高三數(shù)學(xué)不等關(guān)系與不等式練習(xí)試題及答案

高三數(shù)學(xué)不等關(guān)系與不等式練習(xí)試題及答案作者：佚名 文章來源：網(wǎng)絡(luò) 點擊數(shù)： 更新時間：2014-4-18 17:46:41 一.教學(xué)內(nèi)容：不等式高考復(fù)習(xí)一：不等關(guān)系與不等式二.教學(xué)目的1、復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及應(yīng)用2、復(fù)習(xí)平均值不等式及其應(yīng)用三.教學(xué)重點、難點不等式的性質(zhì)及均值不等式四.知識分析（一）不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【考點梳理】考點一：不等式有關(guān)概念1.不等式定義用不等號（、）表示不等關(guān)系的式子叫不等式記作等等用“”或“”號連結(jié)的不等式叫嚴(yán)格不等式；用“”或“”號連結(jié)的不等式叫非嚴(yán)格不等式 2.同向不等式、異向不等式 對于兩個不等式，如果每一個的左邊都大于右邊，或每一個的左邊都小于右邊，這樣的兩個不等式叫同向不等式對于兩個不等式，如果一個不等式的左邊大于右邊，而另一個不等式的左邊小于右邊，那么這兩個不等式叫異向不等式 3.絕對不等式、條件不等式、矛盾不等式（1）絕對不等式：如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式（2）條件不等式：如果只有用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式（3）矛盾不等式：如果不論用什么樣的實數(shù)代替不等式中的字母它都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式 4.關(guān)于ab和ab的含義不等式“ab”的含義是“或者ab，或者ab”等價于“a不小于b”，即若ab或者ab之中有一個正確，則ab正確考點二：實數(shù)的特征與實數(shù)比較大小 1.實數(shù)的兩個特征（1）任意實數(shù)的平方不小于0，即。（2）任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個數(shù)一定是實數(shù)。 2.實數(shù)比較大小的依據(jù)和方法（1）實數(shù)比較大小的依據(jù)：在數(shù)軸上不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，從實數(shù)減法在數(shù)軸上的表示如圖，可以看出a、b之間具有以下性質(zhì)：如果是正數(shù)，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么；如果等于零，那么，反之也成立，就是；。（2）實數(shù)比較大小的基本方法。比較兩個實數(shù)的大小，基本方法是作差，對差的正、負(fù)作出判斷，進(jìn)而得出結(jié)論。考點三：不等式的性質(zhì) 1.（對稱性）； 2.（傳遞性）； 3.（可加性）； 4.； 5.，； 6.； 7.（n是大于1的整數(shù)）； 8.（n是大于1的整數(shù)）?！痉椒ㄅc技巧】方法一：特殊值法對于某些選擇題，可采取特殊值法巧妙求解。例：已知，且，設(shè)，則（）A. B.C. D.答案：A解析：（特殊值法）取。由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知。，故選A。方法二：排除法利用不等式的性質(zhì)，排除掉干擾項從而選出正確答案，也是解題的一種有效方法技巧。例：若，下列不等式不成立的是A. B.C. D.答案：B解析：（排除法），。故知不成立的是B。故選B。方法三：比差法作差比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)是：；。例：比較的大小，其中。解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，。方法四：比商法作商比較兩數(shù)（式）大小的依據(jù)：；。例：設(shè)且，試比較與的大小。解析：當(dāng)時，則，于是。當(dāng)時，則，于是。綜上所述，對于不相等的正數(shù)、b，都有。【典例精析】例1.適當(dāng)增加不等式條件使下列命題成立：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則。剖析：本小題考查不等式的性質(zhì)。解析：（1）原命題改為若且，則，即增加條件“”。（2）由可得，但只有時，才有，即增加條件“”。（3）由可得，但作為真數(shù)，應(yīng)有，故應(yīng)增加條件“”。（4）成立的條件有多種（如），與定理4的推論1相關(guān)的一個是、，因此，可增加條件“”。點悟：解這類開放性試題，要求我們在深刻理解不等式的性質(zhì)的同時，一定要注意它們成立的條件。例2.若，則下列命題中正確的命題是（）A.均不能成立B.均不能成立C.不等式均不能成立D.不等式均不能成立剖析：本小題主要考查不等式的基本性質(zhì)、敏銳的判斷力、靈活運用知識解決問題的能力。答案：B解析：。又不成立。，故不成立。由此可選B。另外，A中成立，C與D中成立，證明如下：，。故。故選B。點悟：解決該題，除利用不等式的基本性質(zhì)正面推導(dǎo)外，還可利用舉例驗證排除錯誤答案。例3.如果，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.剖析：本題是在條件“”的情況下，利用不等式的性質(zhì)，判斷出成立的一個不等式。答案：D解析：對于A，當(dāng)時，當(dāng)時，不成立，故應(yīng)排除A；對于B，不成立，故應(yīng)排除B；對于C，又由可知，但是的符號是不確定的，因此不成立，故應(yīng)排除C；對于D，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，又，成立，故選D。點悟：本題綜合利用了不等式的基本性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的值域、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及“作差法”。例4.已知，分別求、的范圍。剖析：本小題考查利用不等式的性質(zhì)，求數(shù)（式）的取值范圍。解析：。又，。又。（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，。綜合（1）（2）得。點悟：要準(zhǔn)確運用不等式的性質(zhì)，如：同向不等式不能相減，同向不等式只有當(dāng)它的兩邊都是正數(shù)時才能相乘?！疽族e題剖析】易錯題一：設(shè)，求的最大值和最小值。解題思路：解法一：，。設(shè)，即比較兩邊系數(shù)：。又，解法二：以下同解法一。失分警示：誤區(qū)：對同向不等式可加性推論：，前后關(guān)系不是充要條件的關(guān)系認(rèn)知不到位，錯因由求出的值域取代由原條件求出的值域。