河北石家莊二中高三數(shù)學三模試卷A理

河北省石家莊二中2018屆高三數(shù)學三模試卷（A）理（含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則中所含元素的個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：，故選D.考點：集合的表示法2.若函數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根據(jù)為純虛數(shù)，得到的值；再由，及復(fù)數(shù)除法的計算法則計算的值。詳解：為純虛數(shù) ，解得又i2007=i4501+3=i3=ia+i20071+ai=1i1+i=(1i)2(1+i)(1i)=i故選D點睛：（1）復(fù)數(shù)z=a+bi分類：b=0時為實數(shù)；b0時為虛數(shù)，a=0,b0時為純虛數(shù)。 （2）in以4為周期，即i4k+1=i,i4k+2=i2=1;i4k+3=i3=i,i4k=i0=1,(kz)（3）復(fù)數(shù)除法運算法則：z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(z20)3.已知命題p:xR，x2ex，那么命題p為（ ）A. xR，x2ex B. xR，x2ex【答案】C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，則p為xR，x2ex，故選C4.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1a,b0的一個焦點為2,0，且雙曲線C的離心率為22，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）A. y=2x B. y=22x C. y=77x D. y=7x【答案】D【解析】依題意，雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一個焦點為(2,0)，c=2，雙曲線離心率為22，ca=2a=22，a=22，c2=a2+b2，b=142，漸近線方程為y=bax=7x.故選D.5.已知實數(shù)x，y滿足約束條件xy30x+y20x+2y20，則z=x12+y2的最小值為（ ）A. 12 B. 22 C. 1 D. 2【答案】A【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知表示可行域內(nèi)的點(x,y)到點(1,0)的距離的平方，所以zmin=(|1+0-2|12+12)2=12故選A6.設(shè)0,2，0,2，且tan=1+sincos，則（ ）A. 3=2 B. 2=2 C. +3=2 D. +2=2【答案】B【解析】分析：（1）方法一、運用同角變換和兩角差公式，即 tan=sincos和sin(-)化簡，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和角的范圍，確定正確答案。（2）方法二、運用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，通過(2-)4-2的變換化簡，確定正確答案。詳解：方法一：tan=sincossincos=1+sincos即sincos=cos+cossin整理得sin(-)=cos(0,2),(0,2)-(-2,2)， (-)+=2 整理得-2=-2方法二：1+sincos=1+cos(2-)sin(2-)=2cos2(4-2)2sin(4-2)cos(4-2)=1tan(4-2) tan=1tan(4-2)(0,2),(0,2)4-2(0,4)， +(4-2)=2 整理得-2=-2故選B點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，根據(jù)題干和選項所給提示，確定解題方向，選取適當三角函數(shù)公式化簡求值。7.給出30個數(shù)：1，2，4，7，11，16，要計算這30個數(shù)的和.如圖給出了該問題的程序框圖，那么框圖中判斷框處和執(zhí)行框處可以分別填入（ ）A. i30？和p=p+i1 B. i31？和p=p+i+1C. i31？和p=p+i D. i30？和p=p+i【答案】D【解析】試題分析：由于要計算30個數(shù)的和，故循環(huán)要執(zhí)行30次，由于循環(huán)變量的初值為1，步長為1，故終值應(yīng)為30即中應(yīng)填寫i30；又由第1個數(shù)是1；第2個數(shù)比第1個數(shù)大1即1+1=2；第3個數(shù)比第2個數(shù)大2即2+2=4；第4個數(shù)比第3個數(shù)大3即4+3=7；故中應(yīng)填寫p=p+i考點：程序框圖8.已知函數(shù)fx=ex1+e1x，則滿足fx1e+e1的x的取值范圍是（ ）A. 1x3 B. 0x2 C. 0xe D. 1xe【答案】A【解析】分析：先確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性，x(,1)單調(diào)遞減，x(1,+)單調(diào)遞增；由題可知當x=0或x=2時f(x)=e+e1，根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)解不等式fx-1e+e-1。