第二輪第15講排列組合二項(xiàng)式定理、概1

第15次數(shù)組的組合二項(xiàng)式定理和概率一、知識(shí)整合二、考試要求：1 .掌握分類計(jì)數(shù)原理和階段計(jì)數(shù)原理，并應(yīng)用它們分析和解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題2 .了解數(shù)組的含義，掌握數(shù)組數(shù)的計(jì)算公式，用它來(lái)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題3、了解組合的含義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題4 .掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，用它們計(jì)算和證明簡(jiǎn)單的問題5 .了解隨機(jī)事件的發(fā)生具有規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義6 .為了理解等可能性事件概率的含義，使用數(shù)組的基本公式計(jì)算等可能性事件的概率7 .了解互斥事件、互斥事件的含義，使用互斥事件的概率加法運(yùn)算式和互斥事件的概率乘法運(yùn)算式來(lái)計(jì)算若干事件的概率8 .計(jì)算事件在n次獨(dú)立反復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率I、隨機(jī)事件的概率例1某商業(yè)銀行向存款人提供的密碼由0、1、2、9中的6個(gè)數(shù)字構(gòu)成(1)有人擅自按下6個(gè)數(shù)字，調(diào)查自己儲(chǔ)蓄卡密碼的概率是多少？(2)有人忘記了自己儲(chǔ)蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下面的數(shù)字進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)自己的密碼的概率是多少？解(1)的存儲(chǔ)卡上的數(shù)字可重復(fù)，每6位的密碼上的數(shù)字分別有0、1、2、9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率相當(dāng)于隨意按壓6個(gè)數(shù)字，隨意按壓6個(gè)數(shù)字相當(dāng)于下一個(gè)密碼之一(2)該人記住自己儲(chǔ)蓄卡的密碼前5個(gè)正確的前提，隨意按數(shù)字等，可能的結(jié)果是0、1、2、9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率是例2口袋里有m個(gè)白球和n個(gè)黑球，從中選擇3個(gè)球，這3個(gè)球正好2白1黑的概率是多少(用組合數(shù)表示)釋放事件I是“從m個(gè)白球和n個(gè)黑球中選擇3個(gè)球”，對(duì)應(yīng)于集合I1，事件a是“從m個(gè)白球中選擇2個(gè)球，從n個(gè)黑球中選擇1個(gè)球”，主題是等可能性事件問題，card (I1)=-p (a )=。ii、互斥事件可能發(fā)生例320個(gè)產(chǎn)品中有15個(gè)正品，5個(gè)次品，從中選擇3個(gè)求出(1)有1件次品的概率(2)至少有1件次品的概率解(1)從20個(gè)產(chǎn)品中選擇3個(gè)的方法，其中正好有1個(gè)不合格品的方法。正好不合格品的概率P=(2)法一從20個(gè)產(chǎn)品中選出3個(gè)，其中1個(gè)是事件a 1，2個(gè)是事件a 2，3個(gè)都是事故A3的概率P(A1)=，另外一方面，由于事件A1、A2、A3相互排他，所以有3件中至少1件不合格品的概率P(A1 A2 A3)=P(A1) P(A2) P(A3)=法律二記從20個(gè)產(chǎn)品中取3個(gè)，3個(gè)都是正品作為事件a，取3個(gè)，至少1個(gè)次品是對(duì)立事件的概率加法式P()=例4的撲克牌有心形、黑桃、俱樂部、四角形4種花色，分別為13張，合計(jì)52張，從1張洗牌中選擇4張，求出4張中至少有3張黑桃的概率。解從52張卡片中選擇了4張，分為“4張中至少有3張黑桃”、“正好有3張黑桃”和“4張全部有黑桃”，有很多種方法注意至少在討論情況時(shí)，要明確分類。、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率例5獵人以距離100米射擊了一野兔，命中率為0.5，如果沒有射中第一次射擊，獵人就進(jìn)行了第二次射擊，距離為150米，如果沒有射中第二次射擊，獵人就進(jìn)行了第三次射擊，發(fā)射瞬間的距離為200米。 獵人命中概率與距離的平方成反比，求出獵人命中野兔的概率。解記三次射擊順序?yàn)槭录、b、c，其中，求出k=5000 .打中兔子的幾率例6必須制造一個(gè)機(jī)械零件。 甲機(jī)床的不良率為0.05，乙機(jī)床的不良率為0.1，它們的生產(chǎn)是獨(dú)立的。 從他們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽出一個(gè)，求得(1)其中至少有一個(gè)廢品的概率(2)其中至少有一個(gè)廢品的概率解：將事件a作為“從甲機(jī)床提取的是廢品”的b是“從乙機(jī)床提取的是廢品”P(A)=0.05，P(B)=0.1(一)至少有一個(gè)廢品的概率；(2)廢品多的概率iv，概率內(nèi)容的新概念很多，本課就學(xué)生容易犯錯(cuò)誤做如下總結(jié)類型1“不可等”和“可等”混淆投擲2枚骰子，求出得分之和為6的概率誤投兩枚骰子的分?jǐn)?shù)之和為2、3、4、12共計(jì)11種基本事件，因此概率為P=不能解析以上的11種基本事件，例如分?jǐn)?shù)和2只有(1，1 )，分?jǐn)?shù)之和6是(1，5 )、(2，4 )、(3，3 )、(4，2 )、(5，1 )共計(jì)5種。 