基于MATLAB的數(shù)值分析.ppt

基于MATLAB的數(shù)值分析,以軟件MATLAB作為輔助工具介紹數(shù)值分析（科學(xué)與工程計(jì)算）的基本內(nèi)容，注重講授一些求解方程以及結(jié)果可視化的知識和技巧，使同學(xué)們能夠有效地解決問題并處理計(jì)算結(jié)果。,內(nèi)容包括：1、MATLAB編程和繪圖2、數(shù)值分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3、數(shù)值算法在工程、科學(xué)中的應(yīng)用,第一章MATLAB入門,1、MATLAB的命令窗口工作都在此處完成。2、怎樣進(jìn)行計(jì)算運(yùn)算對象：矩陣算術(shù)運(yùn)算符：+-*.*./.倒除：ab=b/a變量與變量名：變量名和變量名類型不需聲明。,3、數(shù)據(jù)顯示格式默認(rèn)格式：5位（formatshort)formatlong16位formate短的浮點(diǎn)格式formatlonge長的浮點(diǎn)格式4、清除命令clear:清除所有使用過的變量或某個(gè)（些）變量clc:清除命令窗口5、程序結(jié)構(gòu)分支：if_else_end;if_elseif_end;if_break_end循環(huán)：for_end;while_end,6、讀寫輸入數(shù)據(jù)：z=input(typeyoueinput:)鍵盤輸入格式化輸出：fprintf(e_format%12.5en,vol)7、數(shù)學(xué)函數(shù)8、功能函數(shù)sort(x)sum(x)max(x)min(x)mod(x,y)rand(n)eval(s)9、編程（編寫M文件）10、繪圖,第二章數(shù)值代數(shù),內(nèi)容：數(shù)值代數(shù)就是研究有關(guān)矩陣計(jì)算的問題。主要包括：1、線性代數(shù)方程組的求解；2、矩陣特征值問題要求：1、掌握用MATLAB求解的方法2、知道那些問題是困難的，那些問題是不可解的。,A=zeros(m,n)m行n列的零矩陣I=eye(n)n階單位矩陣A=ones(m,n)元素均為1AA的轉(zhuǎn)置A(:,k)取出第k列的數(shù)據(jù)A(k,:)取出第k行數(shù)據(jù)A(m1:m2,n1:n2)取出從第m1行至m2行且n1列至n2列的矩陣inv(A)A的逆size(A)A的大小Matlab提供了函數(shù)size,length和numel來分別獲取數(shù)組的行數(shù)和列數(shù)、數(shù)組長度（即行數(shù)或列數(shù)中的較大值）和元素總數(shù)。s=size(A),當(dāng)只有一個(gè)輸出參數(shù)時(shí)，size函數(shù)返回的是一個(gè)行向量，該行向量的第一個(gè)元素時(shí)數(shù)組的行數(shù)，第二個(gè)元素是數(shù)組的列數(shù)。r,c=size(A),當(dāng)有兩個(gè)輸出參數(shù)時(shí)，size函數(shù)將數(shù)組的行數(shù)返回到第一個(gè)輸出變量，將數(shù)組的列數(shù)返回到第二個(gè)輸出變量。如果在size函數(shù)的輸入?yún)?shù)中再添加一項(xiàng)，并用1或2為該項(xiàng)賦值，則size將返回?cái)?shù)組的行數(shù)或列數(shù)。其中r=size(A,1)該語句返回的時(shí)數(shù)組A的行數(shù)，c=size(A,2)該語句返回的時(shí)數(shù)組A的列數(shù)。n=numel(A)該語句返回?cái)?shù)組中元素的總數(shù)。n=length(A)：如果A為非空數(shù)組，返回行數(shù)和列數(shù)兩者之間數(shù)值較大的那一個(gè)值，即相當(dāng)于執(zhí)行了max(size(A)；如果A為空數(shù)組，則返回0；如果A是一個(gè)向量則返回A的長度。n=max(size(A)：若A為非空數(shù)組，返回A的最大維數(shù)；若A為空數(shù)組，返回A中最長的非0維數(shù)。