高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)輔導(dǎo)3轉(zhuǎn)化與化歸思想精品教學(xué)案

【專題三】轉(zhuǎn)化與化歸思想【考情分析】分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對于簡化研究對象，發(fā)展人的思維有著重要幫助。考試說明強(qiáng)調(diào)，對于數(shù)學(xué)思想和方法的考查要與數(shù)學(xué)知識的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法理解和掌握的程度考查時，要從學(xué)科整體意識和思想含義上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度數(shù)學(xué)問題的解決，總離不開轉(zhuǎn)化與化歸，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中。轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置，在選擇題、填空題、解答題中都會涉及到分類討論的思想方法，其難度在0.40.6之間。它即是一種數(shù)學(xué)思想又是一種數(shù)學(xué)能力，高考對這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點。預(yù)測2013年高考對本講的考查為：（1）常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。（2）數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。（3）數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體幾何、向量與解析幾何等的轉(zhuǎn)化。（4）出現(xiàn)更多的實際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問題?！局R歸納】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。從某種意義上說，數(shù)學(xué)題的求解都是應(yīng)用已知條件對問題進(jìn)行一連串恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解題目的的一個探索過程。1轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。2常見的轉(zhuǎn)化方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式。常見的轉(zhuǎn)化方法有：（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（2）換元法：運(yùn)用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的基本問題；（3）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；（8）一般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（9）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的；（10）補(bǔ)集法：（正難則反）若過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集獲得原問題的解決。3化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決；（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)；（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律；（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決；（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解。4轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思想(1)把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化歸對象；(2)化歸到何處去，即化歸目標(biāo)；(3)如何進(jìn)行化歸，即化歸方法；化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心。【考點例析】題型1：集合問題例1（2012高考真題重慶理10）設(shè)平面點集，則所表示的平面圖形的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）解析：D；由可知或者，在同一坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域如圖：由圖象可知的區(qū)域為陰影部分，根據(jù)對稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D（2）已知函數(shù),在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)使,求實數(shù)的取值范圍.分析:運(yùn)用補(bǔ)集概念求解。解答：設(shè)所求的范圍為A,則注意到函數(shù)的圖象開口向上 ；點評：對于許多集合問題，通過轉(zhuǎn)化，將不熟悉和難解的集合問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題，便于將問題解決。題型2：函數(shù)問題例2（2012高考江蘇5）函數(shù)的定義域為 解析：根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得：。點評：函數(shù)的定義域，二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對數(shù)不等式；還有函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍題型3：不等式問題例3（1）（2012高考真題重慶理2）不等式的解集為（ ） A. B. C. D. 對 解析：A；原不等式等價于或，即或，所以不等式的解為，選A.（2）（2011江蘇14）設(shè)集合, , 若 則實數(shù)m的取值范圍是_；（2）解析：當(dāng)時，集合A是以（2，0）為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間； ，因為此時無解；當(dāng)時，集合A是以（2，0）為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有 。.又因為。【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。（3）（2012高考真題四川理9）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元解析：C；設(shè)生產(chǎn)桶甲產(chǎn)品，桶乙產(chǎn)品，總利潤為Z，則約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為：可行域為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過點M時有最大值，聯(lián)立方程組得，代入目標(biāo)函數(shù)得，故選C.評析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題。題型4：三角問題4（1）（2012高考真題上海理16）在中，若，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定解析：C；根據(jù)正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以為鈍角，三角形為鈍角三角形，選C。點評：本小題主要考查解三角形知識，并突出了邊角互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（2）（2012高考真題江西理4）若tan+ =4,則sin2=（ ）A B. C. D. 解析：D由得， ，即，所以，選D.點評：本題考查三角函數(shù)的倍角公式以及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式。體現(xiàn)在三角函數(shù)中是切化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值（域）、最值、比較大小等問題。題型5：數(shù)列問題例5（2010遼寧理數(shù)，16）已知數(shù)列滿足則的最小值為_. 【答案】【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識解決問題的能力?！窘馕觥縜n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以設(shè)，令，則在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為nN+,所以當(dāng)n=5或6時有最小值。又因為，所以，的最小值為.點評：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列的通項公式，前n項的和公式。當(dāng)時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識。題型6：立體幾何問題例6（1）如果，三棱錐PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h求證三棱錐PABC的體積。