第二章 時(shí)頻分析與連續(xù)小波變換

.,小波分析導(dǎo)論第二章時(shí)頻分析與連續(xù)小波變換,.,時(shí)頻聯(lián)姻(TimeMeetsFrequency),傅里葉分析回顧聯(lián)合時(shí)頻分析的基本原理短時(shí)傅里葉分析:STFT連續(xù)小波變換:CWT時(shí)頻分析的應(yīng)用瞬時(shí)頻率基于短時(shí)傅里葉脊和小波脊的瞬時(shí)頻率檢測(cè)本章小結(jié),.,一、傅里葉分析回顧,概述定義性質(zhì)實(shí)現(xiàn),.,傅里葉分析可以分析信號(hào)中的“頻率成分”。它是一個(gè)全局的分析。它有很多好的性質(zhì)：如其所選擇的基本分析單元是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，可將其方便地用于分析線性時(shí)不變系統(tǒng)-利用傅里葉分析可以將時(shí)域卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)化成頻域相乘運(yùn)算。傅里葉分析數(shù)字實(shí)現(xiàn)時(shí)常常采用FFT進(jìn)行快速實(shí)現(xiàn)。,傅里葉分析概述,.,傅里葉變換(分析)的定義,根據(jù)信號(hào)的不同，傅里葉變換有四種定義：CTFT:連續(xù)時(shí)間傅里葉變換CFS:連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)DTFT：離散時(shí)間傅里葉變換DFS：離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù),.,CTFT:連續(xù)時(shí)間傅里葉變換適用信號(hào):連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換公式:,.,CFS:連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)適用信號(hào):連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)變換公式:,.,DTFT：離散時(shí)間傅里葉變換適用信號(hào):離散時(shí)間信號(hào)變換公式:,.,DFS：離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)適用信號(hào):離散時(shí)間周期信號(hào)變換公式:,.,四種傅里葉變換的關(guān)系:,.,信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間關(guān)系：,.,本課程中傅里葉變換的記號(hào):,.,連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì),.,從頻率分析角度看：傅里葉變換不能提供頻率隨時(shí)間局部變化的規(guī)律。從信號(hào)奇異性分析角度看:傅里葉變換不容易提供信號(hào)局部奇異性信息：不容易從傅里葉變換系數(shù)在高頻的分布規(guī)律分析出原始信號(hào)在特定點(diǎn)上的奇異性（局部的變化）.然而,小波變換可以做到這一點(diǎn)。傅里葉變換在高頻處的衰減性依賴于信號(hào)的整體奇異性。,傅里葉變換的重要缺陷:難于獲得信號(hào)的“局部變化”規(guī)律,.,傅里葉變換的衰減性與信號(hào)的全局正則性之間的關(guān)系：,.,1965年庫(kù)利和圖基提出FFT算法FFT不是一種新的傅里葉變換,它僅僅是計(jì)算DFS的一種快速算法.FFT的出現(xiàn)極大地促進(jìn)了傅里葉變換在工程中的應(yīng)用.,傅里葉變換的快速算法：FFT,.,二、聯(lián)合時(shí)頻分析,聯(lián)合時(shí)頻分析引入的動(dòng)機(jī)：具有時(shí)變頻率結(jié)構(gòu)的信號(hào)在自然界中隨處可見(jiàn)：語(yǔ)音/音頻信號(hào)顏色變化的光線雷達(dá)信號(hào)地震信號(hào),.,1946年,DennisGabor(1971年Nobel獎(jiǎng)獲得者):“迄今為止，通信理論的基礎(chǔ)一直是信號(hào)分析的兩種方法組成的：一種將信號(hào)號(hào)描述成時(shí)間的函數(shù)，另一種將信號(hào)描述成頻率的函數(shù)（Fourier分析）。這兩種方法都是理想化的。然而，我們每一天的經(jīng)歷特別是我們的聽(tīng)覺(jué)卻一直是用時(shí)間和頻率來(lái)描述的。”,.,為了分析信號(hào)中時(shí)變的頻率結(jié)構(gòu)，需要引入一些時(shí)頻分析的新工具：短時(shí)傅里葉變換和小波變換就是其中的代表。短時(shí)傅里葉變換和小波變換的差別在于采用了不同的時(shí)頻原子不同時(shí)頻原子具有不同的時(shí)頻特性。