山東：必修3幾何概型日照實驗高級中學(xué)尚積成

2008年國家數(shù)量優(yōu)秀課程的選擇幾何概型課程計劃選自鮫人B版必修3演講者：尚日照實驗高中教學(xué)目標(biāo)一、知識和技能目標(biāo)(1)通過學(xué)生對幾種幾何推廣的實驗和觀察，我們可以理解幾何推廣的兩個特點。(2)可以識別實際問題中的概率模型是否是幾何概率。(3)簡單的幾何概率問題將使用幾何概率公式計算。二。過程和方法讓學(xué)生通過觀察和分析幾個實驗，提煉出他們共同的本質(zhì)，從而體驗幾何概括的建構(gòu)過程，并在解決問題時，給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、討論、交流、合作和分享的機會。第三，情感態(tài)度和價值觀通過設(shè)置幾個具體的實驗，引導(dǎo)學(xué)生積極探索和深入思考，在幾何概率的構(gòu)建過程中提高他們的興趣愛好和現(xiàn)實科學(xué)態(tài)度，從而進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)對自然和社會的影響。教學(xué)重點幾何概率的特征，幾何概率的識別，幾何概率的概率公式。教學(xué)困難建立合理的幾何模型求解概率。教學(xué)過程首先，創(chuàng)設(shè)情境引入新的班級老師：上節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了古典概率。請回憶一下主要內(nèi)容，并舉一個我們生活中經(jīng)典概率的例子。生甲：擲骰子，觀察擲出的點數(shù)，計算出奇數(shù)點的概率。老師：你能判斷這個例子是否經(jīng)典嗎？你判斷的依據(jù)是什么？學(xué)生乙：這是一種經(jīng)典的概率類型，因為這個實驗中包含的基本事件的數(shù)量是有限的，每個基本事件的概率是相等的。老師：非常好。讓我們允許老師給學(xué)生們舉另一個例子來判斷。如圖：所示，板平均分為四部分。小球隨機落在板上，找出小球落入陰影區(qū)的概率。勝三：這個測試不是一個經(jīng)典的模型，因為這個測試涉及到無數(shù)的基本事件。老師：非常好。這個實驗不是經(jīng)典的概括。由此我們可以看出，在我們的生活中，有一些實際問題不是經(jīng)典的概括。因此，我們有必要進(jìn)一步研究這些問題。在今天的課中，我們將在學(xué)習(xí)經(jīng)典概率的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)幾何概率。幾何概率到底是什么，它和經(jīng)典概率有關(guān)系嗎？它在數(shù)學(xué)中是如何定義的？出于這個原因，我們接下來將看看剛才的實驗。測試1老師：請根據(jù)我們的生活經(jīng)驗回答這個實驗的概率。丁盛：1/4老師：好，那你是怎么得到答案的？丁盛：就是用陰影的面積來和總面積比較。老師：非常好?，F(xiàn)在讓我們看看圖片右邊的情況。陰影區(qū)域仍然是總面積的四分之一，但是陰影的形狀和位置已經(jīng)改變。此時球落入陰影區(qū)的概率是多少？丁晟：仍然是四分之一，或者陰影覆蓋的面積比總面積大。老師：非常好。請坐下。讓我們整理一下剛才發(fā)現(xiàn)的東西。首先，這個實驗中包含的基本事件的數(shù)量很多，每個基本事件發(fā)生的概率是相等的，期望的概率是陰影與總面積的面積比，所以這個概率只與表面和陰影有關(guān)，而與陰影的形狀和位置無關(guān)。測試2500毫升水中有一只草履蟲?，F(xiàn)在，隨機抽取2毫升水樣，在顯微鏡下觀察，找出發(fā)現(xiàn)草履蟲的可能性。老師：首先，請觀察這個實驗和剛才的實驗是否有相同之處。學(xué)生E:這個實驗中包含的基本事件的數(shù)量仍然是無限的，每個基本事件的可能行數(shù)是相等的。老師：概率是多少？沈戈：也就是說，水樣的體積占總體積的2%。