：（1）由， 得， 由-得，即，對取得，所以，所以為常數(shù)，所以為等比數(shù)列，首項為1，公比為，即，. （2）由，可得對于任意有， 則， 則， 由-得，對取得，也適合上式，因此，.由（1）（2）可知，則，所以當(dāng)時，即，當(dāng)時，即在且上單調(diào)遞減，故，假設(shè)存在三項，成等差數(shù)列，其中，由于，可不妨設(shè)，則（*），即，因為，且，則且，由數(shù)列的單調(diào)性可知，即，因為，所以，即，化簡得，又且，所以或，當(dāng)時，即，由時，此時，不構(gòu)成