詳解：令u=ex1,u(0,+)，u(x)為單調(diào)遞增函數(shù) 則f(x)=g(u)=u+1u,u(0,+)，u(0,1)單調(diào)遞減，u(1,+)單調(diào)遞增， 且當x=1時u=e11=1 復(fù)合函數(shù)同增異減x(,1)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(1,+)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。 函數(shù)f(x)最小值fmin(x)=f(1)又 x=0或x=2時f(x)=e+e1f(x1)e+e1 即 0x12 解得1x2時有兩條滿足條件的直線，從而得到答案.詳解：（1）當直線lx軸時，直線：x=1與拋物線交于(1,2)、(1,2)，與圓(x1)2+y2=r2交于(1,r)、(1,r)，滿足AC=BD.（2）當直線不與x軸垂直時，設(shè)直線方程y=k(x1).A(x1,y1),B(x2,y2) 聯(lián)立方程組y=k(x1)y2=4x 化簡得k2x2(2k2+4)x+k2=0 由韋達定理 x1+x2=2+4k2 由拋物線得定義，過焦點F的線段AB=AF+BF=x1+x2+2=4+4k2當四點順序為A、C、D、B時 AC=BD AB的中點為焦點F（1，0），這樣的不與x軸垂直的直線不存在；當四點順序為A、C、B、D時，AC=BD AB=CD又CD=2r，4+4k2=2r，即2k2=r2當r2時存在互為相反數(shù)的兩斜率k，即存在關(guān)于x=1對稱的兩條直線。綜上，當r(2,+)時有三條滿足條件的直線.故選B.點睛：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題代入法，考查了分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想，由AC=BD到AB=CD的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=(x+1)ex，則對任意mR，函數(shù)F(x)=f(f(x)-m的零點個數(shù)至多有（ ）A. 3個 B. 4個 C. 6個 D. 9個【答案】A【解析】當x0時，f(x)=(x+2)ex，由此可知f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,0)上單調(diào)遞增，f-2=-e-2,f-1=0，且f(x)1,又f(x)在R上的奇函數(shù)，f0=0,而x(-,-1)時，fx0，所以f(x)的圖象示意圖如圖所示，令t=f(x)，則t(-1,1)時，方程fx=t至多有3個根，當t(-1,1)時，方程fx=t沒有根，而對任意mR，方程fx=m至多有一個根t(-1,1)，從而函數(shù)F(x)=f(f(x)-m的零點個數(shù)至多有3個，故選A.點睛：復(fù)合函數(shù)的零點問題的求解步驟一般是：第一步：現(xiàn)將內(nèi)層函數(shù)換元，將符合函數(shù)化為簡單函數(shù)；第二步：研究換元后簡單函數(shù)的零點（一般都是數(shù)形結(jié)合）；第三步：根據(jù)第二步得到的零點范圍轉(zhuǎn)化為內(nèi)層函數(shù)值域，進而確定x的個數(shù).第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某校高一年級3個學部共有800名學生，編號為：001,002，800，從001到270在第一學部，從271到546在第二學部，547到800在第三學部采用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取100名學生進行成績調(diào)查，且隨機抽取的號碼為004，則第二學部被抽取的人數(shù)為_【答案】34【解析】因為間隔為800100=8 ，且隨機抽的號碼為004，則隨機抽取的號碼構(gòu)成一個等差數(shù)列，通項公式為4+8（n1）=8n4 ，由2718n4546 ，即2758n5508, ，即35n68 ，共有34人.故答案為34.【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，求出樣本間隔，利用等差數(shù)列進行求解是解決本題的關(guān)鍵14.已知向量a=(2,1)，ab=10，a+b=52，則b=_【答案】5 【解析】由a=(2,1)可得a2=5 ，a+b=52,a+b2=50，即a2+b2+2ab=50,5+b2+20=50，b=5，故答案為5.15.已知平面截球O的球面得圓M，過圓心M的平面與的夾角為6且平面截球O的球面得圓N，已知球O的半徑為5，圓M的面積為9，則圓N的半徑為_【答案】13【解析】分析：先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON長，最后應(yīng)用勾股定理確定圓N的半徑.