測試3拿一根60厘米長的繩子，把它拉直，在任何位置剪斷。這兩塊的長度不小于20厘米的概率是多少？請首先考慮一下討論。老師做了如下分析：首先，這個實驗中包含的基本事件的數(shù)量仍然是無限的，并且每個基本事件的概率是相等的。現(xiàn)在這根繩子被抽象為一個線段，所以每個隨機測試都可以理解為在相應(yīng)的線段上取一個點，也就是說，隨機測試可以理解為線段上的一個點，基本事件空間可以理解為線段。因此，該測試的本質(zhì)是在該線段上取一個點，這可以使事件A發(fā)生。因此，現(xiàn)在問題的關(guān)鍵是在線段上找到一個可以使事件A發(fā)生的點。老師幫助學(xué)生在網(wǎng)上找到一個點，在這個點上，事件A可以通過真實事物的演示發(fā)生。AB20厘米20厘米通過剛才的演示，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點在a和b之間時，事件a會發(fā)生，所以這個問題可以理解為：當(dāng)點在a和b之間時，在這條線段上取一個點的概率是多少？自生成：線段AB的長度與總長度相比較，答案是三分之一。老師總結(jié)了這個問題：在剪刀被剪開的次數(shù)可以無限大的情況下，通過建立等價代換關(guān)系，在“每次剪開繩子上的一點”對應(yīng)的基礎(chǔ)上，依次建立“無數(shù)次隨機剪開線段上的所有點”、“剪開次數(shù)線段長度”的對應(yīng)關(guān)系，解決了“數(shù)(數(shù))形(點)數(shù)(長)”轉(zhuǎn)換過程中無法計算無窮大的問題。這種對應(yīng)性是內(nèi)在的和邏輯的，因此所建立的測量公式是合理的。二、幾何概率的構(gòu)造1.想想吧(1)上述三項測試有：個共同點(1)所有基本事件的數(shù)量是無限的。(2)每個基本事件的可能性是相等的。(2)如何獲得三次測試的概率？老師：簡單地說，概率是它們的面積、體積和長度的比率。具體而言，基本事件空間可以被理解為一個區(qū)域，其可以被稱為，并且事件A可以被理解為一個子區(qū)域，并且概率是子區(qū)域A(長度、面積和體積)相對于子區(qū)域的幾何度量的幾何度量。(3)我們稱滿足上述條件的測試為幾何概率。請參照以上三個測試給出幾何概率的定義。2.幾何概率的定義事件A被理解為該區(qū)域的某個子區(qū)域A，并且A的概率僅與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成比例，而與A的位置和形狀無關(guān)。滿足上述條件的測試被稱為幾何一般化。在幾何概化中，事件a的概率定義為其中表示了區(qū)域的幾何度量和區(qū)域a的幾何度。3.經(jīng)典概率與幾何概率的比較經(jīng)典概率模型概率的幾何模型所有基本事件的數(shù)量少數(shù)無限每個基本事件發(fā)生的可能性等待可能性等待可能性概率計算公式4、如何找到幾何概率的概率對于復(fù)雜的實際問題，解決問題的關(guān)鍵是建立模型，找出隨機事件和所有基本事件對應(yīng)的幾何區(qū)域，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概率問題，并用幾何概率公式求解。(1)用幾何概率的定義來判斷問題是否可以轉(zhuǎn)化為幾何概率解；(2)將基本事件空間轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的區(qū)域；(3)將隨機事件A轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的區(qū)域A；用幾何概率公式計算。三、幾何概率的應(yīng)用實踐取面積為S的ABC邊AB上的點P，找出PBC面積大于的概率。將一粒帶銹種子混入100毫升高產(chǎn)小麥種子中，隨機取出3毫升。含有小麥銹病種子的可能性有多大？(3)取一個邊長為2a的正方形及