3第三章 多維隨機(jī)變量及其分布ppt課件

聯(lián)合分布邊沿分布條件分布,第三章多維隨機(jī)變量及其分布,獨(dú)立性隨機(jī)變量函數(shù)的分布,本章著重討論二維隨機(jī)變量,它的很多結(jié)論不難推廣到n大于2的情形.,前面我們討論了一個(gè)隨機(jī)變量的情況,但在實(shí)際問(wèn)題中，某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述。例如，為了研究?jī)和纳眢w發(fā)育情況，需要同時(shí)考慮身高X和體重Y.又如，考察某地區(qū)的氣候情況，需要同時(shí)考慮氣溫X1，氣壓X2，風(fēng)力X3和濕度X4四個(gè)隨機(jī)變量.,二維隨機(jī)變量,3.1,定義1設(shè)X,Y為定義在同一概率空間(,F,P)上的二個(gè)隨機(jī)變量,則(X,Y)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量.（也稱(chēng)為二維隨機(jī)向量）,定義2設(shè)(X,Y)為一個(gè)二維隨機(jī)變量,記,稱(chēng)二元函數(shù)F(x,y)為X與Y的聯(lián)合分布函數(shù),（或簡(jiǎn)稱(chēng)為(X,Y)的分布函數(shù)）.,顯然,幾何上,若把(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),則分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨,(參見(jiàn)圖3.1),機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)、位于該點(diǎn)左下,方的無(wú)窮矩形內(nèi)的概率.,聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)具有下列性質(zhì)：,對(duì)任意固定的x,當(dāng)y2y1時(shí),.,F(x,y)是變量x(或y)的單調(diào)不減函數(shù),即,對(duì)任意固定的y,當(dāng)x2x1時(shí),.,對(duì)任意固定的x,.,對(duì)任意固定的y,關(guān)于x和關(guān)于y均右連續(xù),即,;,.,(以上性質(zhì)的證明略),有,對(duì)任意固定的,利用分布函數(shù)及其幾何意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn),(X,Y)落在矩形域,內(nèi)的概率為（如圖）,（x2,y2）,（x2,y1）,（x1,y1）,（x1,y2）,y,y2,y1,x1,x2,x,O,0,可以證明，若二元實(shí)值函數(shù)F(x,y)具有以上,注:二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)必須滿(mǎn)足,四條性質(zhì),而一維隨機(jī)變量X的分布函數(shù)只須滿(mǎn)足,三條性質(zhì).,四條性質(zhì)，則必存在隨機(jī)變量X和Y，使F(x,y),是(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).,例1判斷二元函數(shù),是否是某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).,F(x,y)對(duì)任意的x1x2,y1y2,應(yīng)有,解:作為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),而本題中,若取,因此，函數(shù)F(x,y)不能作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).,（滿(mǎn)足性質(zhì)13，但不滿(mǎn)足性質(zhì)4）,1二維離散型隨機(jī)變量,則稱(chēng)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量.,(X,Y)在各個(gè)可能取值處的概率為：,定義若二維隨機(jī)變量(X,Y)所取的值為有限多對(duì),設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為,或可列無(wú)窮多對(duì),稱(chēng),為(X,Y)的（聯(lián)合）分布律，也稱(chēng)為（聯(lián)合）概率函數(shù).,與一維類(lèi)似，(X,Y)的聯(lián)合分布律還可以寫(xiě)成如下表格形式：,(2),.可以證明，若數(shù)集,具有以上兩條性質(zhì),則它必可作為某二維,(X,Y)的分布律具有下列性質(zhì)：,(1),離散型隨機(jī)變量的分布律.,例2設(shè)(X,Y)的分布律為,求a的值.,或,.,解：由分布律性質(zhì),所以,即,（負(fù)值舍去）,的聯(lián)合分布律可求得它的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).,此時(shí)有,根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)的定義,由(X,Y),.,例3設(shè)(X,Y)的,求:,(1)PX=0,(2)PY2,(3)PX1，Y2,(4)PX+Y=2,分布律為,解:(1),且事件X=0,Y=1,X=0,Y=2,X=0,Y=3,兩兩互不相容,所以,PX=0=,=0.1+0.1+0.3=0.5,X=0=,X=0,Y=1X=0,Y=2X=0,Y=3,PX=0,Y=1+,PX=0,Y=2+,PX