高考數(shù)學復習 《構造同構式》

高考數(shù)學復習 構造同構式知識要點1.同構式的定義：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式。2.同構式的應用：（1）在方程中的應用：如果方程和呈現(xiàn)同構特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側呈現(xiàn)同構特征，則可將相同的結構構造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構式，則為方程所表示曲線上的兩點。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構”的特征，即關于與的同構式，從而將同構式設為輔助數(shù)列便于求解。典例分析例1若，則（ ）A. B. C. D. 答案：C解： A選項：，設 ，設，則有恒成立，所以在單調遞增，所以，從而存在，使得，由單調性可判斷出： ，所以在不單調，不等式不會恒成立B選項：，設可知單調遞增。所以應該，B錯誤C選項：，構造函數(shù)，則在恒成立。所以在單調遞減，所以成立D選項：，同樣構造，由C選項分析可知D錯誤點評：本題從選項出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個選項通過不等式變形將分居在不等式兩側后都具備同構的特點， 所以考慮將相同的形式構造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在的單調性即可例2（2015天津十二校聯(lián)考）設，滿足 ，則（ ） A. B. C. D. 答案：B解析：設，可得為奇函數(shù)，由題意可得： 點評：本題研究對象并非，而是，進而可變形為，觀察上下式子左邊結構相同，進而可將相同的結構視為一個函數(shù)，而等式右邊兩個結果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質求解例3 已知正項數(shù)列an滿足：an3+lnan+2m4=0,4an+23+lnan+2+m4+ln2=0,則an+2an = 。答案：2.解析：4an+23+lnan+2+m4+ln2=0整理得4an+23+ln2an+2+m4=0，等式兩邊同乘以2，得8an+23+ln（2an+2）+2m4=0,又an3+lnan+2m4=0an與2an+2均為方程x3+lnx+2m4=0的根。又函數(shù)fx=x3+lnx+2m4為定義域內的增函數(shù)，所以an=2an+2，所以an+2an =2.例4 對，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（ ）A BCD解析：已知函數(shù)在，由題意得：，令，此時要構造過原點的切線放縮模型，故，即.例5 已知方程有3個實根，則實數(shù)的取值范圍是 解析：已在，在，構造，根據(jù)定義域可知，如圖，當時，此時，僅存在，使，此時只存在兩個實根，不合題意；當時，則一定存在或者（偏移情況），考慮到極值是左偏的，故時，定義域要求完全覆蓋，故，即.鞏固練習1.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（ ）A. B. C. D. 2.如果，那么的取值范圍是_。3.設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是 4.已知橢圓中心在原點，焦點在軸上，它的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓的方程（2）過右焦點作直線交橢圓于，交軸于，若，求5.如圖，設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，求證：直線過某一個定點。參考答案1.解析：觀察條件可變形為：，從而得到等式左右的結構均為的形式，且括號內的數(shù)間隔為1。所以。因為為偶函數(shù)，所以，由可得，進而答案：A2.解析：本題很難直接去解不等式，觀察式子特點可發(fā)現(xiàn)若將關于的項分居在不等號兩側：，則左右呈現(xiàn)同構的特點，將相同的結構設為函數(shù)，能夠判斷是奇函數(shù)且單調遞增。所以不等式等價于，即，所以，結合，可得 答案：3. 解析：，即恒成立，.4. 解析：（1） 解得 （2）由（1）得，設直線，可得，設 可得： ，由可得：因為在橢圓上，將代入可得： 對于， ，同理可得：為方程的兩個不同根 5. 解析：設，的斜率為則，聯(lián)立方程消去可得：，整理可得： ，因為與雙曲線相切