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2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目(請(qǐng)先閱讀“對(duì)論文格式的統(tǒng)一要求”)C題: 易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的??磥?,這并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然,對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說,這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的,但是如果是生產(chǎn)幾億,甚至幾十億個(gè)易拉罐的話,可以節(jié)約的錢就很可觀了?,F(xiàn)在就請(qǐng)你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說,請(qǐng)你們完成以下的任務(wù):1 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可樂飲料罐,測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù),例如易拉罐各部分的直徑、高度,厚度等,并把數(shù)據(jù)列表加以說明;如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的,那么你們必須注明出處。2 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸,例如說,半徑和高之比,等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示,即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái),下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)?其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力,做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。5 用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn),寫一篇短文(不超過1000字,你們的論文中必須包括這篇短文),闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟,以及難點(diǎn)。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)摘要本題在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,用LINGO實(shí)證分析了各種標(biāo)準(zhǔn)下易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,并將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和模型摸擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)論表明,易拉罐的設(shè)計(jì)不但要考慮材料成本(造價(jià)),還要滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、美觀、方便使用等方面的要求。在第二個(gè)問題中,易拉罐被假定為圓柱體,針對(duì)材料最省的標(biāo)準(zhǔn),得到了不同頂部、底部與側(cè)面材料厚度比時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。針對(duì)材料厚度的不同,建立兩個(gè)模型:模型一,設(shè)易拉罐各個(gè)部分厚度和材料單價(jià)完全相同,最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為半徑與高的比(為圓柱的高,為圓柱的半徑);模型二,設(shè)易拉罐頂蓋、底部厚度是罐身的3倍,通過計(jì)算得到半徑與高時(shí),表面積最小。一般情況下,當(dāng)頂蓋、底部厚度是罐身的倍b時(shí),最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為。在第三問中,針對(duì)圓柱加圓臺(tái)的罐體,本文也建立了兩個(gè)模型:模型三,設(shè)易拉罐整體厚度相同,利用LINGO軟件對(duì)模型進(jìn)行分析,得出當(dāng)(為圓臺(tái)的高,為圓臺(tái)上蓋的半徑)時(shí),設(shè)計(jì)最優(yōu);模型四,假設(shè)罐頂蓋、底部的厚度是罐身的3倍,同樣利用軟件LINGO對(duì)其進(jìn)行分析,得出,時(shí)材料最省,即頂部為圓錐時(shí)材料最省,模型的結(jié)果在理論上成立,但與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。原因是廠商在制作易拉罐時(shí),不僅要考慮材料最省,還要考慮開蓋時(shí)所受到的壓力、制造工藝、外形美觀、堅(jiān)固耐用等因素。 在第四問中,本文根據(jù)第三問中模型最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差,調(diào)整了的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn),在材料最省的基礎(chǔ)上,加入了方便使用,物理結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定等標(biāo)準(zhǔn)。