=0,Y=3,且事件,兩兩互不相容,X=0,Y=1,X=1,Y=1,X=0,Y=2,X=1,Y=2,所以,(3),且事件,所以,(4),互不相容,解:,X與Y的可能值均為1,2,3,利用概率乘法公式,.,例4現(xiàn)有1,2,3三個(gè)整數(shù),X表示從這三個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù),Y表示從1至X中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù),試求(X,Y)的分布律.,可得(X,Y)取各對(duì)數(shù)值的概率分別是,類(lèi)似地有,而X=1,Y=2,及X=1,Y=3,X=2,Y=3,為不可能事件,所以其概率為零,即,(X,Y)的分布律為,例5,(二維兩點(diǎn)分布),設(shè)X,Y由下表給出,二維兩點(diǎn)分布顯然滿(mǎn)足聯(lián)合分布率的兩條性質(zhì).,稱(chēng)（X,Y）服從二維兩點(diǎn)分布.,(00時(shí)，,其他區(qū)域,從而,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為,求：(1)常數(shù)a,b,c;(2)(X,Y)的概率密度,；,解：(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)知,例7,從上面第二式得,從上面第三式得,再?gòu)纳厦娴谝皇降?從而概率密度函數(shù)為,定義設(shè)D為平面上的有界區(qū)域,其面積為S且,下面介紹兩種重要的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：,均勻分布與正態(tài)分布,則稱(chēng)(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,S0,如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,記作(X,Y)UD,.,.,兩個(gè)特殊情形：,此時(shí),(1)D為矩形區(qū)域,(2)D為圓形區(qū)域,如(X,Y)在以原點(diǎn)為圓心,R為半徑的圓域上服從均勻分布,此時(shí),例8設(shè)(X,Y)服從下列區(qū)域D上（如圖）的均勻分布,求:,.,解：如圖,D的面積S=,所以(X,Y)的概率密度為,事件,意味著隨機(jī)點(diǎn)落在陰影區(qū)域,其概率為：,其中D:,都是常數(shù),且,則稱(chēng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,記為,若二維隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為：,(X,Y),二維正態(tài)分布的圖形是曲面,其中,顯然f(x,y)0,下面證明,令,先計(jì)算,記,所以,同樣可得,若令,例9,設(shè)函數(shù)g(x)滿(mǎn)足g(x)0，且,問(wèn),是否為某個(gè)二維連續(xù)型(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)？,解：,顯然f(x,y)0,下面證明,所以，,令,是聯(lián)合密度.,f(x,y),例10,設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函數(shù)F(x,y);(2)求概率PYX,解:,F(x,y)=,即有,F(x,y),(1),(2)將(X,Y)看作是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，即有,YX=(X,Y)G,其中G為平面xOy上直線(xiàn)y=x及其下方的部分，于是,PYX=P(X,Y)G=,3.2邊沿分布,定義,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,F(x,y),F1(x)F(x,+),F2(y)F(+,y),令,分別稱(chēng)F1(x)和F2(y)為F(x,y)關(guān)于X和Y的邊沿,根據(jù)定義可知：,分布函數(shù).,由此可見(jiàn)，F(xiàn)(x,y)關(guān)于X和Y的邊沿分布函數(shù),下面分別研究連續(xù)型和離散型的邊沿分布：,對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y),若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，,則,分別稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度，,即單個(gè)隨機(jī)變量X和Y的概率密度.,就是單個(gè)隨機(jī)變量X和Y的分布函數(shù).,對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量(X,Y),若(X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為,顯然有,同理,為關(guān)于X的邊沿分布律，,記為,稱(chēng),即,為關(guān)于Y的邊沿分布律.,同樣，稱(chēng),顯然，,關(guān)于X或Y的邊沿分布律，,隨機(jī)變量X或Y的分布列.,也就是單個(gè),因此，,邊沿分布律滿(mǎn)足：,例11,12.n,12.n,Y,X,.,設(shè)關(guān)于X和Y的聯(lián)合分布律如下表：,例12求例4中(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