,.,時(shí)頻原子,時(shí)頻原子的基本概念線性時(shí)頻變換的定義時(shí)頻原子的時(shí)頻局部化描述Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)-Heisenberg-box時(shí)頻能量密度,.,時(shí)頻原子基本概念,時(shí)頻原子具有時(shí)頻局部化特性的基本信號(hào)分析單元短時(shí)傅里葉時(shí)頻原子小波時(shí)頻原子,特點(diǎn)：都是由一個(gè)基本的單元信號(hào)經(jīng)過(guò)變換得到；短時(shí)傅里葉原子是通過(guò)平移和調(diào)制形成的；小波原子是通過(guò)平移和伸縮得到的。,.,線性時(shí)頻變換,：參數(shù)集,.,線性時(shí)頻變換的時(shí)頻局部化如果時(shí)頻原子在時(shí)間上是集中于某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)u周圍,根據(jù)(1)式,則僅與信號(hào)f(t)在該鄰域的值有關(guān)。如果時(shí)頻原子在頻率上是集中于某個(gè)頻率點(diǎn)周圍,根據(jù)(2)式,則僅與信號(hào)f(t)的頻譜在該鄰域的值有關(guān)。,.,如果所選擇的時(shí)頻原子的能量在時(shí)間上集中在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn),同時(shí)在頻率上集中在某個(gè)頻率點(diǎn),則線性時(shí)頻變換的結(jié)果必然精確反映原始信號(hào)在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)和某個(gè)頻率點(diǎn)上的信息-具有最高的時(shí)頻分辨率。問(wèn)題:上述時(shí)頻原子存在否?,“最高的時(shí)頻分辨率”,.,時(shí)頻原子的分辨率受如下兩個(gè)結(jié)論限制:Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理不存在同時(shí)具有時(shí)限和頻限的時(shí)頻原子,.,設(shè),時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)：時(shí)頻局部化的定量描述,.,Heisenberg-box示例：有關(guān)Heisenberg-box的幾個(gè)值得注意的問(wèn)題：根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，Heisenberg-box的面積至少要大于1/2；在Heisenberg-box所處位置以外的地方并不表示該時(shí)頻原子就沒(méi)有能量分布，Heisenberg-box只是代表了該時(shí)頻原子的大部分能量集中的位置和區(qū)域。,.,Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理結(jié)論,.,.,時(shí)頻不可能同時(shí)有限長(zhǎng)盡管有了Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理的限制,可能仍然有人認(rèn)為存在某個(gè)信號(hào)在時(shí)間-頻率域上可以同時(shí)是有限長(zhǎng)的,但這個(gè)結(jié)論也是不成立的。,.,定理:時(shí)頻不能同時(shí)有限長(zhǎng),.,時(shí)頻能量密度,它度量了信號(hào)的能量在以為中心的時(shí)頻鄰域內(nèi)的分布。,.,連續(xù)STFT定義短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)常用信號(hào)的連續(xù)STFT連續(xù)STFT的反變換連續(xù)STFT的性質(zhì)能量守恒定理再生核方程短時(shí)譜,三、短時(shí)傅里葉變換STFT(ShortTimeFourierTransform),.,連續(xù)STFT,.,.,短時(shí)譜,.,短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu):(為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，設(shè)g(t)為實(shí)偶信號(hào))：,.,短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)圖示：,短時(shí)傅里葉原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)在整個(gè)時(shí)頻平面上保持不變！