高考數(shù)學必修知識講解平面向量的基本定理及坐標表示基礎(chǔ)

平面向量的基本定理及坐標表示【學習目標】1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.【要點梳理】要點一：平面向量基本定理1平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合.其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.這說明如果且，那么.當基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ).要點詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量.2如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運算，達到解題的目的（2）在解具體問題時，要適當?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示選擇了不共線的兩個向量、 ，平面上的任何一個向量都可以用、 唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、 的代數(shù)運算要點二：向量的夾角 已知兩個非零向量與，在平面上任取一點O，作，則叫做與的夾角，記為，當向量與不共線時，與的夾角；當向量與共線時，若同向，則；若反向，則，綜上可知向量與的夾角當向量與的夾角是，就說與垂直，記作要點詮釋：（1）向量夾角是指非零向量的夾角，零向量與任何向量不能談夾角問題（2）向量是兩向量夾角的特殊情況，可以理解為兩向量所在直線互相垂直要點三：平面向量的坐標表示1正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解要點詮釋：如果基底的兩個基向量、互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式2平面向量的坐標表示如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=x+y.這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標，記作=，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標把=叫做向量的坐標表示給出了平面向量的直角坐標表示，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系要點詮釋：（1）由向量的坐標定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等，即且，其中（2）要把點的坐標與向量坐標區(qū)別開來相等的向量的坐標是相同的，但始點、終點的坐標可以不同比如，若，則；若，則，顯然A、B、C、D四點坐標各不相同（3）在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量要點四：平面向量的坐標運算 1平面向量坐標的加法、減法和數(shù)乘運算運 算坐標語言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=(x，y)2如何進行平面向量的坐標運算在進行平面向量的坐標運算時，應(yīng)先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標運算法則進行計算在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點坐標和終點坐標，再運用終點坐標減去起點坐標得到該向量的坐標求一個點的坐標，可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標但同時注意以下幾個問題：（1）點的坐標和向量的坐標是有區(qū)別的，平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關(guān)，只有起點在原點時，平面向量的坐標與終點的坐標才相等（2）進行平面向量坐標運算時，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關(guān)系（3）要注意用坐標求向量的模與用兩點間距離公式求有向線段的長度是一樣的（4）要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)要點五：平面向量平行(共線)的坐標表示1平面向量平行(共線)的坐標表示設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.要點詮釋：若，則不能表示成因為分母有可能為0.2.三點共線的判斷方法判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進行判定，即已知=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若則A，B，C三點共線.【典型例題】類型一：平面向量基本定理例1如果、是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（ ）可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使得；若實數(shù)，使得，則A B C D【思路點撥】考查平面向量基本定理【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，是正確的對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的對于，當向量與均為零向量，即時，滿足條件的實數(shù)有無數(shù)個故選B【總結(jié)升華】考查兩個向量能否構(gòu)成基底，主要看兩向量是否為非零向量且不共線此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面內(nèi)任意一個向量都可以由這組基底唯一表示例2如圖所示，四邊形OADB是以向量，為鄰邊的平行四邊形，C為對角線的交點又，試用，表示，【解析】 由題意，得，所以，則，【總結(jié)升華】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、減法的三角形法則或平面四邊形法則結(jié)合實數(shù)與向量的積的定義，解題時要注意解題途徑的優(yōu)化與組合舉一反三：【高清課堂：平面向量基本定理及坐標運算394885 例1】【變式1】如圖，在中，是中點，線段與交于點，試用基底表示：（1）；（2）；（3）.【解析】（1） = = = =（2）=（3）在中，取同理：是的中點 =類型二：利用平面向量基本定理證明三點共線問題例3（2015春 山東棗莊月考）設(shè)，是二個不共線向量，知，（1）證明：A、B、D三點共線（2）若，且B、D、F三點共線，求k的值【思路點撥】向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想【答案】（1）略；（2）=3，k=12【解析】（1）證明：，與有公共點，A、B、D三點共線（2）解：B、D、F三點共線，存在實數(shù)，使，又，不共線，解得=3，k=12【總結(jié)升華】證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線舉一反三：【變式1】（2016 山西朔州月考）設(shè)是不共線的兩個非零向量若，求證：A、B、C三點共線【證明】，共線，有公共端點BA、B、C三點共線類型三：平面向量的正交分解例4如下圖，分別用基底，表示向量、，并求出它們的坐標【解析】 由圖可知，=（2，3）同理可知=3+4=（3，4）=44=（4，5）舉一反三：【變式1】已知O是坐標原點，點M在第二象限，xOM=120，求的坐標【解析】設(shè)M（x，y），則，即，所以【總結(jié)升華】向量的坐標表示是向量的另一種表示方法，對此要從兩個方面加深理解：一是相等向量的坐標相同；二是當向量的起點在原點時，終點坐標即為向量的坐標類型四：平面向量的坐標運算例5已知，且求M、N及的坐標.【思路點撥】根據(jù)題意可設(shè)出點M、N的坐標，然后利用已知的兩個關(guān)系式，列方程組，求出坐標.【解析】 設(shè)，則同理可求，因此【總結(jié)升華】向量的坐標是向量的另一種表示形式，它只與起點、終點、相對位置有關(guān)，三者中給出任意兩個，可求第三個.在求解時，應(yīng)將向量坐標看做一“整體”，運用方程的思想求解.向量的坐標運算是向量中最常用也是最基本的運算，必須熟練掌握.舉一反三：【變式1】 已知點以及求點C，D的坐標和的坐標.【解析】設(shè)點C、D的坐標分別為，由題意得因為，所以有和，解得和所以點C、D的坐標分別是(0，4)，(-2，0)，從而類型五：平面向量平行的坐標表示例6如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分別為DC、AB的中點，求、的坐標，并判斷、是否共線【解析】 已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分別為DC、AB的中點，由中點坐標公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），其坐標滿足2.5(2.5)2.5(2.5)=0，、共線【總結(jié)升華】求出兩向量的坐標，驗證x1y2x2y1=0即可舉一反三：【變式1】向量，當k為何值時，A、B、C三點共線？【解析】 ，A、B、C三點共線，即(k4)(12k)(k10)7=0整理，得k29k22=0解得k1=2或k2=11當k=2或11時，A、B、C三點共線【總結(jié)升華】以上方法是用了A、B、C三點共線即公共點的兩個向量，共線，本題還可以利用A、B、C三點共線或，即得k=2或11時，A、B、C三點共線【變式2】（2015秋 海南期末）已知， （1）若k為何值時，與共線（2）若，且A、B、C三點共線，求m的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）與共線2(k2)(1)5=0，即2k4+5=0，得（2）A、B、C三點共線，存在實數(shù)，使得，又與不共線，解得【高清課堂：平面向量基本定理及坐標運算394885 例4】例7如圖，已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點P的坐標【解析】方法一：由O、P、B三點共線，可設(shè)，則，由與共線得(44)64(2)=0，解得，所以所以P點坐標為（3，3）方法二：設(shè)P（x，y），則，因為，且與共線，所以，即x=y又，且與共線，則得(x4)6y(2)=0，解得x=y=3，所以P點坐標為（3，3）【總