數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用摘 要 我們都知道，隨著社會(huì)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的進(jìn)一步深入，“經(jīng)濟(jì)”已經(jīng)成為社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，而股票，期權(quán)，投資，最佳進(jìn)貨量等經(jīng)濟(jì)學(xué)問題又與人們緊密聯(lián)系，為了使人們獲得最大收益，就需要我們利用專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析，決策。而數(shù)學(xué)期望在這里發(fā)揮了重要的作用。這篇論文主要介紹了數(shù)學(xué)期望的來源，定義，以及應(yīng)用。期望值在經(jīng)濟(jì)方面的大量應(yīng)用，例如職位決策，風(fēng)險(xiǎn)投資，最優(yōu)庫存和期權(quán)定價(jià)。這讓我們更好的認(rèn)識(shí)到期望的廣泛應(yīng)用性和重要性。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)期望 應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)AbstractAs we all know, with the development of society and the further economical globalization ，Economy has become the hot issues of social concern .The economics of stocks, options, investment, best purchase amount and so on closely contact with people. In order to enable people to gain maximum benefit we need to take advantage of the professional knowledge of mathematics to analyze, decision-making. The mathematical expectation played an important role.This thesis mainly introduces the origin, the definition, and the applications of mathematical expectation, A number of applications of the expected valued in economics such as post decision, risk investment, optimal inventory and option pricing .are given rise to a better understanding of its extensive applications and significance.key words： Mathematical expectation ; Applications ; Economics.目 錄1數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)決策 1 1.1 引言 1 1.2數(shù)學(xué)期望的來源 1 1.3 數(shù)學(xué)期望的定義 22. 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用 22.1決策方案問題 22.2生產(chǎn)與銷售利潤問題 32.3期權(quán)定價(jià)問題 53. 結(jié)果與結(jié)論 64. 收獲與致謝 75. 參考文獻(xiàn) 81數(shù)學(xué)期望與經(jīng)濟(jì)決策1.1引言我們知道，概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，而隨機(jī)變量的分布函數(shù)能夠全面的描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。而在經(jīng)濟(jì)決策中，利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以獲得合理的決策，但是要求出隨機(jī)變量的分布函數(shù)并非易事，實(shí)際上對(duì)于很多實(shí)際問題，我們只需知道隨機(jī)變量的某些重要特征即可，而數(shù)學(xué)期望則是隨機(jī)變量的最重要的特征數(shù)，近些年來，數(shù)學(xué)期望已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)決策中有著廣泛的應(yīng)用，為決策者作出最優(yōu)決策提供了重要的理論依據(jù)。1.2數(shù)學(xué)期望的來源【1】 數(shù)學(xué)期望源于一個(gè)分賭本的問題。17世紀(jì)中葉一位賭徒向法國數(shù)學(xué)家帕斯苦提出一個(gè)使他苦惱長久的分賭本的問題：甲乙兩位賭徒相約，用擲硬幣進(jìn)行賭博，誰先贏三次就得全部賭本100法郎，當(dāng)甲贏了兩次，乙贏了一次的餓時(shí)候，雙方都不愿意再賭下去了，那么賭本應(yīng)該如何分呢?帕斯卡提出如下算法：在甲贏兩次乙只贏了一次的時(shí)候最多只需要在玩兩次就可以結(jié)束這次賭博，而再玩兩次可能會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果。結(jié)果 次數(shù)1甲甲乙乙2甲乙甲甲其中前三種結(jié)果，只要有任意個(gè)發(fā)生都能使甲得100法郎，只有當(dāng)發(fā)生時(shí)甲得O法郎，乙得100法郎。由于這四種結(jié)果都是等可能的，故甲得100法郎的概率為34，乙得100法郎的概率為l/4。從而甲應(yīng)期望得到100(34)=75法郎。完整的說，甲應(yīng)期望得到(甲有希望得到)：(法郎)這就是帕斯卡的答案。意思是：如果再進(jìn)行這樣的賭博多次，甲每次平均可以得到75法郎。