實(shí)際上投擲2枚骰子是36種基本事件，因?yàn)檫@是可能的，“分?jǐn)?shù)之和為6”的概率是P=。類型2“排他”與“對(duì)立”的混淆例2將紅、黑、白、藍(lán)四張牌隨機(jī)分為甲、乙、丙、丁四人，每人分一張，案件“甲分紅牌”和“乙分紅牌”為()對(duì)立事件b .不可能事件c .相互排斥但不對(duì)立的事件d .以上不同誤解a分析本問題錯(cuò)誤的原因是“互斥”和“對(duì)立”，兩者的聯(lián)系和差異主要表現(xiàn)如下(1)兩個(gè)事件對(duì)立，必須是排他的(2)互斥概念應(yīng)用于多個(gè)事件，但是對(duì)立概念只應(yīng)用于兩個(gè)事件(3)兩個(gè)事件互斥不應(yīng)該同時(shí)發(fā)生，即最多只發(fā)生一個(gè)事件，但只發(fā)生事件“給甲分紅牌”和“給乙分紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件恰好發(fā)生一個(gè)，一個(gè)也沒有發(fā)生，兩個(gè)都有可能不發(fā)生，所以應(yīng)該選擇c類型3“排他”與“獨(dú)立”的混淆例3甲投籃命中率為O.8，乙投籃命中率為0.7，每人3次，兩人正好2次命中的概率是多少如果誤將“甲方正好2次”定為事件a，“乙方正好2次”定為事件b的話，兩人正好是事件A B，P(A B)=P(A) P(B ) :分析本問題的錯(cuò)誤原因，是將相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件視為排他性事件，兩人理解為剛好2次“甲方正好2次”和“乙方正好2次”之和。 排他性事件是指兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，兩個(gè)事件相互獨(dú)立，一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生沒有影響，描繪了兩個(gè)事件之間的關(guān)系，但描繪的關(guān)系根本不同。解：“甲方正好兩次”為事件a，“乙方正好兩次”為事件b，a、b相互獨(dú)立因?yàn)閮蓚€(gè)人正好碰上事件AB，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.169四、高考題選說(shuō)1甲、乙兩人參加普遍知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙兩人依次抽出1個(gè)。(I )甲方提取選擇問題，乙方提取判斷問題的概率是多少？(ii )甲、乙兩人中至少有一人提取選題的概率是多少(2000年新課程)如圖2所示，通過(guò)a、b、c這三種不同元件與兩個(gè)系統(tǒng)N1、N2連接，在元件a、b、c都正常動(dòng)作的情況下，系統(tǒng)N1正常動(dòng)作，在元件a、b、c都正常動(dòng)作的情況下，系統(tǒng)N2正常動(dòng)作， 已知系統(tǒng)n-2正常操作，并且部件a、b和c正常操作的概率依次為0.80、0.90和0.90。 分別求出系統(tǒng)N1、N2正常動(dòng)作的概率P1、p23某公司6名員工通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)開展工作，1名員工接入互聯(lián)網(wǎng)的概率為0.5 (獨(dú)立)。(I )求出至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(ii )至少有多少人同時(shí)上網(wǎng)的概率低于0.3？ (2002年新課程)共有43種產(chǎn)品，合格率分別為0.95、0.95和0.95，分別抽取1份進(jìn)行檢測(cè)(I )正好求出不合格的概率；(ii )至少求出2個(gè)不合格概率(精度到0.001 ) (2003年新課卷)從10名學(xué)生(其中6人、4人)中隨機(jī)選擇3人參加考試。 每個(gè)女生能夠通過(guò)考試的概率，每個(gè)男生能夠通過(guò)考試的概率如下(I )被選中的三個(gè)同學(xué)中，至少有一個(gè)男學(xué)生的概率()10名同學(xué)中女學(xué)生甲和男學(xué)生乙同時(shí)當(dāng)選，考試合格的概率(2004年全國(guó)卷I )解：本小題主要考察組合、概率等基本概念、獨(dú)立事件和互斥事件的概率和運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，滿分為12分解： (I )隨機(jī)選擇的三個(gè)同學(xué)中，至少有一個(gè)男學(xué)生的概率是1-； 6分(ii )甲、乙獲選，考試合格的概率為 12分眾所周知，6.8支隊(duì)伍中有3支隊(duì)伍弱，通過(guò)抽簽將這8支隊(duì)伍分為a、b兩組，每組求4支隊(duì)伍(I)a、b兩組中有一組正好有兩隊(duì)弱隊(duì)存在的概率(ii)a組至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率。 (2004年全國(guó)卷ii )解： (I )解法1 :三弱隊(duì)在同一組的概率所以小組剛好有兩個(gè)弱隊(duì)的概率解法二：恰好有兩個(gè)弱隊(duì)存在的概率(ii )解法1:a組至少有2個(gè)弱體隊(duì)的概率解法2:a、b兩組至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率是1，因?yàn)閍組和b組至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率是相同的，所以a組至少有兩個(gè)弱隊(duì)的概率是7 .