高三數(shù)學(xué)選修II數(shù)學(xué)歸納法人教知識(shí)精講

用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 高三數(shù)學(xué)選修（高三數(shù)學(xué)選修（II） 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法人教版人教版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 高三數(shù)學(xué)選修（II） 數(shù)學(xué)歸納法 學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種重要方法。 證明原理與步驟： 1 0 證明當(dāng)（命題中最小的正整數(shù)）時(shí)命題成立nn 2 0 假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立nk knkN(*) 由此證明當(dāng)時(shí)命題也成立nk1 則由、知對(duì)所有的正整數(shù)，原命題均成立。12 0 nn 【例題分析例題分析】 例 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 nnnnn nN* 證明：111 1 2 1 2 1 2 當(dāng)時(shí)，左邊右邊n 左邊右邊，即等式成立 21假設(shè)當(dāng)時(shí)nk kkN(*) 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 kkkkk 當(dāng)時(shí)nk1 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 21 1 22 1 1 1 2 1 2 1 21 1 22 1 2 1 3 1 21 1 22 kkkk kkkkk kkkk 等式成立 由、知，等式成立12 用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 例 2. 已知中，*aaSa a nN nnnn n 02 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：annnN n 1 (*) 證明：11 2 1 0 1 1 11 1 11 1 當(dāng)時(shí)，由na Sa a Sa a nn11111成立 21假設(shè)當(dāng)時(shí)，nkakk k 當(dāng)時(shí)nk1 aSS kkk 11 1 2 11 1 1 a a a a k k k k a a kk kk k k 1 1 1 1 1 1 0 aka kk 1 2 1 210 a kk kk a kk11 244 2 10() 即時(shí)成立nk1 由、知成立121annnN n (*) 例 3. 設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明且pppnp nnN n 10112()(*) 證明：12112120 22 當(dāng)時(shí)，成立npppp p()() 211假設(shè)時(shí)，nkpkp k () 當(dāng)時(shí)nk1 ()() ()()()11111 1 pppkpp kk 11110 22 ()()()kpkpkpkp 用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 所以成立 由、知，原不等式成立12 例 4. 用數(shù)學(xué)歸納法證明能被 整除nn nN 3 56(*) 證明：1151516 3 當(dāng)，成立nnn 256 3 假設(shè)時(shí)，能被 整除nkkk 當(dāng)時(shí)nk1 ()()()kkkkkkkkk k 151331555316 3323 31661k kk k()()能被 整除為偶數(shù) 由假設(shè)知，能被 整除成立kkk k 3 53166() 由、知，命題成立12 例 5. 證明能被 整除358 4121nn 證明：1135368468 53 當(dāng)時(shí)，原式成立n 2358 4121 假設(shè)時(shí)，能被 整除nk kk 當(dāng)時(shí)nk1 353355 4523414212kkkk 33355535 335553 335565 414421212421 441212124 4412121 kkkk kkk kkk ()() () 由假設(shè)知，能被 8 整除 由、知命題成立12 例 6. 證明凸 邊形的對(duì)角線條數(shù)為nf nn nn( )() 1 2 34 證明：1442 1 2 4 432當(dāng)時(shí)，左邊，右邊nf( )() 所以成立 用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 24 1 2 3假設(shè)時(shí)，nk kf kk k()( )() 當(dāng)時(shí)nk1 f kf kk k kkkk ()( )() ()()() 121 1 2 31 1 2 12 成立 由、知命題成立2 【模擬試題模擬試題】 1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 24 1 46 1 68 1 22241 nn n n()() 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 12132121 1 6 12 nnnnnn nn()()()()() 3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于的整數(shù)能被 133 整除。n 0An nn 1112 221 4. 平面內(nèi)有 n 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證： 這 n 個(gè)圓把平面分成部分。nn 2 2 用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 參考答案參考答案 http/ 1. 證明： 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊1n 1 1 2 22 1 8() 1 42 1 8 所以成立 假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即2nk 1 24 1 22241 kk k k()() 當(dāng)時(shí)，nk1 1 24 1 222 1 21 24 41 1 412 1 421 1 42 2 kkkk k kkk k kk k k ()()() ()()() () ()()() 成立 由、知等式成立2 2. 證明： 當(dāng)時(shí)，左，右1n 1 1 1 6 231 所以成立 假設(shè)時(shí)成立，即2nk 121121 1 6 12 kkkkk kk()()()() 當(dāng)時(shí)nk1 112111 1 12111231 1 6 12 21 2 1 6 123 ()()() ()() ()() ()() ()()() kkk kkkk k kk kk kkk 成立 由、知等式成立2 3. 證明： 當(dāng)時(shí)，成立1n 0A0 2 1112133 假設(shè)時(shí)，能被 133 整除2nk k()0Ak kk 1112 221 當(dāng)時(shí)，nk1 Ak kkkk 1 3232212 111211111212 用心 愛(ài)心 專心 115 號(hào)編輯 111111 12121211 12 11 1112121211 11 1112133 12 22121221 221212 22121 kkkk kkk kkk ()() () 能被 133 整除 由、