建筑制圖 第四章講義.ppt

第四章點、直線、平面的投影,41,點的投影,42,直線的投影,43,直線上的點,44,線段的實長和傾角,45,兩直線的相對位置,46,平面的投影,47,平面上的直線和點,48,旋轉(zhuǎn)法,點是形體的最基本元素。點的投影規(guī)律是線、面、體投影的基礎(chǔ)。,41點的投影,一、點的單面投影,點的單面投影不能確定該點的空間位置,二、點的兩面投影,前面提到：在正投影的條件下，點的單面投影不能唯一確定該點的空間位置，那么，兩面投影呢？,點的兩面投影能夠唯一確定點的空間位置。,兩面投影體系的建立：V正面投影面H水平投影面OX投影軸,ax,點的正投影規(guī)律：1、一點在兩投影面體系中的投影，在投影圖上的連線，一定垂直于該兩投影面的交線，即垂直于投影軸。2、空間一點到某一投影面的距離，等于該點在任意一個與該投影面垂直的投影面上的投影到其投影軸的距離。,三、點的三面投影,通常我們用大寫字母表示空間的點，相應(yīng)的小寫字母表示其水平投影，小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇表示其側(cè)面投影。,W,X,點在三面投影面體系中的投影關(guān)系：1、一點的正面投影和水平投影必在同一豎直投影連線上；2、一點的正面投影和側(cè)面投影必在同一水平投影連線上；3、一點的水平投影到OX軸的距離等于該點的側(cè)面投影到OZ軸的距離，都反映該點到V面得距離。,a,a,a,O,YH,Z,YW,ax,ay,az,ay,水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸（長對正）；正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸（高平齊）；水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離（寬相等）。,aaOX軸;aaOZ軸;a到OX軸的距離=a到OZ軸的距離,Aa=aax=aaz=ay0=yAA點到V面的距離,Aa=aax=aay=az0=zAA點到H面的距離,Aa=aay=aaz=ax0=xAA點到W面的距離,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,例1：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,通過作45線使aaz=aax,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,例2:已知A點的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。,作投影軸；,量?。篛ax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點；,步驟:,過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a、a既為所求。,四、特殊位置點的投影,（1）投影面上的點,（2）投影軸上的點,五、點的輔助投影,點的輔助投影必須垂直于原投影面體系中的一個投影面才能構(gòu)成新的兩投影體系,根據(jù)點在原體系的投影可以作出它在新投影體系中的輔助投影。,空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準，來判斷另一個點在該點的前或后、左或右、上或下。,六、兩點的相對位置：,當(dāng)空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應(yīng)相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。,(),H面重影，被擋住的投影加(),42直線的投影,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,統(tǒng)稱特殊位置直線,一般位置直線,一般位置直線的特點：1、一般線對各基本投影面都傾斜；直線對投影面的傾角，就是該直線和它在該投影面上的投影所夾的角；2、一般線上各點到同一個投影的距離都不等；3、一般線對H、V、W面得傾角、，他們的投影都不反映實形。,一、一般位置直線：,二、投影面平行線：,投影面平行線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長，且反映對其他兩個投影面傾角的實形；（2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實形。,水平線（平行H面，同時傾斜于V、W面的直線）,水平投影反映實長及傾角，正面投影及側(cè)面投影垂直于OZ軸,正平線（平行V面，同時傾斜于H、W面的直線）,正面投影反映實長及傾角，水平投影及側(cè)面投影垂直于OY軸,側(cè)平線（平行W面，同時傾斜于H、V面的直線）,側(cè)面投影反映實長及傾角，水平投影及正面投影垂直于OX軸,三、投影面垂直線：,鉛垂線（垂直于H面，同時平行于V、W面的直線）,水平投影積聚為一點；正面投影及側(cè)面投影平行于OZ軸，且反映實長。,正垂線（垂直于V面，同時平行于H、W面的直線）,正面投影積聚為一點；水平投影及側(cè)面投影平行于OY軸，且反映實長。,側(cè)垂線（垂直于W面，同時平行于H、V面的直線）,側(cè)面投影積聚為一點；水平投影及正面投影平行于OX軸，且反映實長。,直線上的點的特性：,1、直線上的點的投影，必落在該直線的同面投影上；2、一直線上兩線段長度之比，等于他們的投影長度之比。,43直線上的點,從屬性,定比性,例1：判斷點K是否在線段AB上。,a,b,因k不在ab上，故點K不在AB上。,應(yīng)用定比定理,另一判斷法是,因ak:kbak:kb故點K不在AB上。,43線段的實長和傾角,根據(jù)一般位置直線的投影求解其實長及傾角是畫法幾何綜合習(xí)題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實際中經(jīng)常需要解決的問題。而用直角三角形法求解實長及傾角最為簡便、快捷。,A,B,a,b,a,b,X,O,直角三角形法(求直線的實長及對水平投影面的夾角),AB0=abBB0=AB兩點的高度差,直角三角形法的四要素：投影長、坐標(biāo)差、實長、傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。,解題時，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結(jié)果，但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。