通過比較發(fā)現(xiàn),前面四個(gè)模型中,模型二和模型四體現(xiàn)了硬度方面的要求。進(jìn)一步對(duì)模型二、四進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)模型四的結(jié)論更優(yōu)。為此,將模型四結(jié)論中的底部也設(shè)計(jì)為圓錐。此時(shí),材料最省。但是,兩端都設(shè)計(jì)為圓錐時(shí),無法使用。因此,將項(xiàng)部和底部設(shè)計(jì)為圓臺(tái),并考慮拉環(huán)長(zhǎng)度和手指厚度(易于拉動(dòng)拉環(huán))時(shí),得到圓臺(tái)頂端和底部半徑都為2.7。此時(shí),易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)。如果設(shè)計(jì)為旋轉(zhuǎn)式拉環(huán),時(shí),可以得到優(yōu)于現(xiàn)實(shí)中易拉的設(shè)計(jì)方案。關(guān)鍵詞:最優(yōu)設(shè)計(jì) 體積結(jié)構(gòu) 材料最省 lingo一、 問題的提出隨著社會(huì)的變化,大量的瓶裝灌裝飲料應(yīng)運(yùn)而生,我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的??磥恚@并非偶然,這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然,對(duì)于單個(gè)的易拉罐來說,這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的,但是如果是生產(chǎn)幾億,甚至幾十億個(gè)易拉罐的話,可以節(jié)約的錢就很可觀了。測(cè)量各個(gè)品牌間不同的易拉罐的高度、直徑、厚度等,利用所得到的數(shù)據(jù)來驗(yàn)證易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。需要使用什么樣的方法才能驗(yàn)證易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)呢?易拉罐的實(shí)際尺寸是否有要求、有什么樣的要求呢?在已有的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上我們能不能自己設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸的的最優(yōu)化呢?二、 分析問題對(duì)于問題一的分析:?jiǎn)栴}一測(cè)量易拉罐的具體數(shù)值,沒有問題。只需注意易拉罐的多樣化就好。對(duì)于問題二:在假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況之下,使易拉罐所需材料最省,也就是所需材料的表面積最小。在表面積最小時(shí),設(shè)圓柱的體積V為常數(shù),求半徑r與高度h的比值,如果能求出一定比例,就能找到模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)。在建立模型之前我們需要考慮易拉罐的材料和材料的受力情況。對(duì)于問題三:本設(shè)計(jì)要在保證容積最優(yōu)化的情況之下,使易拉罐所需的材料最省。由于易拉罐的外形不是純正的圓柱體,所以在建模之時(shí)要對(duì)模型作出假設(shè)。假設(shè)易拉罐的上半部分是一個(gè)正圓臺(tái),下半部分是一個(gè)正圓柱體。然后考慮易拉罐的厚度,在厚度一致時(shí),利用lingo軟件,計(jì)算出模型的最優(yōu)解;通過觀察發(fā)現(xiàn)易拉罐頂蓋的厚度是罐身的3倍,所以,假設(shè)另一種模型當(dāng)易拉罐頂蓋、頂蓋厚度為a,其余部分為b,且a:b=3:1,體積V=355ml時(shí),同時(shí)利用lingo軟件,計(jì)算出模型的最優(yōu)解。對(duì)于問題四:自己設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸,在節(jié)省材料的情況之下還需要易拉罐自身的承重、外觀的美觀、實(shí)用性等等。易拉罐在設(shè)計(jì)為圓錐時(shí)是最省材料的,但不實(shí)用,所以需要將易拉罐設(shè)計(jì)為圓柱、圓臺(tái)的結(jié)合體,考慮拉環(huán)等因素,頂端與頂端要有所側(cè)重。對(duì)于問題五:表達(dá)自己的直觀感受以及對(duì)模型的理解即可。三、 模型假設(shè)(1)、易拉罐頂蓋、底蓋厚度為,其它部分厚度為(2)、易拉罐是正圓柱體(3)、易拉罐整體厚度均相同(4)、易拉罐的上部分是一個(gè)圓臺(tái),下半部分是一個(gè)正圓柱體(5)、易拉罐整體厚度相同(6)、四、 符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)說明圓柱半徑r圓臺(tái)半徑圓柱高h(yuǎn)圓臺(tái)高易拉罐表面積易拉罐體積最小化在軟件lingo中的圓柱半徑在軟件lingo中的圓柱高在軟件lingo中的圓臺(tái)半徑在軟件lingo中的圓臺(tái)高五、 模型的建立與求解問題一的模型解:取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐,例如355毫升的可口可樂飲料罐,測(cè)量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù),例如易拉罐各部分的直徑、高度,厚度等,并把數(shù)據(jù)列表加以說明;如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的,那么你們必須注明出處。