高二數(shù)學(xué)選修21知識復(fù)習(xí)一人教實驗B

高二數(shù)學(xué)選修2-1知識復(fù)習(xí)一一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 選修21知識復(fù)習(xí)（一）二. 教學(xué)目的：通過對選修21各章節(jié)重點知識分析及例題講解，加強(qiáng)對本冊知識的掌握。三. 教學(xué)重點、難點：重點問題專題講解四. 知識分析（一）充分條件與必要條件充分條件與必要條件是對命題進(jìn)行研究的重要途徑，因而這部分知識是高考的必考內(nèi)容。高考一般以選擇題形式出現(xiàn)，考查同學(xué)們的邏輯推理能力，往往與其他知識結(jié)合起來考查。一、應(yīng)用充分條件、必要條件、充要條件時需注意的問題1. 充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時，要注意以下幾點：（1）確定條件是什么，結(jié)論是什么；（2）嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；（3）確定條件是結(jié)論的什么條件；（4）要證明命題的條件是充要的，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立。證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性。2. 對于充要條件，要熟悉它的同義詞語。在解題時常常遇到與充要條件同義的詞語，如“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須且只需”，“等價于”，“反過來也成立”，準(zhǔn)確地理解和使用數(shù)學(xué)語言，對理解和把握數(shù)學(xué)知識是十分重要的。二、典型例題 例1. 是否存在實數(shù)p，使“”是“”的充分條件？如果存在，求出p的取值范圍。分析：“”是條件，“”是結(jié)論，先解出這兩個不等式，再探究符合條件的p的范圍。解：的解是或由得要使時，或成立，必須有，即。當(dāng)時，有所以當(dāng)時，“”是“”的充分條件。點評：本題用集合的包含關(guān)系去理解要容易解答，注意結(jié)合數(shù)軸來確定p的范圍。 例2. 求證：直線與圓相切的充要條件是：。分析：本題的條件是“”，結(jié)論是“直線與圓相切”。證明過程主要運用方程（組）思想。證明：必要性：由方程組得：因為直線與圓相切，所以方程必有兩相等實根。故即充分性：若，由得：判別式所以直線與圓相切。點評：證明充要條件首先要識別什么是條件，什么是結(jié)論，然后再證明條件的充分性（即條件結(jié)論）和條件的必要性（即結(jié)論條件）。（二）命題及其關(guān)系一、基礎(chǔ)知識梳理 1. 命題：可以判斷真假的語句叫做命題。 2. 四種命題。原命題：如果p，那么q（或若p，則q）；逆命題：如果q，則p；否命題：如果，則；逆否命題：如果q，則p。注：原命題與它的逆否命題同為真假，原命題的逆命題與它的否命題同為真假，所以對一些命題的真假判斷（或推證），我們可通過與它同真假的（具有逆否關(guān)系的）命題來判斷（或推證）。二、典例剖析 例1. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，有下列三個命題：如果存在常數(shù)M，使得對任意，有，則M是函數(shù)的最大值；如果存在，使得對任意，且，有，則是函數(shù)的最大值；如果存在，使得對任意，有，則是函數(shù)的最大值。這些命題中，真命題的個數(shù)是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：錯。原因：“=”可能取不到。，都正確。故選C。 例2. 如果a、b、cR，寫出命題“如果ac2由q知，解得因為“p或q”為真，“p且q”為假，所以p為真，q為假；若p為假，q為真。即；或解得或即為所求。評注：該例涉及一元二次方程、一元二次不等式（組）、補(bǔ)集以及“p或q”，“p且q”兩類命題的判斷等知識。解答時，應(yīng)注意層層推進(jìn)，先將p，q化簡，然后依題設(shè)條件“p或q”為真，“p且q”為假，推導(dǎo)出所有可能情況。（四）全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞是新課標(biāo)中的新增內(nèi)容，在以往的高考中沒有出現(xiàn)，為了體現(xiàn)新課標(biāo)的精神，在今后的高考中一定會有體現(xiàn)，預(yù)計主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，并且是和其他知識結(jié)合起來進(jìn)行考查。一、全稱量詞概念：短語“對所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示。注意：（1）將含有變量x的語句用，表示，變量x的取值范圍用M表示，那么，全稱命題“對M中任意一個x，有成立”，可簡記為“，”。（2）全稱命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題。（3）要判斷全稱命題是真命題，需對集合M中每個元素x，證明成立；如果在集合M中找到一個元素，使得不成立，那么這個全稱命題就是假命題。