高等數(shù)學應用題

第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)BAOxyPM問題1. 上岸點的問題有一個士兵P，在一個半徑為R的圓形游泳池（圖11）內(nèi)游泳，當他位于點（）時，聽到緊急集合號，于是得馬上趕回位于A=（2R，0）處的營房去，設該士兵水中游泳的速度為，陸地上跑步的速度為，求趕回營房所需的時間t與上岸點M位置的函數(shù)關系。圖1-1解：這里需要求的是時間t與上岸點M位置的函數(shù)關系，所以一定要先把上岸點M的位置數(shù)字化，根據(jù)本題特點可設其中為M的周向坐標（即極坐標系中的極角），于是本題就成為了求函數(shù)關系的問題。由對稱性，我們可只討論在上半圓周上岸的情況，即先確定函數(shù)的定義域為。 該士兵在水中游泳所花的時間為而在陸地上跑步所需的時間，則要視上岸點位置的兩種不同的情況要分別進行討論： 當時，有； 當時，要先跑一段圓弧，再跑一段且線段，所以。綜上所述，可得問題2 外幣兌換中的損失某人從美國到加拿大去度假，他把美元兌換成加拿大元時，幣面數(shù)值增加12%，回國后他發(fā)現(xiàn)把加拿大元兌換成美元時，幣面數(shù)值減少12%。把這兩個函數(shù)表示出來，并證明這兩個函數(shù)不互為反函數(shù)，即經(jīng)過這么一來一回的兌換后，他虧損了一些錢。解：設為將x美元兌換成的加拿大元數(shù)，為將x加拿大元兌換成的美元數(shù)，則而故，不互為反函數(shù)。思考題：設一美國人準備到加拿大去度假，他把1000美元兌換成加拿大元，但因未能去成，于是又將加拿大元兌換成了美元，問題虧損了多少錢？（14.4美元）問題3 黃山旅游問題一個旅游者，某日早上7點鐘離開安徽黃山腳下的旅館，沿著一條上山的路，在當天下午7點鐘走到黃山頂上的旅館。第二天早上7點鐘，他從山頂沿原路下山，在當天下午7點鐘回到黃山腳下的旅館。試證明在這條路上存在這樣一個點，旅游者在兩天的同一時刻都經(jīng)過此點。證明：設兩個旅館之間的路程為L，以表示在時刻該旅游者離開山腳下的旅館的路程，則可知是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且有，。以表示該旅游者在第二天下山時在與前一天相同時刻尚未走完的路程，則可知是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且有，。于是原問題可轉化為：證明存在，使。作輔助函數(shù)，則在區(qū)間上連續(xù)，且有，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理可知，一定存在，使。就得到了所需要證明的結論。 問題4 利潤與銷量之間的函數(shù)關系收音機每臺售價90元，成本為60元。廠家為鼓勵銷售商大量采購，軍隊凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購一臺，售價就降低1分（例如，某商行訂購了300臺，訂購量比100臺多200臺，于是每臺就降價0.01200=2（元），商行可以按88元/臺的價格購進300臺），但最低價為75元/臺。1） 把每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)；2） 把利潤P表示成訂購量x的函數(shù)；3） 當一商行訂購了1000臺時，廠家可獲利多少？解：1）當時售價為90元/臺?，F(xiàn)在計算訂購量x是多少臺時售價降為75元/臺，90-75 =15，150.01=1500所以，當訂購量超過1500+100臺時，每臺售價為75元。當訂購量在1001600時，售價為90-（x-100）*0.01，因而實際售價p與訂購量之間的函數(shù)關系為2）每臺利潤是實際售價p與成本之差P=（p-60）x 3）由1）先計算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知P=（81-60）*1000=21000（元）問題5 Fibonacci數(shù)列與黃金分割問題“有小兔一對，若第二個月它們成年，第三個月生下小兔一對，以后每月生產(chǎn)一對小兔，以后亦每月生產(chǎn)小兔一對。