創(chuàng)新設(shè)計(jì)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5知識(shí)塊第5講數(shù)列的綜合應(yīng)用課件1課件 北師大

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法.,【考綱下載】,第4講數(shù)列求和,數(shù)列求和的方法1公式法(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【思考】回憶一下，推導(dǎo)公式采用的方法是什么？答案：倒序相加法、錯(cuò)位相減法,2倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和提示：倒序相加法用的時(shí)候有局限性，只有首末兩項(xiàng)的和是個(gè)常數(shù)時(shí)才可以用,3錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)可把式子Sna1a2an兩邊同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，兩式錯(cuò)位相減整理即可求出Sn.提示：錯(cuò)位相減法的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列，再用公式法求和，用公式法求和時(shí)要弄清是n項(xiàng)的和還是n1項(xiàng)的和,4裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾若干項(xiàng)之和5分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列的求和公式求解提示：用分組轉(zhuǎn)化法求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要注意分解后特殊數(shù)列適用的前提條件，例如對(duì)公比的討論、對(duì)數(shù)列項(xiàng)數(shù)奇偶性的討論等,1等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，則由bn所確定的數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()An(n2)B.n(n4)C.n(n5)D.n(n1)解析：an2n1，a1a2ann2.bnn.b1b2bn.,答案：D,2等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)之和為Sn，則等于()A.B.CSnD.解析：由等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公比為q，則q1時(shí)，前n項(xiàng)之和為Sn，等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，則數(shù)列的前n項(xiàng)之和為；當(dāng)q1時(shí)，有的前n項(xiàng)之和為答案：B,3數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則S100等于()A200B200C400D400解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50200.答案：B,4數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于_解析：答案：,將數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并【例1】求和：Sn思維點(diǎn)撥：分析通項(xiàng)公式，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等比數(shù)列x2n、與常數(shù)列2的求和問(wèn)題,解：當(dāng)x1時(shí)，Sn4n.當(dāng)x1時(shí)，Sn,用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意1要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；2在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的表達(dá)式,【例2】設(shè)數(shù)列an滿足a1a，an1can1c，nN*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)a，c，bnn(1an)，nN*，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,解：(1)an11c(an1)，當(dāng)a1時(shí)，an1是首項(xiàng)為a1，公比為c的等比數(shù)列an1(a1)cn1，即an(a1)cn11.當(dāng)a1時(shí)，an1仍滿足上式數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(a1)cn11(nN*)(2)由(1)得,變式2：在數(shù)列an中，a13，an13an3n1(nN*)(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.證明：(1)an13an3n1，得bn1bn1，b11，數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,(2)解：由(1)易知，數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，所以n，ann3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1，兩式相減，得2Snn3n1(31323n)，故Sn,常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧有：,【例3】等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a13，前n項(xiàng)和為Sn，bn為等比數(shù)列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an與bn；(2)求的值,解：(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則d為正數(shù)，an3(n1)d，bnqn1，依題意有解得或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.,(2)由(1)知Sn35(2n1)n(n2)，所以,變式3：已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)，anSnSn1，(n2)，,即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得(n2)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列,1直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程2重點(diǎn)通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，判斷求和類型，尋找求和的方法，或拆為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和求和過(guò)程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷3含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類討論,【方法規(guī)律】,(12分)(2009廣東汕頭潮陽(yáng)區(qū)高三期末)已知f(x)，數(shù)列an滿足a1，an1f(an)(nN*)(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記Sn(x)(x0)，求Sn(x),【閱卷實(shí)錄】,【教師點(diǎn)評(píng)】,【規(guī)范解答】,解：(1)由已知得是首項(xiàng)為3，公差d3的等差數(shù)列.4分(2)由(1)得33(n1)3n，Sn(x)3x6x29x33nxn，6分,x1時(shí)，Sn(1)3693n7分x1時(shí)，Sn(x)3x6x29x33nxn，xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，(1x)Sn3x3x23xn3nxn1，Sn，11分綜上，x1時(shí)，Sn(1)n(n1)，x1時(shí)，Sn(x).12分,錯(cuò)位相減求和法的適用環(huán)境：數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，求其前n項(xiàng)和，基本方法是