律.,解:,X和Y的可能取值均為l,2,3.,(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律為：,(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律為：,可以將分布律與邊緣分布律寫(xiě)在同一張表上,值得注意的是：對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y),雖然由它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個(gè)邊緣分,布,但在一般情況下,由(X,Y)的兩個(gè)邊緣分布是,不能確定(X,Y)的聯(lián)合分布的.,例13設(shè)盒中有2個(gè)紅球,3個(gè)白球,從中每次任取一球,連續(xù)取兩次,X,Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個(gè)數(shù),分別對(duì)有放回摸球與不放回摸球兩種情形求出(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律.,解：(1)有放回抽樣,PX=0,Y=0=,PX=0,Y=1=,事件X=i與Y=j獨(dú)立(i,j=0,1)，所以,PX=1,Y=0=,PX=1,Y=1=,有放回摸球情形,(2)不放回抽樣,類(lèi)似地有,不放回摸球情形,比較兩表可看出：在有放回與不放回兩種情況下,(X,Y)的邊沿分布律完全相同,但聯(lián)合分布律卻不,相同,這表明(X,Y)的聯(lián)合分布不僅反映了兩個(gè)分量,的概率分布,還反映了X與Y之間的關(guān)系.,若兩個(gè)分量的概率分布完全相同,但分量之間的關(guān)系,卻不同,則它們的聯(lián)合分布律也會(huì)不同.因此在研究,二維隨機(jī)變量時(shí),不僅要考察兩個(gè)分量X與Y各自的,個(gè)別性質(zhì),還需要考慮它們之間的關(guān)系,即應(yīng)將(X,Y),作為一個(gè)整體來(lái)研究.,例14,若(X,Y)服從矩形區(qū)域上的均勻分布,即聯(lián)合密度為,容易證明，,關(guān)于X的邊沿密度為,關(guān)于Y的邊沿密度為,例15,若(X,Y)服從單位圓上的均勻分布,即聯(lián)合密度為,求邊沿密度.,解：,當(dāng)|x|1時(shí)，,f(x,y)=0,所以,當(dāng)|x|0,PX=xi|Y=yj=,(i=1,2,.),為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件概率函數(shù),下面分別討論離散型和連續(xù)型的條件分布.,容易驗(yàn)證，上述條件分布列具有分布列的兩條性質(zhì).,則稱(chēng),為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件概率函數(shù),PX=xi0,PY=yj|X=xi=,(j=1,2,.),(條件分布列).,同樣，若,稱(chēng),記為,為在Y=yj條件下X的條件分布函數(shù),PXx|Y=yj,或,為在X=xi條件下Y的條件分布函數(shù),同樣，稱(chēng),記為,PYy|X=xi,或,F(x|yj),F(y|xi),顯然，F(xiàn)(x|yj)不僅依賴(lài)于x且依賴(lài)于yj.,2連續(xù)型,先考慮在限定aYb的條件下，X的條件分布.,有,PXx|aYb=,而,PXx,aYb=,PaYb=,PXx|aYb,由此得到,此為X的條件分布函數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)，得到條件密度函數(shù),下面研究在Y=y時(shí)X的條件分布PXx|Yy.,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),顯然不能使用上面的離散型的方法，因?yàn)镻Y=y=0.,（也不能使用前面aYb，令a=b）,設(shè)PyYy+y0,PXx|yYy+y,則有,F(x|yYy+y),利用積分中值定理，存在y,y(y,y+y)，使,Fx|yYy+y=,令y0，,如果上式極限存在，則應(yīng)有,F(x|Y=y)=,對(duì)上式求導(dǎo)數(shù)，得到其密度函數(shù)為,f(x|Y=y)=,(如果上式極限存在意味著fY(y)0，且fY(y)在y點(diǎn),連續(xù)，f(u,y)在y點(diǎn)連續(xù)，但在高等概率論中，,對(duì)連續(xù)不滿(mǎn)足時(shí)也可證明上式成立.）,定義設(shè)連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函,為在Y=y條件下X的條件概率密度,記為fX|Y(x|y),即,稱(chēng),為在Y=y條件下X的條件分布函數(shù),記為,PXx|Y=y或FX|Y(x|y),數(shù)為f(x,y),Y的邊沿密度為fY(y),且fY(y)0，,則稱(chēng),類(lèi)似地可以定義fY|X(y|x)和FY|X(y|x),(可以證明，,條件分布函數(shù)滿(mǎn)足分布函數(shù)的三個(gè)條件.),條件密度滿(mǎn)足密度函數(shù)的兩個(gè)條件,條件密度公式fX|Y(x|y)=,可以改寫(xiě)成,這個(gè)公式相應(yīng)于條件概率的公式P(AB)=P(B/A)P(A),同樣，還有,例1,設(shè)(X,Y),求,解:,由此可以看出，二元正態(tài)分布的條件分布仍然是正態(tài)分布,這是正態(tài)分布的一個(gè)重要性質(zhì).,正態(tài)分布N(,2)