假定每產(chǎn)一對小兔必為一雌一雄，且均無死亡，試問一年后共有小兔幾對?”解：這是意大利數(shù)學家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之書”（又譯算盤書（Liberabaci）中的一個題目。他是這樣解答的：若用“”、“”分別表示一對未成年和成年的兔子（簡稱仔兔和成兔），則根據(jù)題設有：從上圖可知，六月份共有兔子13對；還可看出，從三月份開始，每月的兔子總數(shù)恰好等于它前面兩個月的兔子總數(shù)之和。按這規(guī)律可寫出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可見一年后共有兔子233對。這是一個有限項數(shù)列，按上述規(guī)律寫出的無限項數(shù)列就叫做Fibonacci數(shù)列，其中的每一項稱為Fibonacci數(shù)。若設F0=1，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=2，F(xiàn)3=3，F(xiàn)4=5，F(xiàn)5=8，F(xiàn)6=13，則此數(shù)列應有下面的遞推關系：Fn+2 = Fn+1 + Fn（n = 0，1，2，）這個關系可用數(shù)學歸納法來證明，其中的通項是由法國數(shù)學家比內(nèi)（Binet）求出的。與Fibonacci數(shù)列緊密相關的一個重要極限是 （1）或者 （2）下面我們先來說明（2）式的含義并證明之（至于（1）式的含義見后面的說明）。記，則（-1）100%就是第（n+1）月相對于第n月的兔子對數(shù)增長率（n = 0，1，2，），例如：若存在，則（-1）表示許多年后兔子對數(shù)的月增長率（同時也是成兔對數(shù)及仔兔對數(shù)在許多年后的月增長率因為成兔對數(shù)、仔兔對數(shù)各自從今年1月、2月開始算起，也是Fibonacci數(shù)列）。存在的證明及求法如下：證： 用數(shù)學歸納法容易證明：數(shù)列是單調增加的；數(shù)列是單調減少的。又，對一切成立。即數(shù)列、是有界的。根據(jù)“單調有界數(shù)列必有極限”的準則，知數(shù)列、的極限存在，分別記為與b*，即 ，分別對及的兩邊取極限，得 與 兩式相減，得 由此得 ，即。若不然，則有 而由 ，得 這是不可能的（因為）因此存在，記作b，即 對的兩邊取極限，得解此方程，得，因為，故即 從而 可見許多年以后兔子總對數(shù)，成兔對數(shù)及仔兔對數(shù)均以每月61.8%的速率增長。問題6 巧分蛋糕妹妹小英過生日，媽媽給做了一塊邊界形狀任意的蛋糕（如圖所示）。哥哥小明見了也想吃，小英指著蛋糕上一點對哥哥說，你能過這點切一刀，使切下的兩塊蛋糕面積相等，便把其中的一塊送給你。小明苦想了半天，終于用剛剛學過的高等數(shù)學知識初步解決了這個問題。你知道他用的是什么辦法嗎？圖1-2（1）能切成相等的兩塊嗎？圖1-2（2）時S1 和S2PxlS2S1分析：問題歸結為如下一道幾何證明題。已知平面上一條沒有交叉點的封閉曲線（無論什么形狀），P是曲線所圍圖形上任一點。求證：一定存在一條過P的直線。將這圖形的面積二等分。xl圖1-2（4）時S1 和S2S1（）S2（）xlS2（）S1（）圖1-2（3）旋轉成角P證明：1. 過P點認作一直線l，將曲線所圍圖形分為兩部分，其面積分別為S1 和S2。若S1 =S2（此情況很難辦到），則l即為所求；若S1S2，則不妨設S1S2 (此時l與x軸的正向的夾角記為，見圖1-2（2），下面對此情況證明之。2. 以P點為旋轉中心，將l按逆時針方向旋轉，面積S1 和S2就連續(xù)地依賴角變化，記為、，并設。如圖1-2（3）所示。3. 函數(shù)在上連續(xù)，且在端點異號：（旋轉1800后的情況如1-2（4）根據(jù)零點定理，必存在一點，使，即使。過P作直線，使之與x軸正向的夾角為，該直線即為所求。注：實際上小明只證明了這樣的直線一定存在，究竟如何找到角還有待研究，留給大家思考！問題7第二章 導數(shù)與微分問題1 人在月球上能跳多高某人身高2米，在地面上可跳過與其身高相同的高度。假設他以同樣的初速度在月球上跳，請問能跳多高？