數(shù)形結(jié)合的思想

1.數(shù)形結(jié)合思想的概念。數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)和形之間是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，這里的形是指幾何圖形和函數(shù)圖象。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來(lái)了新的工具，直角坐標(biāo)系與幾何圖形相結(jié)合，也就是把幾何圖形放在坐標(biāo)平面上，使得幾何圖形上的每個(gè)點(diǎn)都可以用直角坐標(biāo)系里的坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))來(lái)表示，這樣可以用代數(shù)的量化的運(yùn)算的方法來(lái)研究圖形的性質(zhì)，堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想的核心應(yīng)是代數(shù)與幾何的對(duì)立統(tǒng)一和完美結(jié)合，就是要善于把握什么時(shí)候運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是最佳的、什么時(shí)候運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)問題是最佳的。如解決不等式和函數(shù)問題有時(shí)用圖象解決非常簡(jiǎn)捷，幾何證明問題在初中是難點(diǎn)，到高中運(yùn)用解析幾何的代數(shù)方法有時(shí)就比較簡(jiǎn)便。2.數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)捷化，使得原本需要通過抽象思維解決的問題，有時(shí)借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。眾所周知，小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問題；教材的編排和課堂教學(xué)都在千方百計(jì)地使抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn)，借助數(shù)形結(jié)合思想中的圖形直觀手段，可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案。如從數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算到比較復(fù)雜的實(shí)際問題，經(jīng)常要借助圖形來(lái)理解和分析，也就是說(shuō)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)離不開形。另外，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點(diǎn)，這時(shí)就需要用數(shù)來(lái)表示，如一個(gè)角是不是直角、兩條邊是否相等、周長(zhǎng)和面積是多少等。換句話說(shuō)，就是形也離不開數(shù)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義尤為重大。3.數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大致可分為兩種情形：一是借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來(lái)闡明形的某些屬性，可稱之為“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，可稱之為“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(4)與幾何有關(guān)的知識(shí)，如三角函數(shù)、向量等；(5)概率統(tǒng)計(jì)的圖形表示；(6)在數(shù)軸上表示不等式的解集；(7)數(shù)量關(guān)系式具有一定的幾何意義，如s=100t。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)、解決問題，如從低年級(jí)借助直線認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，到高年級(jí)的畫線段圖幫助學(xué)生理解實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系。二是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透，如數(shù)軸、位置、正反比例關(guān)系圖象等，使學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯，但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)所在，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。三是統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)圖表把抽象的枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來(lái)，便于分析和決策。四是用代數(shù)(算術(shù))方法解決幾何問題。如角度、周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算，通過計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，可以知道它是什么樣的三角形等等。4.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)。數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題。第一，如何正確理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合中的形是數(shù)學(xué)意義上的形，是幾何圖形和圖象。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段幫助學(xué)生理解知識(shí)，與數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”混淆起來(lái)，彼“形”非此“形”，小學(xué)數(shù)學(xué)中的實(shí)物和圖片作為理解抽象知識(shí)的直觀手段，很多時(shí)候是生活意義上的形，并不都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，如6+1=7，可以通過擺各種實(shí)物和幾何圖片幫助學(xué)生理解加法的算理，這里的幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合中的形，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小，用什么形狀和大小的圖片都行，并沒有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特征，甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的形。