概率論二維隨機(jī)變量及其分布PPT課件

.,1,一、二維隨機(jī)變量,在實(shí)際應(yīng)用中，,有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或以,上的隨機(jī)變量來描述.,例如，,研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童,前兒童的發(fā)育情況時(shí)，,體重,這里，,某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童,上的兩個(gè)隨機(jī)變量.,在這種情況下，,我們不但要研究,多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，,而且還要研究它們之,間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，,因而需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng),計(jì)規(guī)律，,即多維隨機(jī)變量的分布.,由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，,故我們,.,2,二維隨機(jī)變量,由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，,故我們,.,3,二維隨機(jī)變量,由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，,故我們,重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.,定義,設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,而,上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.,注：,一般地，,完,.,4,二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系,與一維情況類,我們也借助“分布函數(shù)”來研究二維隨機(jī)變量.,定義,對(duì)任意實(shí)數(shù),二元函數(shù),故需,似,或稱為隨,.,5,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),記為,或稱為隨,.,6,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),記為,或稱為隨機(jī),若將二維隨機(jī)變量,視為平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐,標(biāo)，,則分布函數(shù),.,7,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),.,8,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),的概率(如圖1).,由概率的加法法則，,的概率,.,9,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),.,10,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),則可由,.,11,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),則可由,.,12,二維隨機(jī)變量的分布函數(shù),則可由,的,邊緣分布函數(shù).,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),完,.,13,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：,且,(1),注：,以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（2）,即,對(duì)任意固定的,對(duì)任意固定的,.,14,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),注：,以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（2）,即,.,15,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),注：,以上四個(gè)等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（2）,即,對(duì)任意固定的,當(dāng),對(duì)任意固定的,當(dāng),（3）,即,完,.,16,例1,(1),試確定常數(shù),(2),解,(1),由二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì),可得,由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知,.,17,例1,(1),試確定常數(shù),(2),解,(1),由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知,.,18,例1,(1),試確定常數(shù),(2),解,由這三個(gè)等式中的第一個(gè)等式知,故由第二、三個(gè)等式知,于是得,(1),.,19,(2),完,.,20,三、二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布,為二維離散型隨機(jī)變量,均為離散型隨機(jī)變量.,定義,值為,則稱,則,均為離,.,21,二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布,.,22,二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布,易見，,滿足下列性質(zhì)：,與一維情形類似，,有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形,式來表示，,并稱之為聯(lián)合概率分布表,分布:,.,23,二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布,分布:,.,24,二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布,分布:,關(guān)于,注：,完,.,25,聯(lián)合概率分布表,與一維情形類似，,有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形,式來表示，,并稱為聯(lián)合概率分布表：,聯(lián)合概率分布表,.,26,聯(lián)合概率分布表,對(duì)離散型隨機(jī)變量而言，,聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合,分布函數(shù)更加直觀，,而且能夠更加方便地確定,設(shè)二維離散型隨機(jī)變,量的概率分布為,則,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,.,27,聯(lián)合概率分布表,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,.,28,聯(lián)合概率分布表,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,分布：,關(guān)于,.,29,聯(lián)合概率分布表,分布：,關(guān)于,.,30,聯(lián)合概率分布表,分布：,關(guān)于,注：,完,.,31,例2,設(shè)隨機(jī)變量,在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取,一個(gè)值,另一個(gè)隨機(jī)變量,一整數(shù)值,解,且,取不,.,32,例2,設(shè)隨機(jī)變量,在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取,一個(gè)值,另一個(gè)隨機(jī)變量,一整數(shù)值,解,.,33,例2,設(shè)隨機(jī)變量,在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取,一個(gè)值,另一個(gè)隨機(jī)變量,一整數(shù)值,解,完,.,34,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,中正面出現(xiàn)的次數(shù),出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,解,.,35,