,.,常用信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換正弦信號(hào),.,正弦信號(hào)短時(shí)譜對(duì)應(yīng)的時(shí)頻區(qū)域,.,單位沖激信號(hào),.,線性調(diào)頻信號(hào),推導(dǎo)在高斯窗下短時(shí)傅里葉變換。,.,STFT反變換-完備性如果f(t)是能量有限信號(hào)，則：,.,.,STFT性質(zhì)穩(wěn)定性：Parseval定理,時(shí)頻能量密度的體現(xiàn),.,STFT的冗余性:重建核方程上面的性質(zhì)表明:并不是所有的能量有限的二維信號(hào)都是某個(gè)一維能量有限信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換!,能量有限信號(hào),能量有限二維信號(hào),STFT,.,模糊函數(shù)與重建核模糊函數(shù)定義模糊函數(shù)沿時(shí)間軸和頻率軸的衰減性可以定義信號(hào)的時(shí)頻結(jié)構(gòu)-比Heisenbergbox更精確模糊函數(shù)在雷達(dá)信號(hào)設(shè)計(jì)中具有重要用途,.,重建核和模糊函數(shù)的關(guān)系,.,離散短時(shí)傅里葉變換,.,連續(xù)小波變換,連續(xù)小波正變換連續(xù)小波反變換連續(xù)小波變換性質(zhì)時(shí)移不變性尺度變換性微分性再生核方程能量守恒定理尺度譜小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)解析小波及解析小波變換小波脊,.,連續(xù)小波變換的定義：,Notes:,.,(2)尺度因子s的作用是對(duì)母小波做伸縮，選擇不同的s會(huì)改變波形的寬窄，但不會(huì)改變波形的形狀。尺度因子s越大，波形越寬，可以用于分析持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)的低頻信號(hào)。,.,.,(4)小波可以是實(shí)小波，實(shí)小波往往用來(lái)檢測(cè)信號(hào)的奇異性，如在圖象處理中檢測(cè)邊緣的墨西哥草帽小波。,.,墨西哥草帽小波的波形及其傅里葉變換：,.,基于墨西哥草帽小波的連續(xù)小波變換：奇異性檢測(cè),.,(5)小波也可以是復(fù)小波，并且一般采用復(fù)解析小波。采用復(fù)解析小波常用來(lái)做時(shí)頻分析，如檢測(cè)信號(hào)的瞬時(shí)頻率。采用復(fù)解析小波進(jìn)行的小波變換稱為解析小波變換(AWT:AnalyticWaveletTransform).,.,（6）連續(xù)小波變換的濾波器解釋:,S變化時(shí)可以看成是帶寬不斷變化的一組帶通濾波器。,.,.,(7)連續(xù)的含義（三重連續(xù)）：信號(hào)是連續(xù)的；尺度因子是連續(xù)的；位移因子是連續(xù)的。(8)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換時(shí)運(yùn)算量很大用計(jì)算機(jī)處理時(shí)較慢,這往往限制了其在實(shí)時(shí)信號(hào)處理中的應(yīng)用。,.,連續(xù)小波變換的計(jì)算,計(jì)算連續(xù)時(shí)間小波變換的4個(gè)步驟：,1、選取一個(gè)小波，然后將其和待分析信號(hào)從起點(diǎn)開始的一部分進(jìn)行相乘積分。2、計(jì)算相關(guān)系數(shù)c。,.,3、將小波向右移，重復(fù)1和2的步驟直到分析完整個(gè)信號(hào)。4、將小波進(jìn)行尺度伸縮后再重復(fù)1，2，3步驟，直至完成所有尺度的分析。,.,連續(xù)小波變換的計(jì)算可以采用模擬器件來(lái)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換。連續(xù)小波變換的數(shù)值計(jì)算,位移的離散化：在上式中令:,則有:,.,在實(shí)際計(jì)算時(shí),尺度參數(shù)s也要進(jìn)行離散化,常見(jiàn)離散化方法是令:,可以用FFT來(lái)計(jì)算。,.,連續(xù)小波反變換-連續(xù)小波變換的完備性問(wèn)題,.,.,有關(guān)該定理的說(shuō)明:該定理的證明過(guò)程利用了傅里葉分析的結(jié)果。稱為小波容許條件。,.,在該定理證明過(guò)程中假設(shè)是與頻率無(wú)關(guān)的有限值，要使該假設(shè)成立，必然要求小波具有零均值。,如果，則容許條件成立。,.,尺度函數(shù),.,墨西哥草帽小波對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)及其傅里葉變換：低通特性,.,含有尺度函數(shù)的連續(xù)小波變換重建公式：,.,連續(xù)小波變換性質(zhì)：1、時(shí)移不變性：,注意：(1)該性質(zhì)在小波用于模式識(shí)別中的特征提取過(guò)程中十分重要(2)并不是所有小波變換都具有時(shí)移不變性DWT(離散小波變換)不具有時(shí)移不變性。