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，就是分布的中心位置，而正態(tài)分布,的中心位置為,從這里可以看出刻畫(huà)了X,Y之間的相依關(guān)系：,若0,則隨著x的增加，Y(在X=x時(shí))的條件分,布的中心點(diǎn)m(x)隨x的增加而增加，這意味著，,當(dāng)x增加時(shí)，Y取大值的可能性增加，即Y有隨著,X的增加而增加的傾向(如身高和體重的關(guān)系).,反之，若0的情況稱(chēng)為“正相關(guān)”，0的情況稱(chēng)為“負(fù)相關(guān)”.,例2,(X,Y)服從單位圓x2+y21上的均勻分布,當(dāng)|y|1時(shí)，,即X在Y=y時(shí)的條件分布為區(qū)間,上的均勻分布.,例3,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,求,X的邊沿密度為,解：,所以,因此,同事件的獨(dú)立性一樣,隨機(jī)變量的獨(dú)立性也,3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性,Xx與Yy相互獨(dú)立意味著Xx,Yy的,是概率統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要的概念.,我們從兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引出兩個(gè),隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.,事件Xx與Yy的積事件是Xx,Yy.,概率等于Xx與Yy的概率的乘積,由此,引入隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立的定義.,.,定義設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,則稱(chēng)X與Y相互獨(dú)立.,由此可知,隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,即對(duì)任意,有,實(shí)數(shù)x,y,事件Xx與Yy相互獨(dú)立.,若F(x,y),FX(x)和FY(y)分別是X,Y兩個(gè)隨機(jī)變量,F(x,y)=FX(x)FY(y),下面分別討論二維離散型和連續(xù)型的獨(dú)立性.,的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù),則式等價(jià)于,1二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量,其分布律為,邊緣分布律為:,X與Y相互獨(dú)立的充要條件為：對(duì)一切i,j,有,注意:X與Y相互獨(dú)立要求對(duì)所有i,j的值式都成立.只要有一個(gè)i或j的值使得式不成立，則X,Y不獨(dú)立.,式也可寫(xiě)為,證：若式成立，即,F(x,y)=,=FX(x)FY(y),反之，若式成立，,即F(x,y)=FX(x)FY(y),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2，,(其中x1x2，y1y2),有,Px1Xx2=FX(x2)FX(x1),Py1Yy2=FY(y2)FY(y1),上面兩式左，右端相乘，得,Px1Xx2Py1Yy2,=Fx(x2)FY(y2)Fx(x1)FY(y2)FX(x2)FY(y1)+FX(x1)FY(y1),=F(x2，y2)F(x1，y2)F(x2，y1)+F(x1，y1),=Px11時(shí),關(guān)于X的邊緣密度為,同理關(guān)于Y的邊緣密度為,易見(jiàn),當(dāng)|x|1,|y|1時(shí),例5設(shè)(X,Y),證明：(X,Y)的概率密度為,先證充分性,設(shè)=0，,此時(shí),證明X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是=0,若X與Y相互獨(dú)立,則對(duì)任意的x,y有,再證必要性,令,代入上式有,從而知,即,例6,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,(1)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù),求:,(2)X,Y的邊沿分布函數(shù)和邊沿密度函數(shù),(3)X,Y是否獨(dú)立？,解：,（2）邊緣分布,(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,（1）,因?yàn)閒(x,y)=fX(x)fY(y),因此X與Y相互獨(dú)立.,(或F(x,y)=FX(x)FY(y),(3),例7,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,求,(1)(X,Y)的聯(lián)合密度,(2)X,Y的邊沿分布函數(shù)和邊沿密度,(3)X和Y是否獨(dú)立?,解：,(1),(2),FX(x)=F(x,+),FY(y)=F(+,y),(3),f(x,y)fX(x)fY(y),不獨(dú)立,我們?cè)谇懊嬖懻摿寺?lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系：,是不能確定聯(lián)合分布的.,然而由隨機(jī)變量相互獨(dú)立,的定義及充要條件可知,當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí),(X,Y)的分布,可由它的兩個