二、存在量詞概念：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“”表示。注意：（1）存在性命題“存在M中的一個x，使成立”，可用符號簡記為“，”。（2）存在性命題就是陳述在某集合中（存在）一些元素具有某性質(zhì)的命題。（3）要判斷一個存在性命題是真命題，只要在限定的集合M中，能找到一個，使成立即可；否則，這一存在性命題就是假命題。三、含有一個量詞的命題的否定全稱命題p：，它的否定是：，全稱命題的否定是存在性命題。存在性命題，它的否定是，存在性命題的否定是全稱命題。四、范例點評 例1. 下列語句是不是全稱命題或者存在性命題：（1）有一個實數(shù)m，m不能取對數(shù)；（2）三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？（3）所有不等式的解集A，都有。分析：利用全稱命題與存在性命題的概念來判定。解：（1）存在性命題（2）不是命題。（3）全稱命題。評注：（2）由于不是命題，當(dāng)然就不是全稱命題或者存在性命題了。 例2. 寫出下列命題的否定并判斷其真假。（1）p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；（2）p：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180；（3）p：某些梯形的對角線互相平分。分析：首先要弄清楚命題是全稱命題還是存在性命題，再針對不同形式加以否定。解：（1）：存在末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除，假命題。（2）：任何一個三角形，它的內(nèi)角和不大于180，真命題。（3）：任一梯形的對角線都不互相平分，真命題。（五）曲線與方程在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程F（x，y）=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。曲線與方程部分重點是曲線的方程與方程的曲線的概念以及理解和掌握求曲線方程的步驟。難點是曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系的理解和求曲線方程方法的掌握。下面通過幾例來體驗一下如何突破曲線與方程的重難點。 例1. 如果曲線l上的點的坐標(biāo)滿足F（x，y）=0，則以下說法正確的是（ ）A. 曲線l的方程是F（x，y）=0B. 方程F（x，y）=0的曲線為lC. 坐標(biāo)不滿足方程F（x，y）=0的點不在曲線l上D. 坐標(biāo)滿足方程F（x，y）=0的點在曲線l上分析：從“曲線的方程”和“方程的曲線”兩方面判斷。解法一：原說法寫成命題形式即“若點M（x，y）是曲線l上的點，則M點的坐標(biāo)滿足方程F（x，y）=0”。其逆否命題為“若M點的坐標(biāo)不適合方程F（x，y）=0，則M點不在曲線l上”，此即說法C。解法二：作如圖所示的曲線l，考查l與方程F（x，y）=的關(guān)系，顯然A、B、D的說法全不正確。故選C。點評：本例給出了判定方程和曲線對應(yīng)關(guān)系的兩種方法等價轉(zhuǎn)換法（解法一）和特值法（解法二），其中特值法應(yīng)引起同學(xué)們的重視。 例2. 如圖所示，線段AB與CD互相垂直平分于點O，（b0），動點P滿足，求動點P的軌跡方程。分析：本題需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后將已知條件用坐標(biāo)表示。解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線AB，CD分別為x軸、y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）是曲線上的任意一點。則A（a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，b）由題意知：所以化簡得：即動點P的軌跡方程為。點評：本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，本題的建系方法，運算量較小。若建系不恰當(dāng)，計算量會大大增加，有時很可能得不出正確的結(jié)果。 例3. 過定點A（a，b）任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于M點，l2與y軸交于N點，求線段MN中點P的軌跡方程。分析：題目給出了3個條件：A（a，b），l1l2，點M，N?？蓮牟煌慕嵌热シ治?個條件之間的聯(lián)系。解法一：當(dāng)直線AM斜率存在時，設(shè)P（x，y），則M（2x，0），N（0，2y）。于是因為l1l2，所以化簡得：。當(dāng)直線AMx軸時，MN的中點坐標(biāo)為（）也滿足上述方程。故所求點P的軌跡方程為。解法二：設(shè)P（x，y），M（，0），N（0，）則因為l1l2，所以。化簡得故所求點P的軌跡方程為解法三：（1）當(dāng)l1不平行于y軸時，設(shè)l1的斜率為，依題意。因為l1l2，所以l2的斜率為。l1的方程為l2的方程為在中令y=0，得M點的橫坐標(biāo)。在中令x=0，得N點的縱坐標(biāo)。設(shè)MN中點P的坐標(biāo)為（x，y），即消去k1得：（2）當(dāng)l1平行于y軸時，MN的中點坐標(biāo)為（），其坐標(biāo)也滿足上述方程。