數(shù)據(jù)測(cè)量如表一所示:表一:數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果1mm2mm3mm4mm平均(mm)(罐蓋直徑)57.8458.3058.0458.6058.82(罐身直徑)65.7065.5665.5165.5865.60(罐低直徑)47.6247.6247.1847.7447.53(罐蓋厚度)0.314 0.3020.3150.3100.310(罐身厚度)0.1080.1100.1140.1100.111(罐底厚度)0.3270.3200.3390.3440.333(罐蓋高度)10.3010.9810.429.9610.42(罐身高度)101.98102.06102.36101.92102.08(罐底高度)5.625.305.124.865.23(罐蓋斜邊長(zhǎng)度)0.1930.2040.2100.2010.202拉環(huán)長(zhǎng)度42.5342.4842.4842.5142.50數(shù)據(jù)來源:/p-0522616535013.html.第七頁(yè)問題二的模型:(一)、設(shè)易拉罐內(nèi)半徑為,高為,厚度為a, 體積,其中r和h是自變量,所用材料的面積是因變量,而是固定參數(shù),則和分別為:設(shè)模型的建立:其中是目標(biāo)函數(shù),是約束,是已知的,即要在體積一定的條件下求的最小值時(shí),和的取值是多少模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知 ,所以帶,的項(xiàng)可以忽略,且,則有求的最小值,令其導(dǎo)數(shù)為零,即,解得臨界點(diǎn)為,則因?yàn)?則,所以當(dāng)時(shí),是最優(yōu)解模型結(jié)論在假設(shè)易拉罐是正圓柱體且厚度均相同的條件下,當(dāng)體積為固定參數(shù),而表面積求導(dǎo),得到高是半徑的兩倍,此時(shí),模型最優(yōu)。(二)易拉罐頂蓋、底蓋厚度不同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型2、確定變量和參數(shù):設(shè);飲料內(nèi)半徑為,高為,體積為,易拉罐頂蓋、底蓋厚度為,其它部分厚度為。其中和是自變量,所以材料的體積是因變量,而,和是固定參數(shù)。則和分別為: , 設(shè)模型建立: 其中是目標(biāo)函數(shù),是約束條件,厚度比例與是已知的,即要在體積一定的條件下求和的取值是多少時(shí)體積最小模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知 ,所以帶的項(xiàng)可以忽略,且,則 ,求的最小值,令其導(dǎo)數(shù)為零,即,解得臨界點(diǎn)為:則因?yàn)閯t,因此當(dāng)時(shí),為最優(yōu)解。觀察模型(一)與模型(二),可見當(dāng)厚度不同時(shí),半徑與高的比例不同,似乎有一定聯(lián)系,因此我們假設(shè)頂與底蓋的厚度為ab,壁的厚度為a,其中b為比例系數(shù),則 因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)所可知a R,所以帶,的項(xiàng)可以忽略,且,則有 求的最小值,令其導(dǎo)數(shù)為零,即,解得臨界點(diǎn)的值為2bR,S為最優(yōu)解。對(duì)于問題三的模型有:(一) 第三種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型確定變量和參數(shù):設(shè)易拉罐頂蓋、底部半徑為R,正圓柱體高為H,正圓臺(tái)高為h,體積為V,其中R,r,H,h是自變量,所以材料的體積S是因變量,而V是固定參數(shù),則S和V分別為:設(shè): 建立模型:其中S是目標(biāo)目標(biāo)函數(shù),是,R約束條件,V是已知的,即要在體積一定的條件下求表面積最小時(shí),R,r,H,h的取值各是多少模型求解:利用LINGO求解,設(shè)R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,則利用LINGO計(jì)算結(jié)果,得時(shí)S為最優(yōu)解。在易拉罐的上半部是一個(gè)正圓臺(tái),下半部是一個(gè)正圓柱體,且厚度均相同的前提下,當(dāng)體積為固體參數(shù), 表面積最小,利用lingo軟件計(jì)算,得到圓臺(tái)的高與圓柱的高等于兩倍圓柱的半徑,同時(shí)也等于四倍的圓臺(tái)半徑,模型最優(yōu)。(二)、第四種易拉罐形狀和尺寸設(shè)計(jì)的最優(yōu)模型設(shè)易拉罐頂蓋半徑為,底蓋半徑為,正圓柱體的高為,正圓臺(tái)的高為h, 體積為,其中是自變量,所用材料的體積是因變量,而是固定參數(shù),則和分別為:設(shè):則有模型:其中是目標(biāo)函數(shù),是約束條件,是已知的,即要在體積一定的條件下求表面積最小值,的取值各是多少。模型求解:利用lingo軟件求解,設(shè)且則:利用lingo求解得, 時(shí),為最優(yōu)解。在假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái),下部分是一個(gè)正圓柱體,且厚度不同,頂蓋、底部半徑是罐身的3倍的條件下,當(dāng)體積為固體參數(shù),而表面積最小時(shí),通過lingo軟件得到,時(shí),為最優(yōu)解。對(duì)于問題四的模型有:考慮到易拉罐的穩(wěn)定性和使用的方便性,在考慮穩(wěn)定性時(shí),只能采用模型二和模型四的設(shè)計(jì),將厚度比例視為本題的已知條件,帶入測(cè)量所得的數(shù)據(jù),并利用lingo求解模型得:目標(biāo)函數(shù):求約束條件:設(shè),在lingo中求解。比較模型二與第三問中的模型四的結(jié)果,可以知道模型四比較優(yōu)化,但模型四脫離了實(shí)際,所以r必須大于0。