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,中正面出現(xiàn)的次數(shù),出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,解,.,36,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,中正面出現(xiàn)的次數(shù),出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,解,緣分布.,.,37,從而得右表,完,.,38,例4,設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為,解,.,39,例4,設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為,解,.,40,例4,設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為,解,完,.,41,例5,求,解,.,42,完,.,43,例6,十個(gè)值中取,一個(gè)值.,設(shè),并求分布律.,解,數(shù)),所有可能取值為1,2,3,4;,所有可能取值為0,1,2.,的概,率,.,44,例6,十個(gè)值中取,一個(gè)值.,設(shè),并求分布律.,解,數(shù)),.,45,例6,十個(gè)值中取,一個(gè)值.,設(shè),并求分布律.,解,數(shù)),.,46,即有邊緣分布律,完,.,47,四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,定義,為其分布函,數(shù)，,若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù),任意實(shí)數(shù),有,的概率密度(密度函數(shù))，,密度(聯(lián)合密度函數(shù)).,使得對(duì),(1),.,48,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,(1),.,49,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,(1),(3),的概率為,特別地，,邊緣分布函數(shù),(2),.,50,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數(shù),.,51,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數(shù),上式表明，,是連續(xù)型隨機(jī)變量，,且其密度函數(shù)為:,同理，,是連續(xù)型隨機(jī)變量，,且其密度函數(shù)為：,.,52,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,.,53,連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,度函數(shù).,(4),則有,進(jìn)一步，,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，,可推得：,有,小時(shí)，,即，,完,.,54,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,(1),即有,.,55,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,(2),即有,及其下方的部分,如圖.,于是,.,56,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),.,57,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),.,58,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),完,.,59,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個(gè)邊緣密度.,解,(1),.,60,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個(gè)邊緣密度.,解,(2),.,61,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個(gè)邊緣密度.,解,(2),.,62,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個(gè)邊緣密度.,解,(2),即,.,63,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個(gè)邊緣密度.,解,(2),即,完,.,64,例9,求邊緣概率密度,解,.,65,例9,求邊緣概率密度,解,.,66,例9,求邊緣概率密度,解,完,.,67,二維均勻分布,其面積為,若二維隨機(jī),其它,注：,幾何上為定義在,面.,應(yīng)用舉例：,.,68,二維均勻分布,應(yīng)用舉例：,.,69,二維均勻分布,應(yīng)用舉例：,的概率與小區(qū)域的,而與,的位置無關(guān)，,上任投一質(zhì)點(diǎn)，,若質(zhì)點(diǎn),面積成正比,分布.,注：,關(guān)于服從矩形域上的均勻分布的一個(gè)結(jié)論.,完,.,70,矩形域上的均勻分布,且分別為,其它,其它,仍為均勻分布，,但對(duì)其它形狀的區(qū)域,不一定有上述結(jié)論.,完,.,71,例10,分布,解,從而,.,72,例10,分布,解,.,73,例10,分布,解,成,完,.,74,二維正態(tài)分布,且,的二維正態(tài)分布.,記為,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,.,75,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,.,76,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,(2),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣,即,密度仍是正態(tài)分布，,完,.,77,推導(dǎo),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布,事實(shí)上，,因?yàn)?而且,于是,令,則有,.,78,令,則有,.,79,令,則有,同理,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,.,80,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,.,81,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,對(duì)給定的,態(tài)分布，,但它們的邊緣分布都是相同的,一般來說是不能確定二維隨,因此僅由關(guān)于,完,.,82,例11,解,注:,此例說明,邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機(jī),變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,完,.,83,課堂練習(xí),1.,將兩封信隨意地投入3個(gè)郵筒,投入第1,2號(hào)郵筒中信的數(shù)目,分布及邊緣概率分布.,2.,求(1),(2),的邊緣密度.,完,.,84,練習(xí)解答,1.,將兩封信隨意地投入3個(gè)郵筒,投入第1,2號(hào)郵筒中信的數(shù)目,分布及邊緣概率分布.,解,各自的可能取值顯然均為,由題設(shè)知,因而相應(yīng)的概率,均為0,我們將其標(biāo)在聯(lián)合概率分布表中相應(yīng)位置.,取其它值的概率可由古典概型計(jì)算,由于對(duì),稱性,我們實(shí)際上只需計(jì)算下列概率:,.,85,練習(xí)解答,解,.,86,練習(xí)解答,解,邊緣概率分布可直接在聯(lián)合概率分布表中計(jì)算,的概率分布由,列和產(chǎn)生,(見下表).,.,87,練習(xí)解答,解,邊緣概率分布可直接在聯(lián)合概率分布表中計(jì)算,的概率分布由,列和產(chǎn)生,(見下表).,.,88,練習(xí)解答,解,邊緣概率分布可直接在聯(lián)合概率分布表中計(jì)算,的概率分布由,列和產(chǎn)生,(見下表).,完,.,89,課堂練習(xí),2.,求(1),(2),的邊緣密度.,解,(1),由密度函數(shù)的性質(zhì),有,由此易得,從而,(2),.,90,課堂練習(xí),解,(2),.,91,課堂練習(xí),解,(2),即,根據(jù)對(duì)稱性,有,完,.,92,內(nèi)容小結(jié),1.,與一維情