詳解：如圖，SM=9OA=5 AM=3OM=OA2AM2=4過圓心M的平面與的夾角為6且平面截球O的球面得圓NNOM=6ON=OMcos6=23OB=5BN=OB2ON2=13點睛：本題考查球截面與二面角問題，球半徑為R，球截面圓的半徑為，球心到截面距離為d，滿足R2=r2+d2.16.已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，b，若a+csinAsinC=bsinAsinB，且c=3，則ab2的取值范圍為_【答案】32,3【解析】分析：由正弦定理角化邊及余弦定理，整理得C=3，則A+B=23，再根據(jù)c=3，得外接圓半徑R=1，所以ab2=2R(sinAsinB2)，整理后化成一個角得三角函數(shù)，求得取值范圍.詳解：由正弦定理sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R，得(a+c)(ac)=b(ab) 即c2=a2+b2ab由余弦定理c2=a2+b22abcosC 得C=3A+B=23 又c=3 csinC=2RR=1ab2=2R(sinAsinB2)=2sinAsin(23A)=32sinA32cosA=3sin(A6)由題可知 0A23 則6A6232ab23 即ab2的范圍(32,3)點睛：解三角形問題，需要結(jié)合已知條件，根據(jù)三角形邊角關(guān)系、正余弦定理靈活轉(zhuǎn)化已知條件，從而達到解決問題的目的解三角形的范圍問題常見兩類，一類是根據(jù)基本不等式求范圍，另一類是根據(jù)邊或角的范圍計算三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項.()求數(shù)列an的通項公式；()若bn=anlog12an,Sn=b1+b2+bn,對任意正數(shù)數(shù)n，Sn+n+man+10恒成立，試求m的取值范圍.【答案】（1）an=2n（2）-，-1【解析】試題分析：()通過a3+2是a2,a4的等差中項可知2a3+2=a2+a4，結(jié)合a2+a3+a4=28，可知a3=8 ，進而通過解方程8q+8q=20，可知公比q=2，從而可得數(shù)列an的通項公式；()通過()bn=n2n，利用錯位相減法求得Sn，對任意正整數(shù)n,Sn+n+man+10恒成立等價于m12n1對任意正整數(shù)n恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求fn=12n1的最小值，從而可得m的取值范圍.試題解析：()設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1,公比為q依題意，有2a3+2=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8，因此a2+a4=20,即有a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得q=2a1=2或q=12,a1=32,又數(shù)列an單調(diào)遞增，則q=2,a1=2,故an=2n.()bn=2nlog122n=-n2n,-Sn=12+222+323+n2n-2Sn=122+223+324+n-12n+n2n+1-，得Sn=2+22+23+2n-n2n+1=21-2n1-2-n2n+1=2n+1-n2n+1-2Sn+n+man+10,2n+1-n2n+1-2+n2n+1+m2n+10對任意正整數(shù)n恒成立.m2n+12-2n+1對任意正整數(shù)n恒成立，即m-1,m-1,即m的取值范圍是-，-1.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及求和公式、“錯位相減法”求數(shù)列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點：掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；相減時注意最后一項 的符號；求和時注意項數(shù)別出錯；最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以1q.18.在等腰直角EBC中，A，D分別為EB，EC的中點，AD=2，將EBC沿AD折起，使得二面角EADB為60.（1）作出平面EBC和平面EAD的交線，并說明理由；（2）二面角ECDB的余弦值.【答案】（1）見解析（2）155【解析】分析：（1）通過AD/BC找到解題思路，再根據(jù)線面平行的判定、性質(zhì)以及公理“過平面內(nèi)一點，作平面內(nèi)一條直線的平行線有且只有一條”說明理由.（2）過點E作AB的垂線，垂足為F，以F為坐標原點，F(xiàn)B所在方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量n1,n2，兩平面法向量夾角詳解：（1）在面EAD內(nèi)過點E作AD的平行線即為所求.證明：因為l/AD，而在面ABCD外，AD在面ABCD內(nèi)，所以，l/面ABCD.同理，AD/面EBC，于是在面EBC上，從而即為平面EBC和平面EAD的交線.