又，為了能在月球上跳過2米，他需要多大的初速度？xo解：在地面上跳高，就是克服地球引力把身體“拋”到高處。這里跳過了2米，是指把人體的重心提高到了2米。粗略地講，人體的重心約在身高的一半偏上一點處，故，若把人體當作質點來看，則可視跳高為以初速把位于（身高）處的一質點鉛直上拋。為了求出所跳高度與時間t的函數(shù)關系，建立如圖所示的坐標系。由及 得 （1）由及 得 （2）在月球上跳高的情況與此類似，不同的只是這里的g由月面上的重力加速度gm所代替，若記月球上的速度與位置函數(shù)分別為vm、xm（因題設初速相同，故仍記月球上的初速為v0），則有 （3） （4）由（4）式知，為求此人在月球上能跳多高，需分別求出初速及跳到最高處所需時間?，F(xiàn)初速與地球上的相同，故可由（1）、（2）式求之：因跳到最高處時，故，于是。又，此人在地球上跳了2米高，故有 由此得 （5）（于是此人在地面上跳到2米高所用時間為）再求在月面上以初速跳到最高處所用的時間tm：由（3）式及，得，即，由此可得將（5）、（6）兩式代入（4）式，便有即，在月球上能跳過的高度約為7.3078米。用與上面完全類似的推導可以得出，在月球上跳2米高所需初速為（見（5）式），所用時間為。比較t =0.45s與t =1.13s不難看出，同樣是跳2米高，在月球上所需時間比在地面上要慢一個因子0.4（），這個結論具有普遍性，可用下面的地月定理來證明。地月定理：設是“地面上的運動”，則 （7）是在“月面上的運動”，這里證：對（7）式兩端求導，則有再對t求導，且利用得因此，滿足月面運動方程。 證畢。公式（7）揭示了地、月兩種運動之間的內(nèi)在聯(lián)系：地面運動改變到月面運動時，時間變慢了一個因子0.4.據(jù)此原理，如果我們想看看模擬的月面運動，只需用正常速度的0.4倍放映地面運動的電影即可。注：地面運動系指一質點在接近地面處，在重力影響下，且僅有重力作用的垂直運動。月面運動的概念與此類似，不再重述。問題2 油層在海面上的擴散問題從一艘破裂的油輪中滲漏出去的油，在海面上逐漸形成油層。設在擴散的過程中，其形狀一直是一個厚度均勻的圓柱體，其體積也始終保持不變。已知其厚度h的減少率與h3成正比，試證明其半徑r的增加率與r3成反比。證明：在等式兩邊同時對t求導，由于和V都是常數(shù)，所以有將題意條件代入上式子，可得再將代入上式，又可得這就是得到了所需要證明的結論。問題3 人影移動的速率某人高1.8米，在水平路面上以每秒1.6米的速率走向一街燈，若此街燈在路面上方5米，當此人與燈的水平距離為4米時，人影端點移動的速率為多少？解：這是一個相關變化率的問題，一般地，設x = x ( t )及y = y ( t )都是可導函數(shù)，而變量x與y間存在某種關系，從而變化率與間也存在一定關系，這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率。ECBAD如果我們有幾何學或物理學等方面的知識，得到x與y間的一個函數(shù)關系y= f ( t )，且f ( t )可導，那么由復合函數(shù)的求導法則，有這說明變化率可以通過變化率得到。對于所給問題，如圖所示，以DE和BC分別表示人高和燈高，以DB = x和AB = y分別表示人和人影端點到燈的水平距離。因為ADEABC，所以從而 ，即 于是 又依題 ，故 即人影端點移動的速率為2.5m/s。思考題：有一圓錐形容器，高度為10m，底半徑4m，今以每分鐘5m3的速度把水注入該容器，求當水深5m時，水面上升的速度。其中，（1）圓錐的頂點朝上；（2）圓錐的頂點朝下。（答案：均為）問題4 拉船靠岸問題在離水面高度為h（米）的岸上，有人用繩子拉船靠岸（如圖所示）。假定繩長為l（米），船位于離岸壁s（米）處，試問：當收繩速度為v0（m/s）時，船的速度、加速度各是多少？解：l、h、s三者構成了執(zhí)教三角形，由勾股定理得hlsxOv0兩端對時間求導，得 （1）由此得 （2）l為繩長，按速度定義，即為收繩速度v0，船只能沿s線在水面上行駛逐漸靠近岸壁，因而應為船速v，將它們代人（2）式得船速 （3）利用（1）式消去l，得 （4）（4）中h、v0均為常數(shù)，只有s是變量。按加速度定義將（4）式代人上式，得 （5）（這里的負號表明加速度的方向與x軸正向相反。