某學(xué)生參加科學(xué)知識(shí)競(jìng)賽需要回答三個(gè)問題。 競(jìng)賽規(guī)則中，1、2、3題正解分別規(guī)定為100分、100分、200分、0分。 該學(xué)生回答1、2、3題的概率分別為0.8、0.7、0.6，假定各題有無(wú)正確答案互不影響。(I )求該同學(xué)獲得300分的概率；(ii )尋求該同學(xué)獲得至少300分的概率(2004年全國(guó)卷iii )8 .男子4人和女子2人中任意3人參加演講比賽(I )尋求被選中的三人為男子的概率；(ii )求選出的三人中正好有一個(gè)女孩的概率(iii )求出被選中三人中至少有一個(gè)女孩的概率(2004年天津卷)9 .某地區(qū)有5家工廠，由于電力不足，規(guī)定每家工廠必須選擇一周以內(nèi)的停電日假定工廠間的選擇互不影響(I )尋求五個(gè)工廠星期日停電的概率；(ii )尋求至少兩家工廠同日停電的概率(2004年浙江卷)10 .眾所周知，甲、乙參加英語(yǔ)口語(yǔ)考試，在候補(bǔ)的10道題中，甲能正確解答其中的6道題，乙能正確解答其中的8道題。 每次考試都是從候補(bǔ)中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少正確答案2題合格。(I )分別求出甲、乙兩人考試合格的概率；(ii )求甲、乙至少一人通過(guò)考試的概率(2004年福建卷)11 .甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床分別獨(dú)立加工同一部件，甲的機(jī)床加工的部件為一等品，乙的機(jī)床加工的部件不是一等品的概率，乙的機(jī)床加工的部件為一等品，丙的機(jī)床加工的部件不是一等品的概率，甲、丙的2臺(tái)機(jī)床加工的部件為一等品的概率，以(I )求出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自的加工部件為一等品的概率(ii )從甲、乙、丙加工的零件中逐一檢查，求出至少有一等品的概率(2004年湖南卷)12 .為防止某些突發(fā)事件，可以采取甲、乙、丙、丁四種獨(dú)立的預(yù)防措施。 單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁的預(yù)防措施后，該突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為p )和必要費(fèi)用為：預(yù)防措施甲乙丙丁p0.90.80.70.6費(fèi)用(萬(wàn)元)90603010預(yù)防方案可以單獨(dú)采用一項(xiàng)預(yù)防措施，也可以并用一些預(yù)防措施，總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元前接下來(lái)，為了使這個(gè)突發(fā)事件不發(fā)生的概率達(dá)到最大，請(qǐng)決定預(yù)防方案(2004年湖北卷)解：方案一：?jiǎn)为?dú)采用一項(xiàng)預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元。 由表可知，通過(guò)采取甲方措施，不發(fā)生該突發(fā)事件的概率最大，其概率為0.9方案2 :聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元，表明聯(lián)甲、丙兩種預(yù)防措施不發(fā)生該突發(fā)事件的概率最大，其概率為1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97。方法3 :聯(lián)合采用3種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元，只能聯(lián)合采用乙、丙、丁3種預(yù)防措施。 在此情況下，不發(fā)生突發(fā)事件的概率為1-(1- 0.8 ) (1- 0.7 ) (1- 0.6 )=1- 0.024=0.976綜合上述三項(xiàng)預(yù)防方案，在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下，乙、丙、丁三項(xiàng)預(yù)防措施并用，不發(fā)生這一突發(fā)事件的概率最大。13 .甲、乙、丙三人每次命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6、0.5(I )三人向各方向射擊一次，求出至少一人命中目標(biāo)的概率和正好兩人命中目標(biāo)的概率(ii )若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求出正好兩次命中的概率(2004年重慶卷)14 .從數(shù)字1、2、3、4、5中隨機(jī)提取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))以構(gòu)成3位，其各位的數(shù)字之和等于9的概率為(d )A.B.C.D15.(本小題滿分12分)接待中心有a、b、c、d 4個(gè)熱線電話，在某一時(shí)刻電話a、b所占概率均為0.5，電話c、d所占概率均為0.4，各電話所占概率不相互影響。 假定那個(gè)時(shí)刻部的電話所占。 求隨機(jī)變量的概率分布及其期望。解：本小題主要考察離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期待等概念。 運(yùn)用概率知識(shí)考察解決實(shí)際問題的能力。 滿分為十二分解： P(=0)=0.520.62=0.09P(=1)=0.520.62 0.520.40.6=0.3p (=2)=0. 520.620.520.40.60.520.42=0. 37P(=3)=0.520.40.6 0.520.42=0.2P(=4)=0.520.42=0.04因此，得到隨機(jī)變量