如果結(jié)合數(shù)軸（低年級(jí)往往用類似于數(shù)軸的尺子或直線）來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)的順序和加法，那么就把數(shù)和形（數(shù)軸）建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，便于比較數(shù)的大小和進(jìn)行加減法計(jì)算，這是真正的數(shù)形結(jié)合。由于在解決實(shí)際問題時(shí)，通過畫線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系是老師和學(xué)生都非常熟悉的內(nèi)容，因此在案例中不再出現(xiàn)這方面素材。案例1：分析：此題很難用小學(xué)算術(shù)的知識(shí)直接計(jì)算，因?yàn)樗袩o(wú)窮多個(gè)數(shù)相加，如果是有限個(gè)數(shù)相加，用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變換可以計(jì)算。從題中數(shù)的特點(diǎn)來(lái)看，每一項(xiàng)的分子都是1，每一項(xiàng)的分母都是它前一項(xiàng)分母的2倍，或者說(shuō)第幾項(xiàng)的分母就是2的幾次方，第n項(xiàng)就是2的n次方。聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的計(jì)算可用幾何直觀圖表示，那么現(xiàn)在可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度或者面積是1的線段或者正方形，不妨構(gòu)造一個(gè)面積是1的正方形，如下圖所示。先取它的一半作為二分之一，再取余下一半的一半作為四分之一，如此取下去當(dāng)取的次數(shù)非常大時(shí)，余下部分的面積已經(jīng)非常小了，用極限的思想來(lái)看，當(dāng)取的次數(shù)趨向于無(wú)窮大時(shí)，余下部分的面積趨向于0，因而，最后取的面積就是1。也就是說(shuō)，上面算式的得數(shù)是1。第二，適當(dāng)拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學(xué)應(yīng)用的較多，小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的就是計(jì)算圖形的周長(zhǎng)、面積和體積等內(nèi)容。除此之外，還可以創(chuàng)新求變，在小學(xué)幾何的范圍內(nèi)深入挖掘素材，在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展，豐富小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想。案例2：用兩個(gè)一樣的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形（腰等于前兩個(gè)直角三角形的斜邊），可以拼一個(gè)直角梯形，如下圖。如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c，5、12、c，根據(jù)梯形的面積等于3個(gè)三角形的面積之和，比較每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方的和，與斜邊的平方之間的大小關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么？如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是a、b、c時(shí)，你又能發(fā)現(xiàn)什么？分析：當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c時(shí)，梯形的面積是：(3+4)(3+4)2=24.5,3個(gè)三角形的面積和是：3422+c2=24.5，可得c=25,即c3+4。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是5、12、c時(shí)，梯形的面積是：(5+12)(5+12)2=144.5,3個(gè)三角形的面積和是：51222+c2=144.5，可得c=169,即c5+12。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是a、b、c時(shí)，也就是說(shuō)直角三角形的三條邊長(zhǎng)可以取任意不同的值的時(shí)候，仍然有梯形的面積等于3個(gè)三角形的面積之和。梯形的面積是：(a+b)(a+b)2,3個(gè)三角形的面積和是：ab22+c2=(2ab+c)2。(a+b)(a+b)2=a(a+b)+b(a+b)2=(a+b+2ab)2所以有(a+b+2ab)2=(2ab+c)2，可得a+b=c。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，由此得出一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩條直角邊的平方的和等于斜邊的平方。實(shí)際上這是美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德發(fā)現(xiàn)的證明勾股定理的方法。這里有一個(gè)難點(diǎn)就是(a+b)(a+b)的計(jì)算，這是中學(xué)的多項(xiàng)式乘法。在小學(xué)學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)已經(jīng)會(huì)計(jì)算a(b+c)=ac+bc,那么計(jì)算(a+b)(a+b)可以先把左邊的(a+b)看作一個(gè)數(shù)，分別與右邊括號(hào)中的a和b相乘，再進(jìn)行計(jì)算。(a+b)(a+b)(a+b)a+(a+b)b=a+ba+ab+b=a+b+2ab案例3：把兩個(gè)形狀和大小相同的長(zhǎng)方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省包裝紙？分析：此題是小學(xué)數(shù)學(xué)比較典型的通過探索活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目，一般情況下教師會(huì)給學(xué)生足夠的學(xué)具進(jìn)行操作，拼出幾種包裝方法，再通過計(jì)算比較表面積的大小找到最佳答案?，F(xiàn)在我們從代數(shù)思想出發(fā)，不用任何操作和具體數(shù)量的計(jì)算，一般性地，假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，并且abc(只要給出三個(gè)數(shù)的大小順序便可，誰(shuí)大誰(shuí)小并不影響用代數(shù)方法計(jì)算的過程和結(jié)論)。首先要明確的是，問題所求怎樣包裝最省包裝紙，實(shí)際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長(zhǎng)方體的表面積最小。每個(gè)長(zhǎng)方體有6個(gè)面，兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后仍然有6個(gè)面，但這6個(gè)面的面積是原來(lái)長(zhǎng)方體的10個(gè)面的面積，其中有兩個(gè)面是原來(lái)長(zhǎng)方體的面，另4個(gè)面分別是原來(lái)的相同的兩個(gè)面拼成的；也就是說(shuō)，大長(zhǎng)方體的表面積已經(jīng)不是原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的