1.3數(shù)學(xué)期望的定義2定義1 若離散型隨機(jī)變量的分布列為=1，2， ,n，. 如果 則稱 =為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。定義2 若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為, 如果則稱 為X的數(shù)學(xué)期望2. 數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用2.1決策方案問題2.1.1面試方案設(shè)想某人在求職過程中得到了兩個(gè)公司的面試通知，假定每個(gè)公司有三種不同的職位:極好的,工資4萬;好的,工資3萬;一般的,工資2.5萬。估計(jì)能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時(shí)表態(tài)接受或拒絕所提供職位，那么，應(yīng)遵循什么策略應(yīng)答呢？極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當(dāng)然不用做決定了。對(duì)于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。先考慮現(xiàn)在進(jìn)行的是最后一次面試，工資的期望值為:E1=40.2+30.3+2.50.4+00.1=2.7萬。那么在進(jìn)行第一次面試時(shí)，我們可以認(rèn)為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬，但若放棄(可到下一家公司碰運(yùn)氣），期望工資為2.7萬，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望值為40.2+30.3+2.70.5=3.05萬。如果此人接到了三份這樣的面試通知,又應(yīng)如何決策呢?最后一次面試,工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數(shù)據(jù)求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬;沒工作(接受第三次面試），2.7萬。期望值為:E2=40.2+30.3+2.50.4+2.70.1=3.05萬。這樣，對(duì)于三次面試應(yīng)采取的行動(dòng)是：第一次只接受極好的職位，否則進(jìn)行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進(jìn)行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為40.2+3.050.8=3.24萬。故此在求職時(shí)收到多份面試通知時(shí)，應(yīng)用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機(jī)會(huì)，同時(shí)可提高工資的期望值2.1.2投資方案某投資者有10萬元，現(xiàn)有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息。買股票的收益主要取決于經(jīng)濟(jì)形勢，假設(shè)可分三種狀態(tài)：形勢好!形勢中等!形勢不好(即經(jīng)濟(jì)衰退)。若形勢好可獲利40000元；若形勢中等可獲利10000元；若形勢不好要損失20000元。如果是存入銀行，假設(shè)年利率為8，即可得利息8000元。又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢好，中等，不好的概率分別為30，50和20。試問該投資者應(yīng)選擇哪一種投資方案?分析：購買股票的收益與經(jīng)濟(jì)形勢有關(guān)，存入銀行的收益與經(jīng)濟(jì)形勢無關(guān)。因此，要確定選擇哪一種方案，就必須通過計(jì)算這兩種投資方案對(duì)應(yīng)的收益期望值E來進(jìn)行判斷。解：由題設(shè)，一年中兩種投資方式在不同的經(jīng)濟(jì)形勢下對(duì)應(yīng)的收益與概率如下表所示 購買股票狀態(tài) 經(jīng)濟(jì)形式好經(jīng)濟(jì)形式中等經(jīng)濟(jì)形式不好收益40000 10000 -20000 概率 0.3 0.5 0.2 存入銀行狀態(tài)經(jīng)濟(jì)形式好經(jīng)濟(jì)形式中等經(jīng)濟(jì)形式不好收益800080008000概率0.30.50.2從上表可以初步看出，如果購買股票在經(jīng)濟(jì)形勢好和經(jīng)濟(jì)形勢中等的情況下是合算的，但如果經(jīng)濟(jì)形勢不好，則采取存人銀行的方案比較好。下面通過計(jì)算加以分析。如果購買股票，其收益的期望值：（元）如果存入銀行，其收益的期望值：（元）因此，購買股票的收益比存入銀行的收益大，按期望收益最大原則，應(yīng)選擇購買股票。按風(fēng)險(xiǎn)決策中的期望收益最大準(zhǔn)則選擇方案，這種方法有風(fēng)險(xiǎn)存在3。2.2生產(chǎn)和銷售利潤問題在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤的最大化,供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤。但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合微積分的有關(guān)知識(shí)，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。2.21.最佳進(jìn)貨量的決策設(shè)市場對(duì)某商品的需求量X（單位 ：噸）是服從2,4上的均勻分布的隨機(jī)變量，每銷售一噸商品可賺3萬元，但銷售不出去每噸浪費(fèi)1萬元，問應(yīng)組織多少貨源才能取得最大收益？解：設(shè)進(jìn)貨量為噸收益為Y萬元，則X 的概率密度為=，所以應(yīng)組織3.5頓貨源，才能取得最大收益2.22利潤最大化1）.J.R.Ryland計(jì)算機(jī)公司正在考慮一項(xiàng)廠房擴(kuò)建計(jì)劃，以生產(chǎn)一種 新的計(jì)算機(jī)產(chǎn)品。