事實上，船速v、收繩速度v0的方向也與x軸的正向相反。）由（4）與（5）式可知，船速與船的加速度均與船的位置有關，它們是變化的，當船靠近岸時，船速與加速度都不斷增大。思考：當您在公園劃船需要交船了，服務員用鉤子把船勾住往岸邊拉時，您是否注意到了這一現(xiàn)象呢（服務員用的“勁”即收繩速度一樣，您卻感到船速越來越快）？問題5 為什么不宜制造太大得核彈頭核彈在與它得爆炸量（系指核裂變或聚變時釋放出得能量，通常用相當于多少千噸T.N.T炸藥得爆炸威力來度量）的立方根成正比得距離內(nèi)會產(chǎn)生每平方厘米0.3516千克的超壓，這種距離算作有效距離。若記有效距離為D，爆炸量為x，則二者的函數(shù)關系為其中C時比例系數(shù)。又知當x是100千噸（T.N.T當量）時，有效距離D為3.2186千米。于是 即 所以 這樣，當爆炸量增至10倍（變成1000千倍百萬噸）時，有效距離增至差不多僅為100千噸時的2倍，說明其作用范圍（）并沒因爆炸量的大幅度增加而顯著增加。下面再來研究爆炸量與相對效率的關系（這里相對效率的含義時，核彈的爆炸量每增加1千噸T.N.T當量時有效距離的增量）。由 知 若x100，則這就是說，對100千噸（10萬噸級）爆炸量的核彈來說，爆炸量每增加1千噸，有效距離差不多增加10.7米；若x1000，則即對百萬噸級的核彈來說，每增加1千噸的爆炸量，有效距離差不多僅增加2.3米，相對效率是下降的?？梢?，除了制造、運載、投放等技術因素外，無論從作用范圍還是從相對效率來說，都不宜制造當量級太大的核彈頭。事實上，1945年二戰(zhàn)中美國投放在日本廣島、長崎的原子彈，其爆炸量為20千噸，有效距離為1.87千米。問題6 鐘表每天快多少某家有一機械掛鐘，鐘擺的周期為1秒。在冬季，擺長縮短了0.01厘米，這只鐘每天大約快多少？解：由（單擺的周期公式，其中l(wèi)是擺長（單位：cm），g是重力加速度（980cm/s2）可得當時， （1）據(jù)題設，擺的周期是1秒，即，由此可知擺的原長是。現(xiàn)擺長的改變量厘米，于是由（1）式得擺的周期的相應改變量是這就是說，由于擺長縮短了0.01厘米，鐘擺的周期便相應縮短了約0.0002秒，即每秒約快0.0002秒，從而每天約快0.0002266060=17.28（s）。問題7第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用問題1 兩輛汽車的加速度問題 A，B兩輛賽車同時出發(fā)，不久A車領先于B車，后來B車趕上并反超A車，最后兩車同時到達終點。試證明至少存在某個時刻，兩車的加速度相等。 證明：設兩車在啟動時間t內(nèi)走過的路程分別為f（t）和g（t），并假定兩車在比賽過程中加速度是連續(xù)變化的，即函數(shù)f（t）和g（t）有二階連續(xù)導數(shù)。對題意進行如下“條件分析”，即歸納出已知的條件其中T是兩賽車所花的時間，L是所走過的總里程，是B車趕上A車的時刻。 然后再作“目標分析”，即表達出所求證的結論 在這個基礎上，我們就找到了解決問題的關鍵點：作適當?shù)妮o助函數(shù)。 令，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導數(shù)，且有根據(jù)羅爾定理可知，在區(qū)間上對函數(shù)再次使用羅爾定理，便有這就證明了 注 要在實際問題中建立出數(shù)學模型，必須完全弄清題意；歸納提煉出已知的條件，這就是所謂的“條件分析”；總結表達出所需證明的結論，這就是所謂的“目標分析”；有時我們還要做出一些“合理假定”，例如本題中輔助函數(shù)的連續(xù)性和可導性。當然還有“刪繁就簡”、“去偽存真”、“取主舍次”等重要方法，因為本題中沒有涉及到，所以也就不多講了。問題2 汽車加速度問題汽車從啟動行駛到剎車停下，在T h時間內(nèi)共走了L km的路程，試證明必存在某一時刻，此時汽車加速度的絕對值不小于km/h2.證明 設汽車在啟動后t h內(nèi)走過的路程為f (t) km，并假定汽車在行駛過程中加速度是連續(xù)變化的，即函數(shù)f (t)有二階連續(xù)導數(shù)。對題意進行如下“條件分析”，即歸納出已知的條件然后再作“目標分析”，即表達出所求證的結論利用函數(shù)f (t)的帶拉格朗日余項的一階泰勒公式，有以上兩式相減消去得所以和中至少有一個不小于km/h2.