高中數(shù)學(xué)：也談遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題全國(guó)通用

也談遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題【摘 要】用初等方法討論了常見遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題?！娟P(guān)鍵詞】遞推數(shù)列；通項(xiàng)公式；初等方法 中圖分類號(hào)：O122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點(diǎn)問題，又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。本文意在用初等方法分類討論，歸納總結(jié)中學(xué)范圍內(nèi)常見的遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題。一、方法探究定義1。 如果一個(gè)數(shù)列給出了初始條件和遞推公式，就稱這個(gè)數(shù)列為遞推數(shù)列。定義2。 如果一個(gè)遞推數(shù)列的遞推公式是線性的，就稱這個(gè)數(shù)列為線性遞推數(shù)列，否則稱為非線性遞推數(shù)列。定義3。 如果數(shù)列an滿足如下兩個(gè)條件：（）ai（i=1,2,3,k）的值已知; ()an+k=,pj,q為常數(shù)。就稱該數(shù)列為一個(gè)k階線性遞推數(shù)列。特別地，當(dāng)q=0時(shí)，稱數(shù)列an為一個(gè)k階齊次線性遞推數(shù)列。定義4。 若數(shù)列an滿足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(nN,b0,f(n)和g(n)是n的函數(shù))，則稱之為一階線性遞推數(shù)列的推廣形式。命題1 若數(shù)列an滿足a1=b, an+1=qan+d(bd0),則 1)q=1時(shí)，an=b+(n-1)d；2)d=0時(shí), an=bqn-1 ；3)d0且q1時(shí), an=bqn+(d-b)qn-1-d/(q-1)。證明 這是一階線性遞推數(shù)列，1)和2)是顯然的，只證3)。由已知an+1=qan+d（n1）,得an=qan-1+d(n2),從而an+1-an=q(an-an-1),由此知an+1-an是等比數(shù)列，所以an+1-an=（a2-a1）qn-1=(qb+d-b)qn-1,再把a(bǔ)n+1=qan+d代入上式，得an=bqn+(d-b)qn-1-d/(q-1).命題2 若數(shù)列an滿足a1=b, an+1=f(n)an+g(n)(nN), b0,f(n)和g(n)都是n的函數(shù)，則1）f(n) 1時(shí)，an=b+;2)g(n)0時(shí)，an=b;3) an+1=fi(n)an+gi(n)(i=1,2)時(shí)，an=g1(n)-g2(n)/f2(n)-f1(n).證明 這是一階線性遞推數(shù)列的推廣形式。當(dāng)f(n)1時(shí), an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1), a3-a2=g(2),an-an-1=g(n-1),進(jìn)而得an-a1=,即an=b+。當(dāng)g(n)0時(shí),有=f(n),于是=f(1), =f(2), , =f(n-1),左右兩邊分別相乘得：=，因此an=b。當(dāng)an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)時(shí)，解方程組得：an=g1(n)-g2(n)/f2(n)-f1(n)。命題3 若數(shù)列an滿足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1(n2)，且pq0,則當(dāng)1) p+q=1時(shí)，;2) p+q1且p2+4q0時(shí)，an=，其中、是方程的根（、C），;3）p+q1且p2+4q=0時(shí)，an=(n-1)(p/2)n-2c-(n-2)(p/2)n-1b(nN）.證明 這是二階齊次線性遞推數(shù)列。當(dāng)p+q=1時(shí)，an+1=(1-q)an+qan-1(n2),即an+1-an=-q(an-an-1),數(shù)列an+1-an是等比數(shù)列，因此an+1-an=（a2-a1）(-q)n-1=(c-b) (-q)n-1，由命題2的1)的。當(dāng)p+q1時(shí)，引進(jìn)實(shí)數(shù)將an+1=pan+qan-1改寫成：，若數(shù)列an+1+an為等比數(shù)列，則=q/(p+),即，此方程在復(fù)數(shù)集C中總有二根，記f()=an+1+an= ,當(dāng)p2+4q0時(shí)，于是有方程組解得:an=。當(dāng)p2+4q=0時(shí)，1=2=-，即 an+1=an+=an+, , ，于是猜想：an= (nN），下面用數(shù)學(xué)歸納法證之：當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k(kN+）時(shí)命題成立，即ak=, 那么n=k+1時(shí)，ak+1=ak+=.這說(shuō)明n=k+1時(shí)命題也成立。從而an= (nN）。 命題1、2、3是高中數(shù)學(xué)中常見的遞推數(shù)列，對(duì)于以其它形式出現(xiàn)的遞推數(shù)列，我們可以采用化歸法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解，這里不再贅述。 二、應(yīng)用舉例 【例1】 在數(shù)列an中，已知a1=1/3,且前n項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)等于第n項(xiàng)的2n-1倍（nN），求an的通項(xiàng)公式。分析 本題的特點(diǎn)是數(shù)列an的遞推公式是間接給出的，需要利用已知條件進(jìn)行推導(dǎo)，然后再根據(jù)遞推公式求通項(xiàng)公式。解 由已知得，即sn=n(2n-1)an,由an=sn-sn-1(n2),知an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,整理得(n2)，此時(shí)數(shù)列an滿足命題2的2),因此，n=1時(shí)也成立，所以an=（nN）【例2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,滿足2sn2=2ansn-an(n2)且a1=2,試求an的表達(dá)式。分析 這類題一般思路是利用an=sn-sn-1(n2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但要注意選擇目標(biāo)定向。解 由2sn2=2ansn-an及an=sn-sn-1(n2)得sn-1-sn=2snsn-1(n2)即 (n2)，數(shù)列滿足命題1的1），所以=(n2)，從而， an=sn-sn-1=- (n2)，因此, 【例3】 已知數(shù)列an中a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an(nN）.求an的通項(xiàng)公式。 分析 這道題如果采用“計(jì)算-歸納-猜想-證明”的思維模式比較麻煩，若從遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)入手比較容易。解 由已知p=1,q=-1,p+q1, an滿足命題3的2），方程2+1=1的根1，2= ，代入=3(2+)(1+)n-1及an=得： an=6cos(nN） 點(diǎn)評(píng) 解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的信