二次函數(shù)和冪函數(shù)知識點

教 學 內(nèi) 容 二次函數(shù)與冪函數(shù)1 二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖像定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞減；在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增；在x上單調(diào)遞減奇偶性當b0時為偶函數(shù)，b0時為非奇非偶函數(shù)頂點對稱性圖像關(guān)于直線x成軸對稱圖形3. 冪函數(shù)形如yx (R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)4 冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖像比較(2)冪函數(shù)的性質(zhì)比較yxyx2yx3yxyx1定義域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增x0，)時，增；x(，0時，減增增x(0，) 時，減；x(，0)時，減難點正本疑點清源1 二次函數(shù)的三種形式(1)已知三個點的坐標時，宜用一般式(2)已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點式(3)已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2 冪函數(shù)的圖像(1)在(0,1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越靠近x軸，在(1，)上冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖像越遠離x軸(2)函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，yx1可作為研究和學習冪函數(shù)圖像和性質(zhì)的代表1 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，2解析f(x)的圖像的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.2 (課本改編題)已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_答案1,2解析yx22x3的對稱軸為x1.當m2時，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，無解1m2.3 若冪函數(shù)y(m23m3)xm2m2的圖像不經(jīng)過原點，則實數(shù)m的值為_答案1或2解析由，解得m1或2.經(jīng)檢驗m1或2都適合4 (人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖像已知n取2，四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_答案2，2解析可以根據(jù)函數(shù)圖像是否過原點判斷n的符號，然后根據(jù)函數(shù)凸凹性確定n的值5 函數(shù)f(x)x2mx1的圖像關(guān)于直線x1對稱的充要條件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函數(shù)f(x)x2mx1的圖像的對稱軸為x，且只有一條對稱軸，所以1，即m2.題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)思維啟迪：確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運用解方法一設f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.方法二設f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解之，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知，f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)有三種形式的解析式，要根據(jù)具體情況選用：如和對稱性、最值有關(guān)，可選用頂點式；和二次函數(shù)的零點有關(guān)，可選用零點式；一般式可作為二次函數(shù)的最終結(jié)果 已知二次函數(shù)f(x)同時滿足條件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)0的兩根平方和等于17.求f(x)的解析式解依條件，設f(x)a(x1)215 (a2xm恒成立，求實數(shù)m的取值范圍思維啟迪：對于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，進而確定f(x)的解析式對于(2)，可利用函數(shù)思想求得解(1)由f(0)1，得c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(，1)探究提高二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是“三個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿為一體因此，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖像是探求解題思路的有效方法用函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點 已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖像過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數(shù)都成立，函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖像過點(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點對稱，g(x)(x)22(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當10時，F(xiàn)(x)的對稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.1或10.當10，即1時，F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述，的取值范圍為(，0題型四冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)例4已知冪函數(shù)f(x)xm22m3 (mN*)的圖像關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)(32a)的a的取值范圍思維啟迪：由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶函數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，m22m3是偶數(shù)，而222233為奇數(shù)，122134為偶數(shù)，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)32a0或0a132a或a1032a.解得a1或a0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxc0時，f()24，得2.4或2.2 已知函數(shù)f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函數(shù)f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件即解得b2.3 設abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像可能是 ()答案D解析由A，C，D知，f(0)c0，ab0，知A，C錯誤，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B錯誤4 設二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)f(0)，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，則a0，f(x)2a(x1)0，即函數(shù)圖像的開口向上，對稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當f(m)f(0)時，有0m2.二、填空題(每小題5分，共15分)5 二次函數(shù)的圖像過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_答案y(x2)216 已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，2解析f(x)的圖像的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.7 當時，冪函數(shù)yx的圖像不可能經(jīng)過第_象限答案二、四解析當1、1、3時，yx的圖像經(jīng)過第一、三象限；當時，yx的圖像經(jīng)過第一象限三、解答題(共22分)8 (10分)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且f(x)2x的解集為x|1x3，方程f(x)6a0有兩相等實根，求f(x)的解析式解設f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，則f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)9 (12分)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)x22axa的定義域為1,1時，值域為2,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由解f(x)(xa)2aa2.當a1時，f(x)在1,1上為增函數(shù)，a1(舍去)；當1a0時，a1；當01時，f(x)在1,1上為減函數(shù)，a不存在綜上可得a1.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 已知冪函數(shù)f(x)x的圖像經(jīng)過點，則f(4)的值等于()A16 B.C2 D.答案D解析將點代入得：2，所以，故f(4).2 已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)答案B解析當m0時，顯然不合題意；當m0時，f(0)10，若對稱軸0，即0m4，結(jié)論顯然成立；若對稱軸4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8，綜上，0m8，選B.3 已知二次函數(shù)yx22ax1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa2或a3 B2a3Ca3或a2 D3a2答案A解析由函數(shù)圖像知，(2,3)在對稱軸xa的左側(cè)或右側(cè)，a3或a2.二、填空題(每小題5分，共15分)4 已知二次函數(shù)yf(x)的頂點坐標為，且方程f(x)0的兩個實根之差等于7，則此二次函數(shù)的解析式是_答案f(x)4x212x40解析設二次函數(shù)的解析式為f(x)a249 (a0)，方程a(x)2490的兩個根分別為x1，x2，則|x1x2|27，a4，故f(x)4x212x40.5 若方程x211x30a0的兩根均大于5，則實數(shù)a的取值范圍是_答案0a解析令f(x)x211x30a，結(jié)合圖像有01，則f(x)1；若0x1x2x1；若0x1x2，則x2f(x1)x1f