故所求點P的軌跡方程為。（六）橢圓平面內(nèi)與兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓。橢圓部分的重點是橢圓的定義及相關(guān)概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)。難點是利用橢圓的定義解題，求橢圓的方程，橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用。下面通過幾例來體驗一下如何突破橢圓的重難點。 例1. 在ABC中，BC=24，AC，AB邊上的中線長之和等于39，求ABC的重心的軌跡方程。分析：有一定長線段BC，兩邊上的中線長也均與定點B，C以及ABC的重心有關(guān)系，因此考慮以BC的中點為原點建立坐標(biāo)系。解：如圖所示，以線段BC所在直線為x軸、線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)M是ABC的重心，BD是AC邊上的中線，CE是AB邊上的中線，由重心的性質(zhì)知。于是根據(jù)橢圓的定義知，點M的軌跡是以B，C為焦點的橢圓。因為，所以a=13。又，所以。于是故ABC重心的軌跡方程為。評注：解本題的關(guān)鍵是由三角形中線的性質(zhì)推導(dǎo)出動點M到兩個定點距離之和為定值。 例2. 橢圓的左焦點為，點A（，0）和B（0，b）是橢圓的兩個頂點，如果到直線AB的距離為，則橢圓的離心率_。分析：要求e的值，就是要求出a，c的值或a與c的關(guān)系，為此需利用到直線AB的距離為建立方程，從而求解。解：如圖所示，過點F1作F1PAB交AB于P，由面積公式得：。又，所以整理得：所以即解得（舍去）故應(yīng)填。評注：上述解法用了等積變換，也可以利用點到直線的距離公式求解，同學(xué)們不妨考慮一下。 例3. 如圖所示，從橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB與OM平行。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)Q是橢圓上的任意一點，是右焦點，求的取值范圍；（3）設(shè)Q是橢圓上一點，當(dāng)時，延長與橢圓交于另一點P，若的面積為，求此時橢圓的方程。分析：要求離心率e，可由，尋找a，b，c之間的關(guān)系；要求的取值范圍，可考慮在中，用余弦定理求解；要求橢圓的方程，可利用的面積為的條件，由，求出直線PQ的斜率，進(jìn)而求出|PQ|，利用點到直線的距離求出的高，問題就得到解決了。解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則M（）因為，所以所以。故。（2）設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立。所以。即。（3）因為，所以可設(shè)橢圓方程為因為PQAB，所以所以直線PQ的方程為代入橢圓方程，得所以因為點F1到直線PQ的距離所以。由，得故所求橢圓方程為評注：本題主要考查橢圓的定義與性質(zhì)、直線方程、點到直線的距離、解三角形、不等式等知識，綜合性較強(qiáng)。（七）雙曲線一、方法、技能、規(guī)律小結(jié) 1. 學(xué)習(xí)中，要注意熟練地應(yīng)用定義解題。 2. 聯(lián)系橢圓知識，尋求橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系，學(xué)會類比，以求舉一反三。 3. 在求雙曲線的方程時，注意先定形，后定量。 4. 探究雙曲線的性質(zhì)時，注意提煉一些常用結(jié)論。例如：對于（1）實軸長、虛軸長、焦距依次成等差數(shù)列；（2）實軸長、虛軸長、焦距依次成等比數(shù)列ABF=90（A為右頂點，B為虛軸上的端點，F(xiàn)為左焦點）；（3）實軸長等于虛軸長漸近線為。 5. 解有關(guān)雙曲線的問題，要注意數(shù)形結(jié)合。二、 典型例題 例1. 若一個動點P（x，y）到兩個定點（1，0），（1，0）的距離之差的絕對值為定值a（），求P的軌跡方程。分析：由題設(shè)條件，容易聯(lián)想到雙曲線，但注意到雙曲線定義中的條件，而題中a與2的大小不確定，故需討論。解：（1）當(dāng)0a2時，軌跡不存在。評注：對雙曲線定義的理解要準(zhǔn)確，不能忽視定義中的限制條件。 例2. 已知雙曲線過P1（）和P2（，4）兩點，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：由題意無法判定焦點所在位置，焦點在x軸上和在y軸上兩種情況都有可能，因此應(yīng)分別設(shè)和，用代定系數(shù)法求解。（同學(xué)們可自行求解。）若把方程設(shè)為，那么該方程既能表示焦點在x軸上的雙曲線，又能表示焦點在y軸上的雙曲線，“身兼二職”，這樣就可一次成功，方便多了。解：設(shè)所示雙曲線方程為。因為在雙曲線上，所以有：解得所以所求雙曲線方程為。評注：解完后才知焦點只能在y軸上！設(shè)的技巧值得同學(xué)們學(xué)習(xí)、掌握。 例3. 已知雙曲線以為漸近線，且過點（1，2），求該雙曲線的方程。分析：判斷所求雙曲線的焦點在x軸還是在y軸上，是解決本題的關(guān)鍵。如圖，由（