江蘇蘇北四高三數(shù)學第一次質量檢測期末

江蘇省蘇北四市2020屆高三數(shù)學上學期第一次質量檢測（期末）試題（含解析）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1.已知集合，則_.答案： 解：由題意直接求解即可得2.已知復數(shù)滿足，且的虛部小于0，則_.答案：解: ,則，又因為的虛部小于0，則3.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則該組數(shù)據(jù)的方差是_.答案：解： 解得，4.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結果為_.答案：20 5.函數(shù)的定義域為_.答案：解：由題意得：，解得，所以函數(shù)的定義域為6.某學校高三年級有兩個自習教室，甲、乙、丙3名學生各自隨機選擇其中一個教室自習，則甲、乙兩人不在同一教室上自習的概率為_.答案：解：7.若關于的不等式的解集是，則實數(shù)的值為_.答案：4解：由題意得：，解得8.在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數(shù)的值為_.答案：解：由題意得：雙曲線右準線與漸近線的交點為，代入得：9.已知等差數(shù)列的前項和為，則的值為_.答案：135解：，則，解得：，因為10.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相鄰的三個交點分別是，則的面積為_.答案：11.在平面直角坐標系中，已知圓，圓與圓外切與點，且過點，則圓的標準方程為_.答案：12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關于直線對稱，當時，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若，則實數(shù)的值為_.答案：3解：由題意得： ，解得：13.如圖，在中，是上的兩個三等分點，則的最小值為_.答案：解：14.設函數(shù)，其中.若恒成立，則當取得最小值時，的值為_.答案：方法一：所以當且僅當，時，上述等號成立，所以取最小值時，.方法二：由對稱性可知，最小時，且所以，即，則二、解答題：本大題共6小題，共計90分請在答題卡指定區(qū)域內作答解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. （本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點，平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面. 解：（1）在中，因為M，N分別為棱PB，PC的中點， 所以MN/ BC 3分 又MN平面AMN，BC平面AMN， 所以BC/平面AMN6分（2） 在中，因為，M為棱PB的中點，所以8分 又因為平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC，平面PAB， 所以平面PBC12分 又平面AMN，所以平面AMN平面PBC 14分16. （本小題滿分14分）在中，角的對邊分別為，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）在中，由余弦定理得，即， 4分解得或（舍），所以 6分（2）由及得，8分所以，又因為，所以，從而，12分所以14分17. （本小題滿分14分）如圖，在圓錐中，底面半徑為3，母線長為5.用一個平行于底面的平面區(qū)截圓錐，截面圓的圓心為，半徑為，現(xiàn)要以截面為底面，圓錐底面圓心為頂點挖去一個倒立的小圓錐，記圓錐的體積為.（1）將表示成的函數(shù)；（2）求得最大值.解：（1）在中， 2分由可知，所以，4分所以，所以7分（2）由（1）得，所以，令，得，9分當時，所以在上單調遞增；當時，所以在上單調遞減所以當時，取得最大值答：小圓錐的體積的最大值為14分18. （本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的右頂點為,過點作直線與圓相切，與橢圓交于另一點，與右準線交于點.設直線的斜率為.（1）用表示橢圓的離心率；（2）若,求橢圓的離心率.（1）直線l的方程為，即，因為直線l與圓相切，所以，故所以橢圓的離心率4分（2）設橢圓的焦距為，則右準線方程為，由得，所以，6分由得，解得，則，所以，10分因為，所以，即，12分由（1）知，所以，所以，即，所以，故橢圓的離心率為16分19. （本小題滿分16分）已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）若的導函數(shù)存在兩個不相等的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，是否存在整數(shù)，使得關于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.解：（1），因為曲線在點處的切線方程為，所以，得2分（2）因為存在兩個不相等的零點 所以存在兩個不相等的零點，則 當時，所以單調遞增，至多有一個零點4分當時，因為當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以時， 6分因為存在兩個零點，所以，解得7分因為，所以因為，所以在上存在一個零點 8分因為，所以因為，設，則，因為，所以單調遞減，所以，所以，所以在上存在一個零點綜上可知，實數(shù)的取值范圍為10分（3）當時，設，則所以單調遞增，且，所以存在使得，12分因為當時，即，所以單調遞減；當時，即，所以單調遞增，所以時，取得極小值，也是最小值，此時，14分因為，所以，因為，且為整數(shù)，所以，即的最大值為16分20. （本小題滿分16分）已知數(shù)列的首項，對任意的,都有，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列.（1）求實數(shù)的值；（2）設，數(shù)列的前項和為，求所有正整數(shù)的值，使得恰好為數(shù)列中的項.解：（1）由，可知，因為為等比數(shù)列，所以，即，即，解得或，2分當時，所以，則，所以數(shù)列的公比為1，不符合題意；當時，所以數(shù)列的公比，所以實數(shù)的值為 4分（2）由（1）知，所以則，6分則，因為，又，且，所以，則，設，8分則或為偶數(shù)，因為不可能，所以或為偶數(shù)，當時，化簡得，即，所以可取值為1，2，3，驗證得，當時，成立12分當為偶數(shù)時，設，則，由知，當時，；當時，所以，所以的最小值為，所以，令，則，即，無整數(shù)解綜上，正整數(shù)m的值16分徐州市2019-2020學年度高三年級第一次質量檢測數(shù)學（附加題）21【選做題】本題包含A、B、C小題，請選定其中兩題，并在答題卡相應的答題區(qū)域內作答.若多做，則按作答的前兩題評分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修42：矩陣與變換 （本小題滿分10分）已知矩陣 的一個特征值為4，求矩陣的逆矩陣.解：矩陣的特征多項式為2分因為矩陣的一個特征值為4，所以，所以5分所以，所以10分B選修44：坐標系與參數(shù)方程 （本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在曲線上點,使點到的距離最小，并求出最小值.解：由，及，所以的直角坐標方程為 2分在曲線上取點，則點到的距離，6分當時，取最小值，8分此時點的坐標為10分C選修45：不等式選講 （本小題滿分10分）已知正數(shù)滿足，求的最小值.解：因為都為正數(shù)，且，所以由柯西不等式得，5分，當且僅當時等號成立，所以的最小值為310分第22題、第23題，每題10分，共計20分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.（本小題滿分10分）如圖，在三棱柱中，側面為正方形，側面為菱形，平面平面.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.解：（1）因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，（第22題）BACxyzB1A1C1平面，所以平面. 2分以點為坐標原點，分別以,所在的直線為,軸，建立如圖所示的空間直角坐標系. 不妨設正方形的邊長為2，則， 在菱形中，因為，所以，所以因為平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為6分（2）由（1）可知，所以 設平面的一個法