在r取不同的值時(shí),模型的優(yōu)化如下所示,模型為:分別取0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0,3.5,4.0,5.0,6.0時(shí),利用lingo計(jì)算模型中的的最優(yōu)值為:表二 lingo計(jì)算模型中的的最優(yōu)值表0.51.01.52.03.1133.1153.1213.1333.1613.1703.18010.7010.6110.4910.3510.2110.1910.162.432.191.961.701.361.281.1838.1338.6139.4640.7342.4942.9143.33.54.05.06.03.1923.2062.3941.9421.4010010.1410.120005.934.481.080.9615.4714.8614.3814.569.4243.8344.3344.5345.1146.3251.3561.02由表2可見當(dāng)r大于3時(shí),圖形已經(jīng)不是最優(yōu),省去后面的結(jié)果。即當(dāng)r小于3時(shí),S的值都小于模型二的結(jié)果,因此可以得出結(jié)論:模型四比模型二的設(shè)計(jì)更優(yōu)。既然模型四比模型二更優(yōu),那么是否可以吧模型四的正圓柱底部也改成一個(gè)正圓臺(tái)?考慮上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案(模型五),材料體積S的方程如下:利用LINGO計(jì)算,得S=30.20864 將上述S與模型四的結(jié)果比較,容易看出上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案更優(yōu)。但考慮到存放方便時(shí),這樣易拉罐“站”不穩(wěn),同時(shí)“易拉罐”一定需要有一個(gè)拉環(huán),如果設(shè)計(jì)在頂部(考慮使用方便),r必須大于零。進(jìn)一步考慮上下都為圓臺(tái)時(shí),r的合理取值。 利用LINGO分析r分別取,模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn),0.5,1.0,1.5, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3.0得出的最優(yōu)解時(shí)R,H,h,S的值r0.51.01.52.02.1R3.91343.91443.91733.92343.9252H6.91066.89056.874476.89516.8570h1.22651.09120.95870.81630.7859S30.549231.580433.315835.770736.6495r2.52.6R3.9271 3.92933.91383.93453.9375H 6.85546.8543 6.8537 6.8538 6.8545 H 0.75460.7225 0.6895 0.6555 0.6205 S 36.957937.5961 38.2642 38.9625 36.6911 r3.03.5R3.94093.94453.94853.95293.9815H6.85606.85836.86146.86556.9013h6.85600.54750.50940.47020.2566S40.450141.239742.060242.911747.6418 在現(xiàn)實(shí)中,拉環(huán)的測(cè)量值為4.25,手指的大小約1.11,則最優(yōu)設(shè)計(jì)就是拉環(huán)穿過直徑,所以r=(4.25+1.11)/2=2.68,r近似為2.7,此時(shí)H=6.85。對(duì)于問題五:剛開始接觸數(shù)學(xué)建模讓我覺得很困難,原本數(shù)學(xué)成績(jī)就不甚理想,我也只是抱著試試看的心態(tài)參加了數(shù)學(xué)建模大賽。在接觸之后我發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)建模其實(shí)就是把每一個(gè)問題實(shí)際化,同時(shí)他也解釋了我們?yōu)槭裁磳W(xué)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)建模主要是問題提出、問題分析、問題重述、模型假設(shè)、符號(hào)說明、模型的建立與求解、模型的評(píng)價(jià)與推廣、參考文獻(xiàn)、附錄這幾大步驟組成。其中,最為困難、最為費(fèi)事的是模型的建立與求解。模型的建立與求解是整篇論文的關(guān)鍵。就如同本文。本文在研究易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案時(shí)還涉及到了力學(xué)、美學(xué)、工程學(xué)等等方面的知識(shí)。建立一個(gè)有用的模型,要經(jīng)過多方面的考量,以及數(shù)據(jù)的查驗(yàn)。所以說,模型的建立是數(shù)學(xué)建模的最重要部分。數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用,他不是單一的數(shù)學(xué),而是數(shù)學(xué)與各個(gè)學(xué)科的結(jié)合。于我們的生活息息相關(guān)。其次,數(shù)學(xué)建模需使用到大量的相關(guān)軟件,數(shù)據(jù)處理的spss,最優(yōu)問題的lingo,線性問題的管理運(yùn)籌學(xué)以及最為強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件MATLAB。這些軟件的使用大大的優(yōu)化的我們?cè)谔幚韺?shí)際問題的時(shí)間。真正的做到了花最少的時(shí)間,處理更多的問題。好的模型,離不開題目的分析處理,在遇到問題時(shí),怎樣把抽象的問題實(shí)際化
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