易錯題二：已知，求的取值范圍。解題思路：令，則。而，故有。失分警示：不能由，這是因為不可能同時取到或，故結(jié)論錯誤。同向不等式可以作加法運算，導(dǎo)向不等式可以作減法運算（不等號與被減不等式同向），當(dāng)同向不等式兩邊為正時，可以作乘法運算，但如果涉及到“等號能否取到”，則要看是否滿足取等號條件。這一點常易疏漏，請?zhí)貏e注意。（二）均值不等式及其應(yīng)用【考點梳理】考點一：兩個重要不等式利用不等式的性質(zhì)，可以推出下列重要不等式： 1.如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。 2.如果_，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）。稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù)?？键c二：靈活變式 1.； 2.； 3.； 4.； 5.當(dāng)且僅當(dāng)時，各式中等號成立?？键c三：兩個重要結(jié)論 1.，且（定值），那么當(dāng)時，有最_值。 2.，且（定值）那么當(dāng)時，有最_值?！痉椒记伞糠椒ㄒ唬壕挡坏仁降呐錅惣记衫涸O(shè)，則M、N的最準(zhǔn)確的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.答案：C解析：因為注意到，且（定值），知。取“=”的條件是，即或，但這是不可能的。故。又因為，注意到，（定值），知，當(dāng)?shù)忍柍闪r，即，故。，故選C。方法二：用函數(shù)的觀點解決不等式問題例：已知，試比較與的大小。解析：，易知，時，上是減函數(shù)，時，在上是增函數(shù)，方法三：三角換元例：若，則的最小值為_。答案：解析：令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故的最小值為?！镜淅觥坷?.已知，求證：。剖析：本題考查利用均值不等式證明不等式。證明：，同理，點悟：證明不等式時應(yīng)根據(jù)求證式兩端的結(jié)構(gòu)，合理選擇基本不等式；本題的證明方法在證輪換對稱不等式時具有一定的普遍性。例2.已知，求的最小值。剖析：本題考查利用均值不等式求最值。解析：解法一：，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時，上式等號成立。故當(dāng)時，。解法二：由，得（定值），又知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，。點悟：應(yīng)用均值不等式時熟練掌握定理成立的條件、重要不等式的變形，在運用重要不等式證明不等式或求最值時，注意掌握“湊”（湊項、湊因式）的技巧，其目的一是創(chuàng)造一個應(yīng)用重要不等式的情境；二是使等號成立的條件。例3.已知數(shù)列。（1）若，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，求的最大值，并求出對應(yīng)b的取值。剖析：本題考查利用均值不等式求變量的值。解析：（1）。（2），令，顯然，則，。當(dāng)時，即時等號成立。由，則，又由，當(dāng)時，。點悟：本題以數(shù)列知識為背景，考查學(xué)生靈活運用均值定理解決問題的能力。例4.（2004全國）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為的矩形蔬菜溫室，在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？剖析：本題主要考查把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用不等式等基礎(chǔ)知識和方法解決問題的能力。解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為am，后側(cè)邊長為bm，則。蔬菜的種植面積。當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號。答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為。點悟：在本題的求解過程中有兩個難點：一是建立函數(shù)關(guān)系式，二是利用均值不等式求最值要注意等號成立條件以及要會對式子進(jìn)行合理的分拆、組合等?！疽族e題剖析】易錯題一：已知且，求的最小值。解題思路：，。當(dāng)且僅當(dāng)即時，上式取等號，這時。故當(dāng)，時，最小值是9。另解，。上式當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立。又。故最小值是9，此時。失分警示：誤區(qū)：，因此，的最小值是8。上面解法中，連續(xù)進(jìn)行了兩次不等變形：與，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，第二個不等式是當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，因此不可能等于8。易錯題二：若實數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.答案：B解題思路：令。故。所以的最大值是。故選B。錯因分析：誤區(qū)：連續(xù)使用不等式變形，而誤選A。取等號的條件是且，即與題設(shè)矛盾。使用均值不等式求值時，一定要注意等號成立的條件。易錯題三：求函數(shù)的最小值。解題思路：解法一：。由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取“=”號。因此y的最小值為。解法二：令，則。又在上單調(diào)遞減（單調(diào)性的證明過程略）。當(dāng)時，有最小值。失分警示：誤區(qū)：。的最小值為2。該式若取等號，需。即，不可能，所以取不到最小值。應(yīng)用均值不等式求最值要注意三個條件：（1）各項或各因式為正；（2）和或積為定值；（3）各項或各因式都能取得相等的值。即所謂“一正、二定、三相等”?！灸M試題】一、選擇題1.若ab，則（）A.a2b2B.a2b2C.a2b2D.以上都不對 2.若ab，cd，則下列不等式恒成立的是（）3.已知a、b都為正數(shù)，則（）A.ab2 B.ab2C.ab2 D.ab2 4.已知，則下列命題成立的是（）5.若a0或b0，則（）A.a2+b2ab B.a2+b2abC.a2+b2ab D.a2+b2ab6.若，則大小順序為（） 7.若a，b是任意實數(shù)，且ab，則（） 8.已知，下列不等式恒成立的是（）二、填空題9.若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是f(x)_g(x). 10.已知，則_。（填“”，“”或“=”）11.設(shè)a0，1b0，則a、ab、ab2三者的大小關(guān)系為_. 12.設(shè)，則從小到大的順序是_。 13.若成立，則a的范圍是_