hilb(n)Hilbert矩陣,2.1矩陣,情況1：m=n(正規(guī)方程），最常見；情況2：mn(超定方程）；本節(jié)只介紹情況1。,MATLAB命令：,2.2解線性代數(shù)方程組的MATLAB命令,線性代數(shù)方程組并不總是數(shù)值可解的。只有當(dāng)矩陣A的行列式不為零時(shí)才行！矩陣A的行列式即使不為零，但當(dāng)很小或很大時(shí)，解的誤差可能很大。,計(jì)算矩陣行列式的MATLAB命令：,2.4病態(tài)問題有許多線性代數(shù)方程組理論上是可解的，但實(shí)際計(jì)算中由于受到舍入誤差的影響而無法得到精確解。此類問題成為病態(tài)問題。病態(tài)問題的計(jì)算過程中，小的舍入誤差或系數(shù)矩陣的微小變化都可能使解產(chǎn)生很大誤差。（例子P97),2.3不可解問題,病態(tài)矩陣的一個(gè)重要標(biāo)志是條件數(shù)：,MATLAB命令：,當(dāng)矩陣是病態(tài)時(shí)，其條件數(shù)一定很大，但它并不能直接說明解的誤差。線性方程組解的誤差程度也取決于計(jì)算環(huán)境的精度。條件數(shù)和行列式與計(jì)算環(huán)境是相互獨(dú)立的。所以大條件數(shù)或小行列式未必意味無法直接精確求得線性方程組的解，它只意味著有很大誤差可能。而實(shí)際上如果采用更高精度的計(jì)算環(huán)境則很可能得到非常滿意的解。Hilbert矩陣是非常著名的病態(tài)矩陣（hilb(n),它經(jīng)常用來檢驗(yàn)算法的數(shù)值穩(wěn)定性的好壞。,兩種原因使我們想了解求解線性代數(shù)方程組的算法。一是實(shí)際工作中要用其它計(jì)算機(jī)語言（Fortran,總的乘除運(yùn)算量=,第二步：回代求解,%,二、LU分解法,LU分解的目的是將矩陣A轉(zhuǎn)換為兩個(gè)矩陣的乘積，即,好處是：對于線性方程組，如果需要多次求解不同的非齊次項(xiàng)，此時(shí)LU分解的效率將大大超過高斯消去法。,LU分解的MATLAB命令：l,u=lu(A)和l,u,p=lu(A),前面講到的不選主元的高斯消去法和列主元高斯消去法將能實(shí)現(xiàn)LU分解。不選主元的高斯消去法用于下面兩類矩陣肯定能成，即嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣或?qū)ΨQ正定矩陣，其他矩陣就難說了！列主元高斯消去法是解決一般中小型稠密矩陣方程組最有效的方法之一。下面講解列主元高斯消去法實(shí)現(xiàn)LU分解的算法。,1、LU分解的代數(shù)理論,現(xiàn)在我們只要將列主元高斯消去法稍加改造即是LU分解的算法。列主元高斯消去法的矩陣表示：,2、LU分解算法,運(yùn)算量和高斯消去法一樣,3、三對角矩陣方程的追趕法,三對角且主對角嚴(yán)格占優(yōu)矩陣方程是一類來源豐富的問題。比如，微分方程數(shù)值解或樣條插值等問題中的正規(guī)方程組。解這種問題必須考慮其矩陣稀疏的特征，減少算法的計(jì)算量。,三對角矩陣形如：,T的LU分解具有形式：,由T=LU推得：,最終解為f.乘除運(yùn)算量：5n=O(n).,4、對稱正定矩陣方程的cholesky分解法,對稱正定矩陣方程的來源比較豐富，比如線性回歸、擬合等問題。解這類問題必須考慮其矩陣對稱的特征，減少算法的計(jì)算量。,由于A為對稱正定矩陣，A必有cholesky分解：,三、線性代數(shù)方程組的迭代法,線性代數(shù)方程組的迭代法并不適用于所有問題，但它對一些特定類型的問題非常有效。當(dāng)問題是大型稀疏矩陣方程時(shí)，高斯消去法的效率會(huì)變得非常低，而且有時(shí)還會(huì)超出內(nèi)存要求。對于這樣的問題就需要使用迭代法。大系統(tǒng)問題的求解最終歸結(jié)為大型稀疏矩陣方程。比如，電網(wǎng)絡(luò)、場方程的數(shù)值計(jì)算、運(yùn)籌問題等。盡管迭代法的種類很多，這里只介紹其中的三種：1、Jacobi迭代；2、Gauss-Seidel迭代;3、超松弛迭代法（SOR)。,1、線性代數(shù)方程組的迭代法的一般理論,迭代算法簡單，但問題是：1、能否保證算法收斂？