（2）由題意可得EAB為二面角E-AD-B的平面角，所以，EAD=60.過點E作AB的垂線，垂足為F，則EF面ABCD.以F為原點，F(xiàn)B為x軸正方向，F(xiàn)B為單位長度建立空間直角坐標系；則B1,0,0，C1,4,0，A-1,0,0，D-1,2,0，E0,0,3，從而CD=-2,-2,0，EC=1,4,3，設(shè)面BCD的一個法向量為n1=x0,y0,z0,則由n1CD=0n1EC=0得-2x0-2y0=0x0+4y0-3z0=0，所以x0=-y0z0=3y0，不妨取n1=1,-1,-3.由EF面ABCD知平面BCD的法向量不妨設(shè)為n2=0,0,1于是，cos=n1n2n1n2=35=155，所以二面角E-CD-B的余弦值為155.點睛：用空間向量求二面角問題的解題步驟：右手定則建立空間直角坐標系，寫出關(guān)鍵點坐標設(shè)兩平面的法向量n1,n2， 兩法向量夾角為，求法向量及兩向量夾角的余弦cos=n1n2n1n2；當兩法向量的方向都向里或向外時，則二面角；當兩法向量的方向一個向里一個向外時，二面角為.19.某市為準備參加省中學生運動會，對本市甲、乙兩個田徑隊的所有跳高運動員進行了測試，將全體運動員的成績繪制成頻率分布直方圖.同時用莖葉圖表示甲，乙兩隊運動員本次測試的成績（單位：cm，且均為整數(shù)），由于某些原因，莖葉圖中乙隊的部分數(shù)據(jù)丟失，但已知所有運動員中成績在190cm以上（包括190cm）的只有兩個人，且均在甲隊.規(guī)定：跳高成績在185cm以上（包括185cm）定義為“優(yōu)秀”.（1）求甲，乙兩隊運動員的總?cè)藬?shù)及乙隊中成績在160,170（單位：cm）內(nèi)的運動人數(shù)b；（2）在甲，乙兩隊所有成績在180cm以上的運動員中隨機選取2人，已知至少有1人成績?yōu)椤皟?yōu)秀”，求兩人成績均“優(yōu)秀”的概率；（3）在甲，乙兩隊中所有的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的運動員中隨機選取2人參加省中學生運動會正式比賽，求所選取運動員中來自甲隊的人數(shù)X的分布列及期望.【答案】（1）a=40，b=9（2）513（3） 見解析【解析】分析：由頻率分布直方圖可知，成績在190cm以上的運動員頻數(shù)為2，頻率為0.00510=0.05，由此求出全體運動員總?cè)藬?shù)，由成績在160,170)內(nèi)頻率求出運動員人數(shù)，再減去甲隊人數(shù)，即可求出乙隊人數(shù)b；（2）分別求出“至少有1人成績?yōu)閮?yōu)秀”和“兩人成績均優(yōu)秀”的概率；再根據(jù)條件概率P(A|B)=P(AB)P(A)即為所求；（3）由題設(shè)確定隨機變量X所有可能值為0、1、2，分別求三個概率，由此求出X的分布列和數(shù)學期望EX.詳解：（1）由頻率直方圖可知：成績在以190cm以上的運動員的頻率為0.00510=0.05， 全體運動館總?cè)藬?shù)a=20.05=40（人），成績位于160,170中運動員的頻率為0.0310=0.3，人數(shù)為400.3=12，由莖葉圖可知：甲隊成績在160,170的運動員有3名，b=12-3=9（人）；（2）由頻率直方圖可得：180cm以上運動員總數(shù)為：0.020+0.0051040=10，由莖葉圖可得，甲乙隊180cm以上人數(shù)恰好10人，所以乙在這部分數(shù)據(jù)不缺失，且優(yōu)秀的人數(shù)為6人，設(shè)事件A為“至少有1人成績優(yōu)秀”，事件B為“兩人成績均優(yōu)秀”，PA=1-PA=1-C42C102=1315，PAB=C62C102=13，PBA=PABPA=131513=513；（3）X可取的值為0，1，2，PX=0=C40C22C62=115，PX=1=C41C21C62=815，PX=2=C42C20C62=615=25，X的分布列為：X012P11581525EX=0115+1815+225=43.點睛：隨機變量X分布列及數(shù)學期望問題要善于靈活運用三個性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是P(A)=1P(A)，三是p1p2pn1檢驗分布列的正誤20.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1ab0的左右頂點分別為A1，A2，右焦點F的坐標為3,0，點P坐標為2,2，且直線PA1x軸，過點P作直線與橢圓E交于A，B兩點（A，B在第一象限且點A在點B的上方），直線OP與AA2交于點Q，連接QA1.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線QA1的斜率為k1，直線A1B的斜率為k2，問：k1k2的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.【答案】（1）x24+y2=1（2）14. 【解析】分析：（1）由題意可知c=3,a=2，則b=a2c2=1，即可求得橢圓方程.