分析：如視P為頂點，ABC為底面，則無論是SABC以及高h(yuǎn)都不好求如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境解析：如圖，連結(jié)EB，EC，由PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面ECD這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD=SECDAE+SECDPE=SECD PA=BCEDPA=。點評：輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解。（2）如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是側(cè)棱SC上的一點，使截面MAB與底面所成角等于NSC。求證：SC垂直于截面MAB。（83年全國高考）分析：由三垂線定理容易證明SCAB，再在平面SDNC中利用平面幾何知識證明SCDM。證明：由已知可得：SN底面ABC，ABCD，CD是斜線SC在底面AB的射影， ABSC。 ABSC、ABCD AB平面SDNC MDC就是截面MAB與底面所成的二面角由已知得MDCNSC又 DCMSCN DCMSCM DMCSNCRt即 SCDM所以SC截面MAB。點評：立體幾何中有些問題的證明，可以轉(zhuǎn)化為平面幾何證明來解決，即考慮在一個平面上的證明時運(yùn)用平面幾何知識。題型7：解析幾何問題例7（1）設(shè)x、yR且3x2y6x，求xy的范圍。分析：設(shè)kxy，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。解析：由6x3x2y0得0x2。設(shè)kxy，則ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其對稱軸為x3。由0x2得k0,4。所以xy的范圍是：0xy4。另解：數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標(biāo)原點。xy的范圍就是橢圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為xyk，代入橢圓中消y得x6x2k0。由判別式368k0得k4,所以xy的范圍是：0xy4。再解：三角換元法，對已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問題）：由3x2y6x得(x1)1，設(shè)，則xy12coscossin12coscoscos2cos0,4所以xy的范圍是：0xy4。點評：題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型。（2）（2012高考真題遼寧理3）已知兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確的是（ ）(A) ab (B) ab (C) |a|=|b| (D)a+b=ab解析：B；法一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0, 所以ab，故選B法二、根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|a+b|=|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以ab，故選B點評：本題主要考查平面向量的運(yùn)算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系，屬于容易題。解析一是利用向量的運(yùn)算來解，解析二是利用了向量運(yùn)算的幾何意義來解。這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜想、證明的方法，過定點問題，定值問題也可以用這樣的思路。題型8：具體、抽象問題例8（2004浙江卷（理）第12題）：若f（x）和g（x）都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程xfg（x）0有實數(shù)解，則gf（x）不可能是（）（A）x2x （B） x2x （C）x2 （D）x2分析：本題直接解不容易，不妨令f（x）x，則fg（x）g（x），gf（x）g（x），xfg（x）0有實數(shù)解即xg（x）0有實數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，B使xg（x）0沒有實數(shù)解，選B這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f（xy）f（x）f（y）m，對數(shù)函數(shù)型f（xy）f（x）f（y），冪函數(shù)型f（xy）f（x）f（y）。點評：把抽象問題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認(rèn)識，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型9：正難則反轉(zhuǎn)化問題例9（2011山東理20）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.【解析】（）當(dāng)時，不合題意；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，不合題意。由題意知,因為是等比數(shù)列,所以公比為3,所以數(shù)列的通項公式.（）因為=, 所以=-=-=-,所以=-=-。點評：一些數(shù)學(xué)問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結(jié)論入手，或從問題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”?！罢y則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。題型10：實際應(yīng)用問題例10把一塊鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長是P，怎樣設(shè)計才能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個實際問題可以轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的最值問題來解決。xODCBA解析：如圖，設(shè)矩形的一邊長為x,則半圓的周長為矩形的另一邊長為=設(shè)零件的面積為S，則S=a0 當(dāng)時，S有最大值，這時AB=。當(dāng)矩形的兩鄰邊AB與BC之比為12時，Smax=。點評：實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋最終的實際問題?！痉椒记伞?熟練、扎實地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系?！白セA(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。2為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結(jié)論，既可以變換問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識問題，又可以從幾何的角度去解決問題。3注意緊盯化歸目標(biāo)，保證化歸的有效性、規(guī)范性化歸作為一種思想方法，應(yīng)包括化歸的對象、化歸的目標(biāo)、以及化歸的方法、途徑三個要素。因此，化歸思想方法的實施應(yīng)有明確的對象、設(shè)計好目標(biāo)、選擇好方法，而設(shè)計目標(biāo)是問題的關(guān)鍵。設(shè)計化歸目標(biāo)時，總是以課本中那些基礎(chǔ)知識、基本方法以及在應(yīng)用上已形成固定的問題（通常稱為規(guī)范性問題）為依據(jù)，而把要解決的問題化歸為成規(guī)律問題（即問題的規(guī)范化）。化歸能不能如期完成，與化歸方法的選擇有關(guān)，同時還要考慮到化歸目標(biāo)的設(shè)計與化歸方法的可行性、有效性。因此，在解題過程中，必須始終緊緊盯住化歸的目標(biāo)，即應(yīng)該始終考慮這樣的問題：怎樣才能達(dá)到解原問題的目的。在這個大前提下實施的化歸才是卓有成效的，盲目地選擇化歸的方向與方法必將走入死胡同。4注意化歸的等價性，確保邏輯上的正確化歸包括等價化歸和非等價化歸，等價化歸后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的，不等價化歸則部分地改變了原對象的實質(zhì)，需對所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正。高中數(shù)學(xué)中的化歸大多要求等價化歸，等價化歸要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果。如果在解題過程中沒有注意化歸的等價性，就會犯不合實際或偷換論題、偷換概念、以偏概全等錯誤。例如在解應(yīng)用題時要注意原題中數(shù)量的實際意義，在經(jīng)過數(shù)學(xué)變換后，應(yīng)將所得的結(jié)果按實際意義檢驗；解方程或不等式時應(yīng)注意變換的同解性是否仍然保持。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是一個潛移默化的過程，沒有一個統(tǒng)一的模式可以遵循，而是在多方領(lǐng)悟、反復(fù)應(yīng)用的基礎(chǔ)上形成的，化歸也不例外。學(xué)生在解題過程中，必須根據(jù)問題本身提供的信息，利用動態(tài)的思維，多方式、多途徑、有計劃、有步驟地反復(fù)滲透，要善于反思解題過程，倒攝解題思維，回味解題中所使用的思想，去尋求有利于問題解決的化歸途徑和方法。正如笛卡爾所說的：走過兩遍的路就是方法。【專題訓(xùn)練】一、填空題1已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，則|b|_.2函數(shù)f(x)的值域為_3在等比數(shù)列an中，a1a，前n項和為Sn，若數(shù)列an1