公司總裁必須決定擴(kuò)建項(xiàng)目是中型還是大型的，但又無法確定對(duì)新產(chǎn)品的需求量。需求量的預(yù)測可能為低，中，或高，對(duì)應(yīng)的概率估計(jì)為0.20,0.50，和0.30.令x代表以千美元計(jì)的年度利潤，公司規(guī)劃者已經(jīng)做出了中型和大型擴(kuò)建項(xiàng)目的利潤預(yù)測。中型擴(kuò)建項(xiàng)目的利潤大型擴(kuò)建項(xiàng)目的利潤 低500.200.2 中1500.51000.5 高2000.33000.3計(jì)算兩種擴(kuò)建方案利潤的數(shù)學(xué)期望，哪個(gè)方案對(duì)數(shù)學(xué)期望利潤最大化的目標(biāo)更優(yōu)？解：分析題目可知擴(kuò)建項(xiàng)目是中型時(shí)利潤期望為：（千美元）當(dāng)擴(kuò)建項(xiàng)目為大型時(shí)利潤期望：（千美元）比較結(jié)果我們知道選擇擴(kuò)建大型項(xiàng)目更合算。52).一商店銷售某種商品，每周進(jìn)貨量X與顧客對(duì)該種商品的需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間上的均勻分布，商店每售出一單位可得利潤1000元，若需求量超過了進(jìn)貨量，商店可以從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品利潤500元，試計(jì)算此商店經(jīng)銷該種商品每周所得利潤的期望值。解： 設(shè)表示商店每周所得的利潤（圖示見附錄）則由與相互獨(dú)立，所以的聯(lián)合密度函數(shù)為故2.23最優(yōu)庫存 一商場某種食品的進(jìn)價(jià)為 65元 /千克, 零售價(jià)為 70元 /千克, 若賣不出去, 則削價(jià) 20%處理, 如供應(yīng)短缺, 有關(guān)部門每千克罰款 10元。已知客戶對(duì)該食品的需求量服從 20000, 80000 上的均勻分布, 求該商場在春節(jié)期間對(duì)該食品的最優(yōu)庫存策略。解：設(shè)庫存量為y，則20000，庫存量為y時(shí)所得利潤為期望利潤為 令，可得當(dāng)y=57500，即庫存量為57500千克時(shí)期望利潤最大，且最大利潤為81250.62.3期權(quán)定價(jià)問題假設(shè)上市公司A的股票價(jià)格現(xiàn)在是每股$200，為了激勵(lì)你為A公司工作，你也許會(huì)被給予在一年后以$200的價(jià)格買入一定數(shù)量的股票的權(quán)力，如果你認(rèn)為明年的股票會(huì)上漲的話，這個(gè)權(quán)力就很有價(jià)值，為簡化起見，假設(shè)一年后的股價(jià)X是個(gè)離散型隨機(jī)變量，只能取兩個(gè)值（以美元計(jì)）：260或180.設(shè)X=260的概率為P，你想計(jì)算股票期權(quán)的價(jià)值，因?yàn)榛蛟S你想預(yù)測賣掉它們的可能性，或許你想比較A公司和其他公司的出價(jià)，令Y是一年后到期的一股股票的期權(quán)的價(jià)值，因?yàn)槿艄蓛r(jià)X200,則每人愿意花$200去買這只股票，當(dāng)X=180時(shí)的期權(quán)價(jià)值為0，若X=260，則可以以每股200美元再立刻以260美元賣出，取得每股60的收益。（為簡化起見，忽略股利和買賣股票的交易成本。）則Y=h（X）,其中 假設(shè)投資者同年可以獲得4%的無風(fēng)險(xiǎn)收益，（設(shè)4%包含復(fù)利） 如果沒有其他投資方式，期權(quán)的合理成本即一年里E（Y）的現(xiàn)值，這個(gè)值等于c，滿足E（Y）=1.04c，即一年后的收益應(yīng)該等于投資者不買此期權(quán)獲得的價(jià)值，很容易可得E（Y）：E（Y）=所以，買一股股票的期權(quán)的合理價(jià)格應(yīng)為c=60p/1.04=57.69p確定p需要一種金融業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)方法，假設(shè)X（一年后股票價(jià)格）的均值的現(xiàn)值等于當(dāng)前股價(jià)，即買一股股票然后一年后賣出的期望等于把股票成本無風(fēng)險(xiǎn)投資一年所得（此例中乘以1.04）E（x）=200 又E（X）=260p+180（1-p），p=0.3573. 結(jié)果與結(jié)論在日常生活和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中, 無論單位或個(gè)人都應(yīng)該具有合理的決策能力，如個(gè)人的采購、求職、投資，企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營方案等， 經(jīng)常需要對(duì)事物的進(jìn)展情況作出經(jīng)濟(jì)決策，以便用最有利的方式采取行動(dòng)。由于受隨機(jī)因素的影響，使得決策帶有風(fēng)險(xiǎn)性。因此，人們常把數(shù)學(xué)期望作為決策參考的重要依據(jù)。實(shí)踐證明，當(dāng)經(jīng)濟(jì)決策問題較為復(fù)雜時(shí)， 決策者在保持自身判斷的條件下處理大量信息的能力將減弱，在這種情況下，經(jīng)濟(jì)決策的分析方法可為決策者提供強(qiáng)有力的科學(xué)工具， 以幫助決策者做出決策。數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)決策方面的運(yùn)用會(huì)進(jìn)一步的發(fā)展，以期獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益4. 參考文獻(xiàn)12 茆詩松，程依明，濮曉龍著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程高等教育出版社 2004年3 張麗婭.盧志輝.數(shù)學(xué)期望在物流管理中的應(yīng)用 -中國市場20094 謝興武 李宏偉著概率