(gè)邊緣分布完全確定.,聯(lián)合分布可確定邊緣分布,但一般情形下,邊緣分布,解：由已知條件得X,Y的概率密度分別為,例8設(shè)X與Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在1,1上服從均勻分布,Y服從參數(shù)=2的指數(shù)分布,求：(X,Y)的概率密度.,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以(X,Y)的概率密度為,最后需要說(shuō)明的是，根據(jù)X和Y相互獨(dú)立的定義，還可以得出,fX|Y(x|y)=fX(x)或fY|X(y|x)=fY(y),PXx|Y=y=PXx,Pa1Xb1,a2Yb2=Pa1Xb1Pa2Yb2,等等,(即FX|Y(x|y)=FX(x),在實(shí)際問(wèn)題中,判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立,往往不是用數(shù)學(xué)定義去驗(yàn)證,而是由隨機(jī)變量的實(shí)際意義,去考證它們是否相互獨(dú)立.如擲兩顆骰子的試驗(yàn)中,兩顆,骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).兩個(gè)彼此沒(méi)有聯(lián)系的工廠(chǎng)一天產(chǎn)品,中各自出現(xiàn)的廢品件數(shù)等都可以認(rèn)為是相互獨(dú)立的隨,機(jī)變量.,3.5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一般地，設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)，,FZ(z)=PZz,對(duì)FZ(z)求導(dǎo)，可得fZ(z).,而Z=g(X,Y),則,但是，在一般情況下，積分區(qū)域g(x,y)z較難確定.,=Pg(X,Y)z=,而Z=g(X,Y),離散型的情況完全類(lèi)似,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布率為PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2.),則Z的分布律為,PZ=zk=Pg(X,Y)=zk=,例1,設(shè)X和Y的分布列為,且X,Y相互獨(dú)立，,解：,一和的分布,（X,Y）的聯(lián)合分布律為,求,Z2=XY,Z1=X+Y,的分布列,p,(X,Y)Z1=X+YZ2=XY,0.18,(1,2)31,(1,4)53,(3,2)51,(3,4)71,0.12,0.42,0.28,所以，Z1和Z2的分布列為,Z1,Z2,357,0.180.540.28,311,0.120.460.42,定理,(離散卷積公式)設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都取非負(fù)整數(shù)值.其分布列分別為ak和bk(k=0,1,2,.),則Z=X+Y的分布列為,(n=0,1,2,.),證：,Z=n=X+Y=n,再根據(jù)X和Y的獨(dú)立性，有,PZ=n=PX+Y=n,=PX=0PY=n+PX=1PY=n1+.+PX=nPY=0,=PX=0,Y=n+PX=1,Y=n1+.+PX=n,Y=0,=a0bn+a1bn1+.+anb0,=X=0,Y=n+X=1,Y=n1+.+X=n,Y=0,例2,設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1和2的泊松分布，求Z=X+Y的分布.,PZ=n=PX+Y=n,解：,Z的可能取值為0,1,2,.,n=0,1,2,.,此式說(shuō)明，兩個(gè)獨(dú)立的且均服從泊松分布的隨機(jī)變量，其和也服從泊松分布.,Z=X+YP(1+2),例3,設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y的分布.,PZ=n=,解:,Z的可能取值為0,1,2,.,n1+n2,n=(0,1,2,.,n1+n2),所以，Z=X+YB(n1+n2,p),(證明中用到,此式是由,即Z=X+YB(n1+n2,p),比較等式兩端xn的系數(shù)所得到),例4,設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布律為,求,(1)Z=X+Y,(2)Z=XY,(3)Z=XY,(5)Z=max(X,Y),(4),的分布列,解:,(1)Z=X+Y,由此可得各函數(shù)的分布列:,定理,若(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),則Z=X+Y為連續(xù)型，其密度為,證：,FZ(z)=PZz,=PX+Yz,令y=vx,得,因此,FZ(z)=,此時(shí),FZ(z)已經(jīng)表示為方括號(hào)內(nèi)函數(shù)的變上限積分,于是,Z=X+Y仍是連續(xù)型，且,fZ(z)=,同理，改變積分次序可得另一表達(dá)式,fZ(z)=,特別地，當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，上面兩式變?yōu)?fZ(z)=,這兩個(gè)公式稱(chēng)為fX(x)和fY(y)的卷積公式(褶積公式),記為fX(x)fY(y),即fX(x)fY(y)=,或fX(x)fY(y)=,定理,若X和Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量且相互獨(dú)立，,則Z=X+Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