問題3 兩輛汽車之間的最近距離問題某處立交橋上、下是兩條互相垂直的公里，一條是東西走向，一條是南北走向?，F(xiàn)在有一輛汽車在橋下南方100m處，以20 m/s的速度向北行駛；而另一輛汽車在橋上西方150m處，以20 m/s的同樣速度向東行駛，已知橋高10m，問經(jīng)過多少時間兩輛汽車之間距離為最??？并求它們之間的最小距離。解 容易求得，在時刻t秒兩輛汽車之間的距離為這就是目標函數(shù)，其定義域為。求導得令，可得到唯一駐點t = 6.25，由于（1）時，（2）時，所以經(jīng)過6.25s，兩輛汽車之間有最小距離注 為了運算的方便，我們還可以以為目標函數(shù)。這是因為當時，s和s2同時有最大值或最小值。而這里新的目標函數(shù)y是一個二次函數(shù)，從而也可用初等數(shù)學的方法求出其最小值。問題4 怎樣使野生動物樂園的面積最大現(xiàn)在有全長為12000m的鐵絲網(wǎng)，想利用這些鐵絲網(wǎng)和借用一段直線河岸作為自然邊界，圍成兩個長方形野生動物樂園。（1）假定要圈的野生動物樂園是兩個相鄰的長方形，它們都可用利用一段直線河岸為自然邊界（圖3-1（a）.試確定該野生動物樂園長寬尺寸，以使其總面積為最大；（2）由于有一些動物會泅水逃跑，所以兩個相鄰的長方形野生動物樂園中必須有一個不能以河岸為自然邊界（圖3-1（b），這時又應該如何確定該野生動物樂園長寬尺寸，以使其總面積為最大？12000x12000x （a） （b）圖3-1解 （1）設寬為x m，則長（即借用河岸為自然邊界之長）為（12000-3 x）m，可得該野生動物樂園的總面積為 這就是目標函數(shù)，其定義域為，求導得可見目標函數(shù)的唯一駐點x=2000就是所求的最大值點，即當長為6000m，寬為2000m時，此時該野生動物樂園有最大總面積（2）設寬為xm，則長為于是可得該野生動物樂園的總面積（即目標函數(shù)）為 可見此目標函數(shù)的最大值點就是x=3000，此時該野生動物樂園有最大總面積注 這里總面積與隔欄的位置顯然無關。這是只有一個隔欄的問題，但它具有一定的典型意義。對于沒有隔欄或有更多個隔欄的問題，完全可用類似的方法來解決。當野生動物樂園形狀并不要求是長方形，而可以是多邊形的情況，我們將在多元微分學中再來考慮。問題5 槍榴彈打到了日本鬼子的頭上我軍早年武器專家吳運鐸在把一切獻給黨一書中講述了一個抗日戰(zhàn)爭期間有趣的故事。他制造了一種叫“槍榴彈”的新式武器，在一次實戰(zhàn)使用中，結果沒打著沖鋒在前面的偽軍，而打到了躲在小山后休息的日本鬼子的頭上。xyo設我們制造的這種武器在射擊時，槍榴彈以初速度為140m/s離開槍口，又假設小鬼子躲在距離我軍1750m遠處山后，而小山位于我軍與鬼子軍的正中間，其高度為700m，試求恰能打中鬼子兵的彈道曲線方程。解 本問題與上一問題有所不同，這里不是求最大距離，而是在距離確定的條件下，先求投射角，再驗證拋物線頂點的高度大于山的高度。設投射角為，由于槍榴彈之初速度為140m/s，所以在如圖所示的坐標系中，彈道曲線方程為消去t，可得將代入，得，解得，在時，拋物線的頂點縱坐標為在時，拋物線的頂點縱坐標為顯然只有后者才能使拋物線的頂點高度更大，也就是說只有小山的高度不超過742m，我們的槍榴彈就一定能夠打到躲在山后離我軍1750m遠處的鬼子兵。由此可知恰能打中鬼子兵的彈道曲線是問題6 鋼珠測內(nèi)徑問題有一種測量中空工件內(nèi)徑的方法，就是用半徑為R的鋼珠放在圓柱形內(nèi)孔上，只要測得了鋼珠頂點與工件端面之間的距離為x，就可以求出工件內(nèi)孔之半徑y(tǒng)。試求出利用x的函數(shù)來表示y的解析表達式，并證明y是關于x的單調減少函數(shù)，這里工件端面是垂直于內(nèi)孔圓柱面中心軸的平面。DxOACB圖 1-2解：在圖1-2中，可以看出OC=DC-DO=x-R，根據(jù)勾股定理有 。這里函數(shù)的自然定義域是，但是與實際意義不完全相符，所以應該按照實際意義重新確定其實際定義域為。y顯然是關于x的可導函數(shù)，且有所以，y是關于x的單調減少函數(shù)。