2、能否充分利用矩陣的稀疏性，使運(yùn)算量和存貯量盡量少。,定理一迭代法收斂的充分必要條件是,定理二迭代法收斂的充分必要條件是,定理三迭代法收斂的充分條件是,收斂性定理,對于任意的初值,迭代矩陣B的構(gòu)造,充分利用矩陣的稀疏性，使運(yùn)算量和存貯量盡量少的辦法就是要求迭代矩陣B與原矩陣A有相同的稀疏結(jié)構(gòu)。具體就是：,常用迭代法及其收斂性,定理4：SOR收斂的必要條件是02.定理5：如果A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣或不可分弱對角占優(yōu)矩陣，則1、Jacobi收斂；2、gauss-seidel收斂；3、當(dāng)0=1時(shí)，SOR必收斂。定理6：如果A是對稱正定矩陣，則1、當(dāng)2D-A正定時(shí)，Jacobi收斂；2、gauss-seidel收斂；3、當(dāng)0eytaw=a*p;t=q0/(p*w);x=x+t*p;r=r-t*w;q=r*r;s=q/q0;p=r+s*p;q0=q;end,運(yùn)算量：每一步迭代的乘除運(yùn)算量為,2.6矩陣特征值問題,一、冪法,MATLAB命令：D=eig(A)和X,D=eig(A),實(shí)用算法：,functionlmta,x=mifa(a,epsl)m,n=size(a);x0=ones(n,1);while1x=a*x0;lmta,m=max(abs(x);lmta=sign(x(m)*lmta;x=x/lmta;ifabs(x-x0)epsl,break,end;x0=x;end,一、冪法,二、反冪法及其原點(diǎn)位移,反冪法用來求A的按模最小的特征值。,實(shí)用算法：,functionlmta,x=fanmifa(a,epsl)m,n=size(a);x0=ones(n,1);while1x=ax0;lmta,m=max(abs(x);lmta=sign(x(m)*lmta;x=x/lmta;ifmax(abs(x-x0)epsl,break,end;x0=x;endlmta=1/lmta;,1、反冪法,2、帶原點(diǎn)位移的反冪法,反冪法與“原點(diǎn)位移”相配合，求指定點(diǎn)附近的某個(gè)特征值和特征向量，并可用于加速冪法的收斂性。,另一方面，s離A的某個(gè)特征值越近，收斂越快。因此不論用冪法求A的按模最大特征值，還是利用反冪法求A的按模最小特征值，為了加快收斂，均可以用迭代m步后的近似值lmta作為最初始的位移值,實(shí)行動(dòng)態(tài)位移迭代。,動(dòng)態(tài)位移冪法,functionlmta,x=dongtamifa(a,epsl0,epsl)lmta,x=mifa(a,epsl0);x0=x;lmta0=lmta;n=length(x0);while1x=(a-lmta0*eye(n)x0;lmta,m=max(abs(x);lmta=sign(x(m)*lmta;x=x/lmta;lmta=1/lmta+lmta0;ifmax(abs(x-x0)epsl,break,end;x0=x;lmta0=lmtaend,動(dòng)態(tài)位移反冪法,functionlmta,x=dongtaifanmifa(a,epsl0,epsl)lmta,x=fanmifa(a,epsl0);x0=x;lmta0=lmta;n=length(x0);while1x=(a-lmta0*eye(n)x0;lmta,m=max(abs(x);lmta=sign(x(m)*lmta;x=x/lmta;lmta=1/lmta+lmta0;ifmax(abs(x-x0)epsl,break,end;x0=x;lmta0=lmta;end,三、冪法綜述,1、冪法和反冪法只能用于求解可對角化矩陣的實(shí)數(shù)特征值和特征向量，不能求解復(fù)數(shù)特征值；2、冪法和反冪法均為線性收斂，收斂速度由收斂因子決定，效率不高。3、動(dòng)態(tài)位移可以大大減小收斂因子加速收斂；4、不適于求解全部特征值。5、對稱矩陣自然適用于冪法，此時(shí)采用2-范數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化向量的算法至少平方收斂。