變化率與導(dǎo)數(shù)的概念PPT課件

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,高中數(shù)學(xué)選修1-1,1,.,3.1變化率與導(dǎo)數(shù),2,.,同學(xué)們，我們?nèi)藗€體學(xué)習(xí)知識的過程是重復(fù)人類歷史上人類如何學(xué)習(xí)認(rèn)識知識的過程。比如我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)遇到的問題就是人類歷史上數(shù)學(xué)家認(rèn)識研究數(shù)學(xué)所遇到的問題。歷史上數(shù)學(xué)家如何學(xué)習(xí)認(rèn)識研究導(dǎo)數(shù)，為什么要發(fā)明導(dǎo)數(shù)，我們從兩個數(shù)學(xué)家說起。,3,.,牛頓：影響人類歷史的100位偉人，牛頓排名第二。艾薩克牛頓爵士是人類歷史上出現(xiàn)過的最偉大、最有影響的科學(xué)家，同時也是物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，晚年醉心于煉金術(shù)和神學(xué)。他在1687年7月5日發(fā)表的不朽著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理里用數(shù)學(xué)方法闡明了宇宙中最基本的法則萬有引力定律和三大運(yùn)動定律。這四條定律構(gòu)成了一個統(tǒng)一的體系，被認(rèn)為是“人類智慧史上最偉大的一個成就”，由此奠定了之后三個世紀(jì)中物理界的科學(xué)觀點，并成為現(xiàn)代工程學(xué)的基礎(chǔ)。牛頓為人類建立起“理性主義”的旗幟，開啟工業(yè)革命的大門。牛頓逝世后被安葬于威斯敏斯特大教堂，成為在此長眠的第一個科學(xué)家。,4,.,萊布尼茲：影響人類的100位偉人中，無萊布尼茲排名，但是：戈特弗里德威廉萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年1716年），德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。涉及的領(lǐng)域及法學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、語言學(xué)等40多個范疇，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。,歷史上牛頓與萊布尼茲爭論誰是微積分的發(fā)明人，牛頓贏，但歷史上是兩人同時發(fā)明。這次爭論讓英國的數(shù)學(xué)倒退一個世紀(jì)。,牛頓、愛因斯坦有自閉癥即阿斯伯格癥。,5,.,在發(fā)明微積分前已經(jīng)有笛卡爾的解析幾何。但在生活生產(chǎn)實踐中遇到一些問題，以往的數(shù)學(xué)知識無法解決，必須要有新方法來解決。比如：1、已知物體運(yùn)動的位移是關(guān)于時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;2、求曲線的切線;3、求已知函數(shù)的最大值與最小值;4、求長度、面積、體積和重心等。以上有物理問題和幾何問題，牛頓從物理角度發(fā)明微積分，萊布尼茲從幾何角度發(fā)明微積分。,學(xué)習(xí)微積分先從哪里開始？先學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)先學(xué)習(xí)什么？那就是平均變化率。從平均變化率我們知道導(dǎo)數(shù)是個什么東西。,對于四個問題通過具體例子來說明如果函數(shù)是二次那可以求最大值、最小值、切線、面積（舊方法只可以求直線圍成的面積，二次曲線圍成的面積原來方法就不行），如果大于二次那原來方法就力不從心要發(fā)明新方法，于是牛頓、萊布尼茲發(fā)明了微積分。,6,.,一創(chuàng)設(shè)情景現(xiàn)實世界是運(yùn)動的，為描述各種變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)。隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分（牛、萊），這一具有劃時代意義的創(chuàng)造的創(chuàng)立，與自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：1、已知物體運(yùn)動的位移是關(guān)于時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;2、求曲線的切線;3、求已知函數(shù)的最大值與最小值;4、求長度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度,7,.,8,.,9,.,10,.,問題2高臺跳水,在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?,11,.,請計算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,12,.,計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:,探究:,(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎?,在高臺跳水運(yùn)動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運(yùn)動狀態(tài).,13,.,平均變化率定義:,若設(shè)x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)則平均變化率為,這里x看作是對于x1的一個“增量”可用x1+x代替x2同樣f=y=f(x2)-f(x1),上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率,14,.,理解：1，式子中x、f的值可正、可負(fù)，但x值不能為0，f的值可以為02，若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時，f=03,變式,15,.,思考?,觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直線AB的斜率,16,.,有的同學(xué)學(xué)到這里可能會疑問，覺得學(xué)習(xí)平均變化率好像什么也沒學(xué)就是以前的直線的斜率且仿佛回到了以前且覺得還把簡單問題復(fù)雜化。,其實如果再學(xué)下去，就會峰回路轉(zhuǎn)，煥然一新，出現(xiàn)新東西就是導(dǎo)數(shù)。,17,.,例題分析,18,.,例題分析,注：最好不畫圖求出割線斜率，培養(yǎng)抽象思維能力，如果考試能爭取時間。,19,.,20,.,小結(jié)：,1.函數(shù)的平均變化率,2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率,3.平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，是一種粗略的刻畫,-導(dǎo)數(shù),21,.,1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念,22,.,計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:,探究:,(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎?,在高臺跳水運(yùn)動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運(yùn)動狀態(tài).,23,.,在高臺跳水運(yùn)動中,如何反映某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)？,又如何求瞬時速度呢?,24,.,問題一：如何求出運(yùn)動員從2s到(2+t)s這段時間內(nèi)的平均速度？,25,.,t=0.01時,t=0.001時,t=0.0001時,t=0.00001,問題二：可否利用平均速度求瞬時速度？,t=0.01時,t=0.001時,t=0.0001時,t=0.00001,2s到(2+t)s的平均速度,t無限逼近0時,2s到(2+t)s的平均速度便無限逼近2s時的瞬時速度！,極限逼近思想！,26,.,從2s到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度,t無限逼近0時,2s到(2+t)s的平均速度便無限逼近2s時的瞬時速度！,平均速度的極限=瞬時速度,27,.,問題三：運(yùn)動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?,28,.,問題四：氣球在體積,時的瞬時膨脹率如何表示呢？,平均膨脹率的極限=瞬時膨脹率,29,.,問題五：如果將這兩個變化率問題中的函數(shù)用來表示，那么函數(shù)在處的瞬時變化率如何呢？,平均變化率的極限=瞬時變化率,30,.,導(dǎo)數(shù)的定義:,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是,稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作,或,即,31,.,由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:,求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求極限值,一差、二化、三極限,導(dǎo)數(shù)的具體模型就是已知位移與時間的函數(shù)關(guān)系求瞬時速度。,32,.,例1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x27x+15(0x8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.,解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是,和,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得,在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.,33,.,變式練習(xí)：已知一個物體運(yùn)動的位移（m）與時間t（s）滿足關(guān)系S（t）-2t2+5t（