問題7 國會議席的估計在一次美國總統(tǒng)選舉后，把當選總統(tǒng)所得公眾選舉票數(shù)的百分比記作p，記 這個函數(shù)有著有趣的性質（稱為立方律）。的值可用來逼近當選總統(tǒng)所在黨獲得眾議院議席的百分比，因此，稱為“議會函數(shù)”。例如，在1939年，民主黨候選人弗蘭克林羅斯福（F.D.Rosevelt）贏得了公眾61的選票，從而當選總統(tǒng)。在那次選舉中，議會函數(shù)，即估計民主黨將占眾議院議席的79。在實際選舉中，民主黨贏得333個議席，共和黨贏得89個席位，即民主黨占78.9，求的一階、二階導數(shù)，分析凹凸性。解：，則從而當時，即H為增函數(shù)。即在總統(tǒng)選舉中得票越多，在眾議院獲得席位越多，實際也是如此。當時，即在（0，）上是上凹的。而當時，即在（，1）上是下凹的。問題8 怎樣設計海報的版面既美觀又經(jīng)濟現(xiàn)在要求設計一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積128平方分米，上下空白各2分米，兩邊空白各1分米，如何確定海報尺寸可使四周空白面積為最小？解：這個問題可用求一元函數(shù)最小值的一般方法解決。設印刷面積由從上到下長x分米和從左到右寬y分米構成，則x y128，從而。于是，四周空白面積為兩邊同時對x求導，得令得唯一駐點x16，此時y8，又因為所以，當海報印刷部分為從上到下長16分米，從左到右寬8分米時，可使四周空白面積為最小。思考題：若海報印刷改為左右兩欄，印刷面積增加到180平方分米，要求四周留下空白寬2分米，還要流1分米寬得豎直中縫，如何設計它的尺寸可使總空白面積最?。磕芊裼闷渌椒ㄇ蠼?？（答案：印刷部分從左到右27.5分米，從上到下12分米。還可用求多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法求解）。問題9 大衣柜能搬進新居嗎問題：老張臨搬家前，張在自己大衣柜旁發(fā)愁。擔心這大衣柜搬不進新居，站在一旁的小李馬上拿了一把尺子出去了。不一會兒，小李對老張說：“從量得電梯前樓道和單元前樓道寬度，絕對沒問題”。請問小李得根據(jù)是什么？baCOL1L2D解：設電梯前樓道寬a m，單元前樓道寬b m，二條樓道成直角相交，大衣柜長為L，搬運拐彎時與某一樓道交角為。設：CDLCOL1，ODL2LCOODL1L2LL1L2，即L是的函數(shù)。求L的一階導數(shù)求駐點 得 代入中求得，它一定是L得最大值。今大衣柜的長度不大于，所以小李告訴老張絕對沒問題。從這數(shù)學式子中，a與b得關系是對稱的，a大于b或a小于b是無關緊要的。問題10 耕牛飲水路線問題耕牛在地點A工作完畢后要回到棚舍B，途中必須到河流PQ邊M處飲水，根據(jù)如圖所示的數(shù)據(jù)，求出飲水點M的最佳位置，使這頭牛陬過路程的總和最短。6.352PQMABx解：設,則總路程為AM+MB，即目標函數(shù)為其定義域為.這里目標函數(shù)在區(qū)間0,6.3上連續(xù)且可奧，其導數(shù)為令，可得目標函數(shù)在區(qū)間0,6.3上唯一的駐點x = 4.5。因為目標函數(shù)在0,6.3上可導，駐點唯一，從實際意義上看目標函數(shù)的最小值確實在區(qū)間0,6.3上，所以唯一的駐點x = 4.5就是目標函數(shù)的最小值點。從而可得結論：耕牛飲水點M的位置應取在上使處。注：這也是一個非常典型的模型，本問題除了被稱為耕牛飲水問題外，也被稱為斯諾克問題。注意到這里有MABB*， ，將具體結論x = 4.5代人，有。它完全符合光學上入射角等于反射角的反射原理，也可以利用初等數(shù)學的平面幾何知識（如上圖所示）得到證明。第四章 不定積分問題1 石油的消耗量近年來，世界范圍內(nèi)每年的石油消耗率呈指數(shù)增長，增長指數(shù)大約為0.07.1970初，消耗率大約為每年161桶。設R（t）表示從1970年起第t年的石油消化率，則（億桶）。試用此式估算從1970年到1990年間石油消耗的總量。解：設T（t）表示從1970年起（t=0）直到第t年的石油消耗總量。我們要求從1970年到1990年間石油消耗的總量，即求T（20）。由于T（t）是石油消耗的總量，所以就是石油消耗率R（t），即。