,.,DWT(離散小波變換)不具有平移不變性(示例)：,.,2、尺度變換性質(zhì),該性質(zhì)指出：當(dāng)信號(hào)在時(shí)間軸作伸縮時(shí)，其小波變換在時(shí)間軸和尺度軸上要作相同比例的伸縮，但小波變換的波形不變-小波被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”得名的由來(lái)。,.,3、微分性質(zhì),.,4、連續(xù)小波變換的重建核方程：冗余性,說(shuō)明：(1)重建核方程表明連續(xù)小波變換具有冗余性-某一點(diǎn)的小波變換值可以通過(guò)平面其余點(diǎn)上的小波變換值按重建核方程恢復(fù)。,.,(2),(3)重建核方程表明：并不是任意的二維函數(shù)都可以作為一個(gè)信號(hào)的連續(xù)小波變換。,反映的是的相關(guān)性。,當(dāng)時(shí)，此時(shí)u-s平面內(nèi)各點(diǎn)的小波系數(shù)才互不相關(guān)，此時(shí)的小波變換沒(méi)有冗余。此條件實(shí)際上表明不同尺度和位移處的小波是正交的。,.,(5)能量守恒定理：,.,尺度譜和歸一化尺度譜,尺度譜和歸一化尺度譜：描述信號(hào)能量在時(shí)間-尺度平面的分布。,.,尺度譜的時(shí)間-尺度表示和時(shí)間-頻率表示,假定頻率和尺度間滿足如下關(guān)系：,，其中是母小波的中心頻率,則：,.,小波時(shí)頻原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu),.,小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù)),.,小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù)),.,在頻域中有：,小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù)),.,對(duì)應(yīng)的時(shí)頻窗(Heisenberg-box)的特點(diǎn)：,(1)用于確定時(shí)頻窗的四個(gè)參數(shù)都與尺度參數(shù)s有關(guān)。(2)當(dāng)s大于1且增大時(shí)，時(shí)頻窗的時(shí)間長(zhǎng)度增加，而時(shí)頻窗的頻率長(zhǎng)度減少(3)時(shí)頻窗的面積為：,時(shí)頻窗面積與尺度和位移參數(shù)無(wú)關(guān)，但與選定的母小波有關(guān)。,小波原子的時(shí)頻結(jié)構(gòu)(續(xù)),.,(4)低頻：時(shí)頻窗時(shí)間寬度大，頻率寬度小高頻：時(shí)頻窗時(shí)間寬度小，頻率寬度大,.,解析小波和解析小波變換,解析信號(hào)：AnalyticSignal解析小波:AnalyticWavelets解析小波變換:AnalyticWaveletTransforms,.,解析信號(hào):定義:一個(gè)信號(hào)是解析的是指其傅里葉變換的值在負(fù)頻率處全部為零(沒(méi)有負(fù)的頻率成份)。實(shí)信號(hào)f(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)的傅里葉變換為:,.,解析小波可以通過(guò)對(duì)一個(gè)實(shí)偶窗函數(shù)g(t)進(jìn)行頻率調(diào)制得到,.,解析小波變換(AnalyticWavelets)采用解析小波進(jìn)行的小波變換稱為解析小波變換:采用解析小波變換主要是可以同時(shí)得到信號(hào)的瞬時(shí)幅頻特性和相頻特性.,.,有關(guān)解析小波變換有如下結(jié)論:信號(hào)f(t)的解析小波變換可以由該信號(hào)的解析信號(hào)對(duì)應(yīng)的解析小波變換確定:,.,利用解析小波變換計(jì)算實(shí)信號(hào)的解析信號(hào),如果f(t)是實(shí)信號(hào),并且,則有:,.,常用信號(hào)的解析小波變換(Gabor小波作為解析小波):,.,.,時(shí)頻分析應(yīng)用:瞬時(shí)頻率檢測(cè),瞬時(shí)頻率解析信號(hào)可以分解成模和復(fù)相位的形式:瞬時(shí)頻率定義為復(fù)相位的導(dǎo)數(shù):,常用信號(hào)及其瞬時(shí)頻率單頻正弦信號(hào),.,常用信號(hào)及其瞬時(shí)頻率(續(xù)),多分量信號(hào):,可見(jiàn):含有多個(gè)頻率分量的信號(hào)(多分量信號(hào))的瞬時(shí)頻率不能客觀反映原始信號(hào)中的頻率分布情況。