（2）由題意設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Q-t,t，設(shè)直線AB的方程為x=m(y2)2，代入橢圓方程，寫出韋達定理關(guān)系式，再根據(jù)Q、A、A2三點共線，得到t=2y1x1+y12，然后計算k1k2的值為定值14.詳解：（1）設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1ab0，由題意可知：a=2c=3，所以b=1，所以橢圓的方程為x24+y2=1（2）是定值，定值為-14.設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，因為直線AB過點P-2,2，設(shè)直線AB的方程為：x=my-2m-2，聯(lián)立x2+4y2=4x=my-2m-2m2+4y2-4m2+4my+4m2+8m=0所以y1+y2=4m2+4mm2+4，y1y2=4m2+8mm2+4，因為點Q在直線OP上，所以可設(shè)Q-t,t，又Q在直線AA2上，所以：t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2x2+2x1+2y2-2=-y1y2my2-2mm+2y1-2=-y1y2m2+2my1y2-2y1+y2+4=-14點睛：圓錐曲線的定值問題會涉及到曲線上的動點及動直線，常用解題步驟為：設(shè)動點和動直線、即引入?yún)?shù)；結(jié)合已知條件將目標式用參變量表示，（3）通過化簡消參求得定值.設(shè)而不求、整體思想和消元思想的運用可有效的簡化運算.21.設(shè)函數(shù)f(x)=x+a(e2x3ex+2)，其中aR.（1）討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；（2）若x0,f(x)0成立，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）0a1【解析】分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再換元t=ex(t0)，令fx=gt=2at2-3at+1，對與分類討論a=0a0,0a0,0a0，即可得出函數(shù)的極值的情況. （2）由（1）可知：當0a89時，函數(shù)fx在(0,+)為增函數(shù)，又f(0)=0所以滿足條件；當a89時，因換元t(1,+)滿足題意需在此區(qū)間g(t)g(1)0，即a1；最后得到的取值范圍.詳解：（）fx=2ae2x-3aex+1，設(shè)ex=t0，則fx=gt=2at2-3at+1，當a=0時，fx=10，函數(shù)fx在R為增函數(shù)，無極值點.當a0時，=9a2-8a，若089時0，設(shè)gt=2at2-3at+1的兩個不相等的正實數(shù)根t1，t2，且t10，fx單調(diào)遞增；當xlnt1,lnt2fx0，fx單調(diào)遞增.因此此時函數(shù)fx有兩個極值點；同理當a0時gt=2at2-3at+1的兩個不相等的實數(shù)根t1，t2，且t10t2，當xlnt2,+，fx0，fx單調(diào)遞增；所以函數(shù)只有一個極值點.綜上可知當0a89時fx的無極值點；當a89時，fx的有兩個極值點.（）對于x0ex=t1，由（）知當0a89時函數(shù)fx在R上為增函數(shù)，由f0=0，所以fx0成立.若a89，設(shè)gt=2at2-3at+1的兩個不相等的正實數(shù)根t1，t2，t1t2且t1t2=12a1，t1+t2=32，t1340，fx0成立，則要求t20，fx0成立若當a1，t=at2-3a-1t+2a0顯然不恒成立.綜上所述，的取值范圍是0a1.點睛：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或換元后的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c題型，求函數(shù)的單調(diào)性或極值點個數(shù)的解題步驟為：（1）確定定義域；（2）二次項系數(shù)a=0；（3）0；（4）0，再討論f(x)=0，兩個根的大小關(guān)系。請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點Pa,1，其參數(shù)方程為x=a22ty=122t （為參數(shù)，aR），以O(shè)為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos2+3cos=0.（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；（2）求已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且PA=3PB，求實數(shù)的值.【答案】（1）x-y-a+1=0,y2=3x（2）712或1348.【解析】【分析】（1）利用參數(shù)方程、普通方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程.（2）先將曲線C1的方程轉(zhuǎn)化為標準參數(shù)方程，然后將其代入曲線C2的直角坐標方程中，因曲線C1和曲線C2有兩個交點，所以整理后的