,求解一般矩陣全部特征值的辦法是下面的相似變換法,四、矩陣全部特征值的QR迭代算法,求解一般矩陣全部特征值的辦法是相似變換法。其理論根據(jù)是：,1、矩陣的兩種正交變換,平面旋轉(zhuǎn)變換,鏡面反射矩陣,鏡面反射矩陣的意義是“成批”消去向量的非零元素。,functiona,b,x=householder(x)%xgived,seekahousehouderconvertH=I-bxx,makeHx=-a.n=length(x);t=max(abs(x);ift=0a=0;b=0;elsex=x/t;a=sqrt(x*x);ifx(1)0,a=-a;endx(1)=x(1)+a;b=1/(a*x(1);a=t*a;end,2、方陣的正交三角化分解,方陣的正交三角化分解,即,functionarfa,bata,a=qrfenjie(a)m,n=size(a);fork=1:n-1arfa(k),bata(k),a(k:n,k)=householder(a(k:n,k);forj=k+1:na(k:n,j)=a(k:n,j)-bata(k)*a(k:n,k)*a(k:n,j)*a(k:n,k);endend,functionq,r=qrgouzao(a)%實(shí)現(xiàn)a=qr,q是正交矩陣,r是上三角矩陣。m,n=size(a);arfa,bata,a=qrfenjie(a);q=eye(n)-bata(1)*a(1:n,1)*a(1:n,1);fork=2:n-1q(1:k-1,k:n)=q(1:k-1,k:n)-bata(k)*q(1:k-1,k:n)*a(k:n,k)*a(k:n,k);q(k:n,k:n)=q(k:n,k:n)-bata(k)*q(k:n,k:n)*a(k:n,k)*a(k:n,k);endfori=1:n-1forj=i+1:nr(i,j)=a(i,j);endendfori=1:n-1r(i,i)=-arfa(i);endr(n,n)=a(n,n);,3、化矩陣為Hessenberg型,functionq,h=hessenberghua(a);%h=qaq,h為Hessenberg矩陣，q為正交矩陣。m,n=size(a);q=eye(n);fork=1:n-2arfa(k),bata(k),a(k+1:n,k)=householder(a(k+1:n,k);p=eye(n-k)-bata(k)*a(k+1:n,k)*a(k+1:n,k);a(1:k,k+1:n)=a(1:k,k+1:n)*p;a(k+1:n,k+1:n)=p*a(k+1:n,k+1:n)*p;q(1:n,k+1:n)=q(1:n,k+1:n)*p;endh=a;fori=1:n-2h(i+1,i)=-arfa(i);endforj=1:n-2fori=j+2:nh(i,j)=0;endend,注：當(dāng)A為對稱矩陣時(shí)，其Hessenberg形為對稱三對角矩陣。,4、Hessenberg矩陣在QR分解下的不變性,顯然，實(shí)現(xiàn)Hessenberg矩陣的QR分解用Givens變換合適。即執(zhí)行n-1次Givens變換:,functionq,h=givensqr(h)%h為不可約hessenberg矩陣，用givens變換進(jìn)行QR分解。m,n=size(h);q=eye(n);fork=1:n-1ifh(k+1,k)=0c=h(k,k)/sqrt(h(k,k)2+h(k+1,k)2);s=h(k+1,k)/sqrt(h(k,k)2+h(k+1,k)2);d=c,s;-s,c;h(k:k+1,k:n)=d*h(k:k+1,k:n);ifk=1q=dzeros(2,n-2);zeros(2,n-2)eye(n-2);elseq=q*eye(k-1)zeros(k-1,2)zeros(k-1,n-k-1).;zeros(k-1,2)dzeros(2,n-k-1).;zeros(k-1,n-k-1)zeros(2,n-k-1)eye(n-k-1);endendend,5、基本QR算法,一般QR迭代算法的收斂性比較復(fù)雜，這里不再介紹。僅指出，在一定條件下由基本QR算法生成的系列,收斂為準(zhǔn)上三角矩陣，對角塊按特征值的模從大,到小排列。