解決辦法:可以先通過(guò)短時(shí)傅里葉變換和小波變換分離不同頻率成分,然后再求瞬時(shí)頻率。,.,瞬時(shí)頻率檢測(cè)的兩個(gè)應(yīng)用:通信中的頻率調(diào)制:音頻處理中的加性聲音模型:,變化緩慢,.,基于短時(shí)傅里葉脊和小波脊的瞬時(shí)頻率檢測(cè),短時(shí)傅里葉脊小波脊,.,短時(shí)傅里葉脊和小波脊用于瞬時(shí)頻率檢測(cè)理論基礎(chǔ)：,.,.,證明:,.,.,.,.,.,.,.,短時(shí)傅里葉脊：STFTRidges,根據(jù)上述的理論，再做如下的假設(shè)：,.,.,多分量信號(hào)的短時(shí)傅里葉脊（STFTRidges）,.,短時(shí)傅里葉脊用于瞬時(shí)頻率檢測(cè)中窗長(zhǎng)的選擇:,.,窗長(zhǎng)選擇示例：,.,短時(shí)傅里葉脊是短時(shí)譜的局部極大值點(diǎn)。短時(shí)傅里葉脊在變換允許的時(shí)頻分辨率范圍內(nèi)可以描述信號(hào)的瞬時(shí)頻率。變換允許的分辨率由Heisenberg盒描述。對(duì)多分量信號(hào),如果要用短時(shí)傅里葉脊來(lái)檢測(cè)這兩個(gè)信號(hào)的瞬時(shí)頻率，則需滿足如下條件：,短時(shí)傅里葉脊：STFTRidges,.,小波脊：WaveletRidges,小波時(shí)頻原子（三參數(shù)小波）：,.,解析小波變換：,.,.,小波脊:歸一化尺度譜的極值點(diǎn),.,.,小波脊：Waveletridges,小波脊是歸一化尺度譜的極大值點(diǎn)。小波脊在變換允許的時(shí)頻分辨率下可以描述信號(hào)的瞬時(shí)頻率。變換允許的時(shí)頻分辨率由Heisenberg-box來(lái)描述。,.,(a)尺度譜(b)小波脊,(c)短時(shí)譜(d)短時(shí)脊,原因:高頻時(shí)CWT的頻率分辨率過(guò)低,.,(a)尺度譜(b)小波脊,(c)短時(shí)譜(d)短時(shí)脊,原因:高頻時(shí)STFT的時(shí)間分辨率過(guò)低,.,附錄：常見(jiàn)小波介紹,可以通過(guò)Matlab命令Waveinfo了解常見(jiàn)小波的信息可以通過(guò)Wavefun畫出小波的波形,.,1.Crudewavelets(原始小波),Wavelets:高斯小波、Morlet小波特性:僅滿足小波的最低要求-不能構(gòu)成正交函數(shù)集合-小波函數(shù)不是緊支撐的-不一定能保證穩(wěn)定重建.可能的分析方法:-連續(xù)分解主要的好性質(zhì):對(duì)稱性,小波函數(shù)具有顯式的表達(dá)式.主要問(wèn)題:不存在快速算法,精確重建不可能.,.,Wavelets:meyer(meyr).特性:-尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是無(wú)限可微分的.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)都不是有限支撐的可能的分析方法:-可以進(jìn)行連續(xù)小波變換.-可以進(jìn)行離散變換,但濾波器無(wú)限長(zhǎng).主要的好性質(zhì):對(duì)稱性,無(wú)限正則性.主要問(wèn)題:不存在快速算法.Wavelets:離散的Meyerwavelet(dmey).特性:-用FIR濾波器來(lái)近似Meyerwavelet可能的分析方法:-連續(xù)小波變換.-離散小波變換.,2.Infinitelyregularwavelets(無(wú)限正則的小波),.,3.Orthogonalandcompactlysupportedwavelets(正交緊支撐小波),Wavelets:Daubechies(dbN),symlets(symN),coiflets(coifN).常見(jiàn)特性:-尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行正交分析.-尺度函數(shù)和小波函數(shù)是有限長(zhǎng)的.-小波函數(shù)具有一定的消失矩.可能的分析方法:-可以進(jìn)行連續(xù)變換.-可以采用FWT進(jìn)行離散小波變換.主要的好的性質(zhì):緊支撐,具有消失矩,可以用FIR濾波器進(jìn)行快速實(shí)現(xiàn).主要的問(wèn)題:差的正則性.特別的特性:FordbN:asymmetry(不對(duì)稱)ForsymN:nearsymmetry(近似對(duì)稱)ForcoifN:nearsymmetryandphiaspsi,hasalsovanishingmoments(近似對(duì)稱,但尺度函數(shù)也具有消失矩).,.,Wavelets:B-splinesbiorthogonalwavelets(biorNr.NdandrbioNr.Nd).特性:尺度函數(shù)存在,可以進(jìn)行雙正交分析.