那么T（t）就是R（t）的一個原函數(shù)。因為T（0）=0，所以C= -2300。所以從1970年到1990年間石油的消耗總量為：（億桶）問題2問題3問題4第五章 定積分問題1 這場雪是從何時開始下的某小鎮(zhèn)凌晨5：00發(fā)現(xiàn)正在下大雪，于是出動鏟雪機鏟雪，一個小時后（到6：00）鏟清了1000m長的路面，又經(jīng)過一小時（到7：00）又鏟清了500m長的路面，從而鏟清了到達高速公路入口處的全部路面。設雪是一直不停地均勻地下著的，鏟過雪的地方撒上了鹽，不會再有積雪，試問這場雪是從幾點開始下的？分析：本問題中積雪的厚度是個變量，所以鏟雪車不可能是勻速前進的（當然假定路面的寬度是一樣的）。注意到積雪厚度跟下雪時間成正比，就可解決本問題。解：以開始下雪時刻為時間坐標的原點，由于下雪速度是均勻的，所以在時刻t h積雪厚度為h=k t m。又設路面寬度為b m，鏟雪車工作效率為。設在時間段t，t+dt所鏟除雪的體積為dV，則其推進的距離為則可得到如下兩個關系式由此可知 即 解得可知這場雪大約是從4點22分55秒開始下的。問題2 天然氣產(chǎn)量的預測工程師們已經(jīng)開始從墨西哥灣的一個新井開采天然氣。根據(jù)初步的試驗和以往的經(jīng)驗，他們預計天然氣開采后的第t個月的月產(chǎn)量由下面的函數(shù)給出：（百萬立方米）試估計前24個月的總產(chǎn)量。解：前24個月的總產(chǎn)量為直接計算這個和式較難，應用定積分來估計它。令 則 從而f（t）為遞增函數(shù)。由定積分的性質有：而 類似地，可得從而有 問題3 估計某醫(yī)院在某時間內(nèi)的就醫(yī)人數(shù)一家新的鄉(xiāng)村精神病診所剛開張。對同類門診部的統(tǒng)計表明，總有一部分病人第一次來過之后還要來此治療。如果現(xiàn)在有A個病人第一次來這就診，則t個月后，這些病人還有A*f（t）個病人還在此治療，這里?，F(xiàn)設這個診所最開始時接受了300人的治療，并且計劃從現(xiàn)在開始每月接受10名新病人。試估計從現(xiàn)在開始15個月后，在此診所接受治療的病人有多少？解：既然f（15）是15個月后還要來此就診的病人人數(shù)的比例系數(shù)，那么在開張時接受的300人中有300 f（15）個人從現(xiàn)在開始的15個月后還將要在此就診。為了計算從現(xiàn)在開始的15個月內(nèi)新接受的病人在15個月后還在此就診的人數(shù)，將15個月的區(qū)間0，15，分為n個等距為t的小區(qū)間，令表示第j個小區(qū)間的左端點（）。既然每月要接受10名新病人，于是在第j個小區(qū)間內(nèi)接收的新病人人數(shù)為10t，于是10t f（15-）個病人將從開始，15-個月后還要來此就診。所以從現(xiàn)在開始15個月后新接收的病人還要再次治療的人數(shù)總和為：所以，令P為開張15個月后在此就診病人總數(shù)，則P由上述兩部分組成，即當可得因為，所以所以，15個月后，這個診所將要接待247名左右病人。問題4 高速公路出口處車輛平均行駛速度某公里管理處在城市高速公路出口處，記錄了幾個星期內(nèi)平均車輛行駛速度。數(shù)據(jù)統(tǒng)計表明，一個普通工作日中的下午1：00至6：00之間，此口在t時刻的平均車輛行駛速度為左右，試估計下午1：00至6：00內(nèi)的平均車輛行駛速度？解：一般地，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間a , b上的平均值，等于函數(shù)f（x）在區(qū)間a , b上的定積分除以區(qū)間a , b的長度b - a 。此題目的是求函數(shù)s（x）在區(qū)間1 , 6上的平均值。平均行駛速度= 問題5 可否判定汽車起動和剎車時的加速度和減速度一部汽車從靜止開始，沿一條直路在1分鐘內(nèi)駛過1196米就停下來。若該車的調速器可以防止速度達到每秒20米，求證在形式的某個時刻，該車的加速度或減速度至少有100m/s2。