,functionq,h=jibenQR(a,epsl)m,n=size(a);q0,h=hessenberghua(a);t=zeros(1,n-1);while1fori=1:n-1ifabs(h(i+1,i)=(abs(h(i,i)+abs(h(i+1,i+1)*epslh(i+1,i)=0;t(i)=i+1;endendk=1;whilek=n-2ift(k)=t(k+1)yes=1;k=n-1;elsek=k+1;yes=0;endendifyes=0,break,end;q,h=givensqr(h);h=h*q;q=q0*q;q0=q;end,6、QR算法的改善,基本QR算法計(jì)算量和存儲量都很大，且若收斂是線性的。因此，需要從這兩方面加以改善。,（1）劃分和收縮（2）原點(diǎn)位移,第三章數(shù)值逼近,內(nèi)容：數(shù)值逼近也稱數(shù)據(jù)模擬，是為離散數(shù)據(jù)（不論何種途徑得到）建立簡單連續(xù)模型的方法。包括：1、插值方法2、數(shù)據(jù)擬合方法3、最佳逼近要求：1、了解MATLAB功能函數(shù)2、掌握數(shù)據(jù)模擬的各種方法及應(yīng)用,3.1問題的提出,例一：在某化學(xué)反應(yīng)里，側(cè)的生成物的質(zhì)量濃度y與時(shí)間t(min)的關(guān)系入表。為了研究該化學(xué)反應(yīng)的性質(zhì)，如反映速率等，欲求y與t之間的關(guān)系y=f(t)。,例二：逢山開道（山區(qū)修建公路的路線選擇問題1994）在某山區(qū)修建公路，已知該山區(qū)的地形高度見表一（單位m）。雨季在山谷形成一溪流，雨量最大時(shí)溪流水面寬度W與x（溪流最深處的）坐標(biāo)的關(guān)系可以表示為,要求：從山腳開始經(jīng)居民點(diǎn)至礦區(qū)修一條公路（一般公路、橋、隧道）給出路線設(shè)計(jì)方案使工程成本最小。,部分?jǐn)?shù)據(jù)表：,2000,工程要求：,例三：水道測量模型（1989.美國）問題水平方向的坐標(biāo)x，y以Td（=0.914m）為單位,水深方向Z以Ft(=30.48cm)為單位.下表給出了水面直角坐標(biāo)(x,y)處的水深Z，這是在低潮時(shí)測得的。如果船的吃水深度為5Ft，試問在矩形城(75，200)(-50，50)中行船應(yīng)避免進(jìn)入那些區(qū)域?,工作：1、要根據(jù)數(shù)據(jù)做出地貌圖（三維）,等高線（等勢圖）二維。2、由坡度限制，沿給定的網(wǎng)格點(diǎn)選擇路線,工作：將海底曲面圖繪制出來。,總之：根據(jù)給定采樣數(shù)據(jù)而定出其實(shí)際分布圖，這就是數(shù)值模擬問題，采用的方法就是插值和擬合。,3.2數(shù)值模擬概論,在科學(xué)與工程等實(shí)際問題中，實(shí)際數(shù)學(xué)模型或者難于建立或者難于求解，但其數(shù)據(jù)模型（由實(shí)驗(yàn)或測量所得到的一批離散數(shù)據(jù)）容易得到。能否通過處理這些數(shù)據(jù)來建立實(shí)際模型呢？這里我們僅以一維問題來說明。,給定：y=f(x)數(shù)據(jù),通過這批數(shù)據(jù)希望找到對象y=f(x)的更多的信息（或全部信息）。通常只能找到f(x)的近似表達(dá)式(x),(x)是根據(jù)研究對象的特征確定的。,對象是指數(shù)增（減）并最終穩(wěn)定到某個(gè)值,則,對象是直線運(yùn)動(dòng)、勻加速運(yùn)動(dòng)，則,一般地，我們都要通過對研究對象實(shí)際的了解，做以下工作：,1、確定它的基本特征函數(shù),2、對這些特征函數(shù)（基函數(shù)）進(jìn)行一種恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造，得到f(x)近似的數(shù)學(xué)模型:,最常用也就是最簡單的一種構(gòu)造方式就是：,3、按某種尋優(yōu)策略，由已知數(shù)據(jù)確定未知參數(shù),尋優(yōu)策略的不同，產(chǎn)生了不同的數(shù)值逼近方法,3.3插值方法,尋優(yōu)策略就是過點(diǎn)，即,根據(jù)需要可附加補(bǔ)充原則:,1、p階光滑度,2、邊界條件：,處光滑性,周期性等,（整體）誤差：,插值方法中最常用的一類就是代數(shù)插值。