，并且其密,度函數(shù)為X和Y的密度函數(shù)的卷積.,解：,因?yàn)閄,Y都服從N(0,1)所以,例5,設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且它們都服從N(0,1),則,Z=X+Y服從N(0,2).,因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，用卷積公式可得:,此處用到,所以Z=X+YN(0,一般地，若X和Y相互獨(dú)立，且分別服從,(逆命題也成立:若Z=X+Y服從正態(tài)分布，且,N(1,12),N(2,22),則Z=X+YN(1+2,12+22),X,Y相互獨(dú)立,則X和Y都服從正態(tài)分布，稱(chēng)為正態(tài),分布的“再生性”）證明較難.,不難證明，即使X,Y不獨(dú)立,只要其聯(lián)合分布為二,維正態(tài)分布N(1,12;2,22;),則Z=X+Y仍為正,態(tài),且Z=X+YN(1+2,12+22+212).,例6,解：,因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，,所以(X,Y)的聯(lián)合密度為,f(x,y)=fX(x)fY(y)=,Z的分布函數(shù),FZ(z)=PZz,=PX2+Y2z,當(dāng)z0且zx0，,當(dāng)z0時(shí)，,設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且都服從=1的指數(shù)分布,求Z=X+Y的分布.,即0z,Yz,=1PXzPYz,=11FX(z)1FY(z),同樣,=PNz,=1PNz,N=min(X,Y),=1Pmin(X,Y)z,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為,例9,求max(X,Y)和,min(X,Y)的分布,解：,（注意：此題并沒(méi)有說(shuō)X,Y相互獨(dú)立,不能套用前面的公式),設(shè)Z=max(X,Y),(1),當(dāng)z0時(shí),FZ(z)=PZz,=Pmax(X,Y)z,=PXz,Yz,=0,當(dāng)z1時(shí),FZ(z)=PZz,=PXz,Yz,=PX1,Y1,=1,當(dāng)0z,=1PXz,Yz,=11,=0,當(dāng)z1時(shí),FZ(z)=Pmin(X,Y)z,=1PXz,Yz,當(dāng)0z,Yz,=10=1,綜上,Z=min(X,Y)的分布為,例10,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為,求Z=XY的密度.,當(dāng)z0時(shí),解：,如圖,FZ(z)=0,當(dāng)z1時(shí),FZ(z)=1,y,1,當(dāng)0zz,所以,fZ(z)=,1,3.6n維隨機(jī)變量,定義,若隨機(jī)變量X1,X2,.,Xn定義在同一概率空間,(,F,P)上,變量或n維隨機(jī)向量.,則稱(chēng)(X1,X2,.Xn)為一個(gè)n維隨機(jī),Xi稱(chēng)為第i(i=1,2,.,n)個(gè)分量.,（固然可以對(duì)每一個(gè)分量單獨(dú)研究，但把它們,作為一個(gè)整體，則不僅能研究各個(gè)分量的性質(zhì)，,還可以考察它們之間的聯(lián)系.）,稱(chēng)n元函數(shù),x1,x2,.,xn0，,則由密度函數(shù),f(x1,x2,.,xn),給出的分布稱(chēng)為G上的均勻分布.,若B=(bij)是n階正定矩陣,用B1=(rij)表示B的逆矩陣。|B|表示B的行列式的值，a=(a1,a2,.an)是任意實(shí)值行向量，則由密度函數(shù),定義的分布稱(chēng)為n元正態(tài)分布，簡(jiǎn)記N(a,B).,這個(gè)密度函數(shù)也可改寫(xiě)為向量形式：,f(x1,x2,.,xn)=,f(x)=,此處(xa)T是(xa)的轉(zhuǎn)置,x=(x1,x2,.,xn),n=2時(shí)，二元正態(tài)分布,B稱(chēng)為協(xié)方差矩陣.,例如,a1=1,a2=2,二邊沿分布,(X1,X2,.，Xk)的,F(x1,x2,.,xn),令,F1,2,.,k(x1,x2,.,xk),=F(x1,x2,.,xk,+,.,+),F(x1,x2,.,xn),則稱(chēng),F1,2,.,k(x1,x2,.,xk)為,設(shè)(X1,X2,.，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為,邊沿分布函數(shù).,同樣可以證明，它就是(X1,X2,.,Xk)的聯(lián)合,分布函數(shù).,=,上述討論同樣對(duì)于,(邊沿分布只是說(shuō)明這樣一個(gè)事實(shí)，若已知,類(lèi)似地還有邊沿概率函數(shù)，邊沿密度函數(shù).,也成立.,則可以得出其中,，反之不成立),(X1,X2,.,Xn)的聯(lián)合分布，,某一部分的分布,n維隨機(jī)變量的獨(dú)立性,*三,定義,設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,.,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù),為F(x1,x2,.,xn)，,Xi的分布函數(shù)為Fi(xi)(i=1,2,.n),若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2,.,xn，有,F(x1,x2,.,xn)=F1(x1)F2(x2)Fn(xn),則稱(chēng)X1,X2,