,輔助投影法(求直線的實長及對正投影面的夾角),A,B,a,b,a,b,X,O,X,O,a,b,a,b,X1,O1,ax1,a1,b1,bx,ax,bx1,A1,A1,45兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置,兩直線平行,兩直線相交,兩直線交錯,兩直線相交必有一個公共交點，因此：若空間兩直線相交，則它們的各同面投影均相交，且交點符合點的投影規(guī)律。反之亦然。,一、兩直線相交,二、兩直線平行,兩直線在空間互相平行，則它們的同面投影也相互平行。反之，若兩直線的各個同面投影均相互平行，則該兩直線在空間也一定相互平行。,注意：對于一般位置的兩直線，僅根據(jù)它們的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它們在空間是否平行。但是對于側(cè)平線，則必須考察它們的側(cè)面投影，才可以斷定它們在空間的真實位置。,AB、CD不平行,當(dāng)互相平行的兩直線垂直于某一投影面時，則在該投影面上的投影（積聚為兩點），反映它們在空間的真實距離。,A,D,C,B,a(b),c(d),三、兩直線交叉,空間兩直線即不平行也不相交時，稱為交錯。,O,a,c,d,b,a,c,d,b,X,空間兩直線交錯時，它們的同面投影可能相交，但交點不可能符合點的投影規(guī)律；它們的某個同面投影可能平行，但不可能三個同面投影都同時出現(xiàn)平行。,思考：當(dāng)兩直線交錯時，可能出現(xiàn)投影的交點在同一豎直線上或者水平線上嗎？,四、兩直線垂直,一般情況下，要使一個角不變形的投射到某一投影面上，必須使此角的兩邊都平行于該投影面。但是對于直角，只要有一邊平行于某一投影面，則此直角在該投影面上的投影仍舊是直角。,A,C,B,a,c,b,兩條互相垂直的直線，若其中有一條是某一投影面的平行線，則它們在該投影面的投影必互相垂直。,例1：確定A點到正平線CD的距離。,46平面的投影,空間平面,特殊位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,一、平面的表示法,用幾何元素表示平面：（1）不在同一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）兩相交直線；（4）兩平行直線；（5）任意平面圖形。,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,二、一般位置面,對三個投影面都傾斜的平面。,三個投影均為類似形，不反映實形和傾角，也不積聚。,思考：投影面與實形的大小關(guān)系。,三、投影面垂直面,垂直于一個投影面，同時傾斜于其它兩個投影面的平面。,鉛垂面垂直于H面，同時傾斜于V、W的平面正垂面垂直于V面，同時傾斜于H、W的平面?zhèn)却姑娲怪庇赪面，同時傾斜于H、V的平面,鉛垂面：水平投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；正面投影和側(cè)面投影均不反映實形且變小。,正垂面：正面投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；水平投影和側(cè)面投影均不反映實形且變小。,側(cè)垂面：側(cè)面投影積聚為直線，并反映傾角、的實形；水平投影和正面投影均不反映實形且變小。,投影面垂直面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面與相應(yīng)投影面的夾角；（2）平面在另外兩個投影面上的投影不反映實形，且變小。,事實上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影積聚為一條斜線，則該平面必為該投影面的垂直面。,對一個投影面平行，同時垂直于其它兩個投影面的平面。,水平面平行于H面，同時垂直于V、W的平面正平面平行于V面，同時垂直于H、W的平面?zhèn)绕矫嫫叫杏赪面，同時垂直于H、V的平面,四、投影面平行面,水平面：水平投影反映實形；正面投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。,正平面：正面投影反映實形；水平投影和側(cè)面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。,側(cè)平面：側(cè)面投影反映實形；水平投影和正面投影積聚為一條直線并平行于相應(yīng)的投影軸。,投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實形；（2）平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線，且分別平行于相應(yīng)的投影軸。,事實上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行于某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。,讀圖與視圖,投影面平行面,投影面垂直面,一般位置平面,47平面上的直線和點,一、平面上的直線,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一：,解法二：,根據(jù)定理一,有多少解,根據(jù)定理二,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解,k,b,例3：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,二、平面上的點,點在平面內(nèi)的判定規(guī)則是：一點若在平面內(nèi)的一條直線上，則此點必位于該平面內(nèi)。,例1、判定點K是否在平面ABC上。,點D從屬于ABC上的直線AB，故點D在平面內(nèi)。,例2、判斷點K是否在平面ABC內(nèi)。,K點不在平面內(nèi)的直線AD上，故K點不在平面內(nèi)。,例3、已知ABC內(nèi)一點的正面投影m，試補出其水平投影m。,先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例4：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。,平面上取點的方法,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,分析已給條件的空間情