,代數(shù)插值：即多項(xiàng)式的插值,一、代數(shù)插值,（一）拉格朗日插值公式（Lagrange),給定：y=f(x)數(shù)據(jù),確定次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x),使,拉格朗日插值公式的討論,線性插值公式（n=1的情況）,顯然，兩插值節(jié)點(diǎn)越近，越精確。,2、二次插值（拋物線插值，n=2的情況）,n越大精度越高！是這樣嗎？下面我們看一實(shí)例。,實(shí)例演示：分別用n=1,2,4,8,16,32時(shí)的拉格朗日插值逼近f(x)。,functionf=lagelangri(t,y,x)n=length(t);forj=1:nl(j)=1;fori=1:nifi=jl(j)=l(j)*(x-t(i)/(t(j)-t(i);endendendf=y*l;,定義lagrange函數(shù),functionf=shiyanhs(x)f=1./(1+25*x.2);,定義實(shí)驗(yàn)函數(shù),functiong=lagelangritu(a,b,n)h=(b-a)/n;t=a:h:b;f0=shiyanhs(t);x=a:0.02:b;m=length(x);fori=1:mp(i)=lagelangri(t,f0,x(i);endf=shiyanhs(x);plot(x,f,r,x,p);gtext(f(x);gtext(p(x,n);axis(-1,1,-1,1);,畫圖：f(x)和p(x),總之，我們看到利用拉格朗日公式逼近函數(shù)f(x),n小不行，n大也不行。這是為什么呢？,綜合以上分析我們可以得到如下結(jié)論：在小區(qū)間上應(yīng)用低次拉格朗日差值公式（n=t(i),定義分段線性插值函數(shù),實(shí)驗(yàn)：用分段線性插值逼近函數(shù),functiong=fenduanxianxingtu(a,b,n)h=(b-a)/n;t=a:h:b;f0=shiyanhs(t);x=a:0.02:b;m=length(x);fori=1:mf(i)=fenduanxianxing(t,f0,x(i);endf1=shiyanhs(x);plot(x,f1,.-r,x,f);gtext(f(x);gtext(p(x,n);axis(-1,1,-1,1);,g=fenduanxianxingtu(-1,1,50),計(jì)算：,分段線性插值的討論：,誤差分析,下面的實(shí)例演示可以說明,g=fenduanxianxingtu(-1,1,n),分別用n=4，8,16,32的分段線性差值逼近函數(shù)（h=2/n),樣條函數(shù)與樣條插值：,給定：y=f(x)數(shù)據(jù),確定s(x),使,若s(x)存在，則稱s(x)為對應(yīng)于給定數(shù)據(jù)的一個(gè)k次樣條插值。滿足條件1和2的函數(shù)S(x)稱為k次樣條函數(shù)。,樣條函數(shù)的這種數(shù)學(xué)定義來源于繪圖員沿著受壓鐵約束的樣條（一根具有很好彈性的木條），畫出各種光滑曲線（樣條曲線）。這種樣條曲線可以看成彈性細(xì)梁受集中載荷作用而生成的撓度曲線。,S(x)的存在性討論：,實(shí)際中常用k=2,3的情況，即二次樣條和三次樣條,二次樣條插值公式,因?yàn)槎螛訔l函數(shù)的確定需要n+2個(gè)條件，而,給定了n+1個(gè)，所以還需補(bǔ)充一個(gè)條件（自然是邊界條件）。通常有,補(bǔ)充條件1下的二次樣條插值公式,采用如下方法來確定：,聯(lián)立式（1）、（2）、（3）確定了二次樣條插值公式：,這樣不如前面的方法簡單！,實(shí)驗(yàn)：用二次樣條插值逼近f(x),h=(b-a)/n.比較n=4,8,16,32的效果,二次樣條插值的誤差分析,三次樣條插值公式,因?yàn)槿螛訔l函數(shù)的確定需要n+3個(gè)條件，而,給定了n+1個(gè)，所以還需補(bǔ)充二個(gè)條件（自然是邊界條件）。通常有,解由插值條件和補(bǔ)充條件構(gòu)成的線性方程組，可以得