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù),重構(gòu)的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都是有限長(zhǎng)的.分解的尺度函數(shù)和小波函數(shù)都具有消失矩.重建的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都具有正則性.可能的分析方法:連續(xù)小波變換.采用FWT進(jìn)行離散小波變換.主要好性質(zhì):FIRfilters是對(duì)稱的,分解和重構(gòu)所需要的特性可以分離.主要問(wèn)題:不具有正交性.,4.Biorthogonalandcompactlysupportedwaveletpairs(雙正交緊支撐小波),.,Wavelets:ComplexGaussianwavelets(cgauN),complexMorletwavelets(cmorFb-Fc),complexShannonwavelets(shanFb-Fc),complexfrequencyB-splinewavelets(fbspM-Fb-Fc).特性:只具有最小的特性-尺度函數(shù)不存在.-不能進(jìn)行正交分析.-小波函數(shù)不是緊支撐的.-不能保證精確重建.可能的分析:-復(fù)的連續(xù)分解.主要的好的特性:對(duì)稱性,小波函數(shù)具有顯式的表達(dá)式.主要問(wèn)題:不存在快速算法和精確重構(gòu).,5.Complexwavelets(復(fù)小波),.,haar:Haarwavelet.db:Daubechieswavelets.sym:Symlets.coif:Coiflets.bior:Biorthogonalwavelets.rbio:Reversebiorthogonalwavelets.meyr:Meyerwavelet.dmey:DiscreteMeyerwavelet.gaus:Gaussianwavelets.mexh:Mexicanhatwavelet.morl:Morletwavelet.cgau:ComplexGaussianwavelets.cmor:ComplexMorletwavelets.shan:ComplexShannonwavelets.fbsp:ComplexFrequencyB-splinewavelets.,MatLab介紹的有關(guān)小波信息,.,Haar小波:,Generalcharacteristics:Compactlysupportedwavelet,theoldestandthesimplestwavelet.scalingfunctionphi=1on01and0otherwise.waveletfunctionpsi=1on00.5,=-1on0.51and0otherwise.FamilyHaarShortnamehaarExampleshaaristhesameasdb1OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth1Filterslength2RegularityhaarisnotcontinuousSymmetryyesNumberofvanishingmomentsforpsi1,.,db小波:DaubechiesWavelets,Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithextremalphaseandhighestnumberofvanishingmomentsforagivensupportwidth.Associatedscalingfiltersareminimum-phasefilters.FamilyDaubechiesShortnamedbOrderNNstrictlypositiveintegerExamplesdb1orhaar,db4,db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2N-1Filterslength2NRegularityabout0.2NforlargeNSymmetryfarfromNumberofvanishingmomentsforpsiN,.,不同階次的Daubechies小波波形：,.,Meyer小波,Generalcharacteristics:Infinitelyregularorthogonalwavelet.FamilyMeyerShortnamemeyrOrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportnoDWTpossiblebutwithoutFWTFIRbasedapproximationprovidesFWTCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesupport-88Regularityindefinitel