證：用反證法，假設在行駛的任一時刻該車的加速度或減速度都不足100m/s2，即對于所有t0,60，有 （1）且 （2）又由已知有： 于是對于所有t0,60，由（1）式可得： （3）由（2）式可得： （4）又由已知可得，對于所有t0,60，速度v ( t ) 滿足： （5）而由于v ( t ) 滿足不等式（3）、（4）、（5），所以對于所有t0,60，有對于上式兩邊同時求積分，得 （6）而右邊積分式子可算得又由已知可知，以速度v ( t ) 在1分鐘走過1196米，即這是與（6）式矛盾，所以原命題成立。問題6 第六章 定積分的應用問題1 潛艇的觀察窗問題在探測海底的潛艇上裝有若干個觀察窗。為使窗戶的設計更科學、更合理，必須先計算加在觀察窗上的壓力。如果我們假定窗戶是垂直的，其形狀如圖所示是對稱的，試求出壓力與窗戶面積、窗戶形心間的關系。解：從物理學知道，在水深z處的壓強為 Oz0z1zdz這里是海水的比重。建立如圖所示的坐標系，對應于z，z+dz的窄條上各點處的壓強近似等于，這窄條的面積近似為，故這窄條上所受的海水壓力的近似值，即壓力微元 因此，加在整個窗面上的壓力為因為 形心 因此 但正好是深度為處的水壓強，所以加在窗戶上的全部壓力等于窗戶露出的全部面積乘上它形心處的壓強。作為一個具體的實例，設窗戶是圓的（這是最可能的形狀），其半徑為0.9144米，取，則問題2 鐵路、公路與盤山小路長度之比較xyO在某山區(qū)平面圖（如圖示）上，自點（0，0）到點（，0）之間，有鐵路、公路和盤山小路三種路線，它們的方程分別為： 試證明這三種路線長度都一樣。證明：這里我們證明一個更普遍的結論，對任意正整數(shù)n來說，曲線在區(qū)間0, 上的長度總與n值之大小無關，這是因為問題3 飛出火星去火星的直徑是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上發(fā)射一枚火箭，試問要用怎樣的初速度才能擺脫火星的引力？解：設火星的半徑為R，質量為M，火箭的質量為m。根據(jù)萬有引力定律，當火箭離開火星表面距離為x時，它所受火星的引力為 當x = 0時，f = mg，因而 所以 當它再上升距離dx時，它的位能便增加 這就是功“元素”。所以火箭自火星表面x = 0達到高度h時，所獲得的位能（即要做的功）總共為 當時，。所以初速必須使動能?；鸺拍苊撾x火星引力。由此得，而g=392cm /s2，R=3430105cm ，故 注：眾所周知，脫離地球引力所需的速度為11.2千米/秒，由此看來，如果人類有一天能在火星上居住，那么從火星上乘宇宙飛船去太空遨游應當要比從地球上飛去容易得多。問題4 地球環(huán)帶的面積地球上平行于赤道的線稱為緯線，兩條緯線之間的區(qū)域叫環(huán)帶。假定地球是球形的，試證任何一個環(huán)帶的面積都是，這里h是構成環(huán)帶的兩條緯線間的距離，d是地球直徑（約13000公里）。證：首先要弄清，兩條緯線間的距離是指它們所在的兩平行平面間的距離，而不是兩緯線所夾經(jīng)線的長度。建立如圖所示的坐標系，則環(huán)帶可看作由曲線段xyxOxc+hxcxhx繞y軸旋轉而成。由旋轉體的側面積公式可得環(huán)帶面積為 注：由此可見，環(huán)帶面積與環(huán)帶在地球上的位置無關。也就是說，只要構成環(huán)帶的兩條緯線間的距離h相同，那么，靠近赤道的環(huán)帶與位于北極的環(huán)帶的面積都是一樣的（盡管緯線長度、夾在兩緯線間的經(jīng)線長度都不一樣）（如圖示）。問題5 底部有洞的容器還能盛多少水有一個底半徑為R、高為H的無蓋圓柱形容器?，F(xiàn)在發(fā)現(xiàn)底部有一個小洞，這時只能將此容器傾斜支放，才能盛放液體。就小洞在底面圓的邊緣上的情況（如圖示），求傾斜支放后容器的容積。解：取底面中心為坐標原點，過小洞和支撐點的直線為x軸，在配置相應的y軸建立坐標系如圖示。此時y軸必與水面平行。小洞在底面圓的邊緣時，若液面與底面夾角為，則在-R，R上任取一點x，此點作垂直于x軸的平面，得到與液體的截面是一個長方形，其底長和高分別是其面積為 .所以注：這個結論，很容易從直觀上進行解釋，因為此時液面正好將原圓柱形容器的容積分成相等的兩部分。思考：當?shù)撞康亩床辉谶吘壍那闆r下，對兩種不同情況：（1）小洞在底面中心；（2）小洞在底面上離中心處。求傾斜支放后容器的容積。（答案：）問題6 子彈彈道的最大長度有一顆子彈，以初速度斜向上方射出槍口，發(fā)射角為。試證明：若要使子彈下落到槍口水