1983年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及其解析

1983年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及其解析理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)試題一（本題滿(mǎn)分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫(xiě)在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得2分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)的（不論是否都寫(xiě)在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分1兩條異面直線，指的是 （ ）（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線2方程x2-y2=0表示的圖形是 （ ）（A）兩條相交直線 （B）兩條平行直線（C）兩條重合直線 （D）一個(gè)點(diǎn)3三個(gè)數(shù)a ,b ,c不全為零的充要條件是 （ ）（A）a ,b ,c都不是零 （B）a ,b ,c中最多有一個(gè)是零（C）a ,b ,c中只有一個(gè)是零（D）a ,b ,c中至少有一個(gè)不是零4設(shè)則的值是 （ ）（A） （B） （C） （D）5這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是 （ ）（A） （B）（C） （D）二（本題滿(mǎn)分12分）1在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫(huà)出兩個(gè)方程的圖形，并寫(xiě)出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)2在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫(huà)出它的圖形三（本題滿(mǎn)分12分）1已知，求微分2一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法。四（本題滿(mǎn)分12分）計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡(jiǎn)）： 五（本題滿(mǎn)分15分）1證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)的模適合2當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？六（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等于NSC，求證SC垂直于截面MAB七（本題滿(mǎn)分16分）如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過(guò)橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)F2F1M=（0）當(dāng)取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？八（本題滿(mǎn)分16分）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=b(b0），它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+an(n1),并且S1，S2，Sn，是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p（p0且|p|1）1證明：a2,a3,a3,an,(即an從第二項(xiàng)起）是一個(gè)等比數(shù)列2設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+anSn(n1),求（用b,p表示）九（本題滿(mǎn)分12分）1已知a,b為實(shí)數(shù)，并且eaba.2.如果正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足ab=ba.且a1，證明a=b文史類(lèi)試題一（本題滿(mǎn)分10分）1在直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y=|x|的圖象 （ ）（A）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) （B）關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都不對(duì)稱(chēng)（C）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) （D）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)2拋物線x2+y=0的焦點(diǎn)位于 （ ）（A）y軸的負(fù)半軸上 （B）y軸的正半軸上（C）x軸的負(fù)半軸上 （D）x軸的正半軸上3兩條異面直線，指的是 （ ）（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線4對(duì)任何的值等于 （ ）（A）（B）（C）（D）5這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是 （ ）（A） （B）（C） （D）二（本題滿(mǎn)分10分）方程x2+y2=2xx2-y2=0圖形名稱(chēng)圖形三（本題滿(mǎn)分10分）1求函數(shù)的定義域2一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法 四（本題滿(mǎn)分12分）已知復(fù)數(shù)五（本題滿(mǎn)分14分）在圓心為O、半徑為常數(shù)R的半圓板內(nèi)畫(huà)內(nèi)接矩形（如圖）當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬各取多少時(shí)，矩形的面積最大？求出這個(gè)最大面積六（本題滿(mǎn)分14分）如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測(cè)得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB=20米，在A點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OAP=300，在B點(diǎn)處測(cè)得P點(diǎn)的仰角OBP=450，又測(cè)得AOB=600，求旗桿的高度h（結(jié)果可以保留根號(hào)）七（本題滿(mǎn)分16分）如圖，已知一塊直角三角形板ABC的BC邊在平面內(nèi)，ABC=600，ACB=300，BC=24cm，A點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為N，AN=9cm求以A為頂點(diǎn)的三棱錐A-NBC的體積（結(jié)果可以保留根號(hào)）八（本題滿(mǎn)分17分）一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列;如果再把這等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列九（本題滿(mǎn)分17分）如圖，已知兩條直線L1:2x-3y+2=0,L2:3x-2y+3=0.有一動(dòng)圓（圓心和半徑都在變動(dòng)）與L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長(zhǎng)度分別是定值26，24求圓心M的軌跡方程，并說(shuō)出軌跡的名稱(chēng)理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)參考答案一、本題考查對(duì)一些基本概念和常用的詞語(yǔ)的理解.(1)D;(2)A;(3)D;(4)C;(5)C.二、解：1.圖形如左圖所示交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）2曲線名稱(chēng)是：圓圖形如右所示三、解：1. 2或：四、解法一:把第1列乘以sinj加到第2列上,再把第3列乘以(-cosj)加到第2列上,得解法二:把行列式的第2列用三角公式展開(kāi),然后運(yùn)用行列式的性質(zhì),得解法三:把行列式按第2列展開(kāi),得解法四:把行列式按定義展開(kāi),并運(yùn)用三角公式,得五、1證：復(fù)數(shù)（其中t 是實(shí)數(shù)）的模為要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有，只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，成立對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)?，所以可令且，于?因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而顯然因?yàn)橛捎谶@就是所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍六、證：因?yàn)镾N是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，ABNC，所以ABSC（三垂線定理）連結(jié)DM因?yàn)锳BDC，ABSC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個(gè)平面內(nèi)，所以ABDMMDC是截面與底面所成二面角的平面角，MDC=NSC在MDC和NSC中，因?yàn)镸DC=NSC，DCS是公共角，所以DMC=SNC=900從而DMSC從ABSC，DMSC，可知SC截面MAB七、解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過(guò)F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系由已知條件可知橢圓長(zhǎng)半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為解得以上解方程過(guò)程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長(zhǎng)解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為MN所在直線方程為解方程組消去y得.下同解法一解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為代入橢圓方程得設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一解四：設(shè)|F1M|=x ,則|F2M|=6-x|F1F2|=，F(xiàn)2F1M=在MF1F2中由余弦定理得同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在F1F2N中，由余弦定理得下同解一八、1證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n1）因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，Sn=a1+a2+an-1+an=Sn-1+an ,所以an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n2)從而因此a2,a3,a3,an,是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列2解：當(dāng)n2時(shí)，且由已知條件可知p21，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，anSn是公比為p21的無(wú)窮等比數(shù)列于是從而九、1證：當(dāng)eaba， 只要證blnaalnb,即只要證考慮函數(shù)因?yàn)榈珪r(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)因?yàn)閑aba2證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)由于0a0,所以ab1,從而ba=ab1.由ba0,可推出b1.由0a1,0b1,假如，則根據(jù)f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，得，即，從而這與ab=ba矛盾所以a=b證二：因?yàn)?a1，ab=ba，所以即假如ab，則，但因ab，則，而，這也與矛盾所以a不能大于b因此a=b證三：假如a0由于0a0,根據(jù)冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得和，所以 即abba.這與ab=ba矛盾所以a不能小于b假如ba，則ba0,同上可證得abba.這于ab=ba矛盾所以a不能大于b因此a=b文史類(lèi)參考答案一、本題考查對(duì)一些基本概念和常用的詞語(yǔ)的理解.(1)D;(2)A;(3)D;(4)C;(5)C.二、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，表中的方程表示什么圖形？畫(huà)出這些圖形方程x2+y2=2xx2-y2=0圖形名稱(chēng)圓兩條相交直線圖形三、解：1.根據(jù)題意，得解得 2或：四、證：五、解：設(shè)矩形在半圓板直徑上的一邊長(zhǎng)為2x，角如圖所示，則x=Rcos,另一邊的長(zhǎng)為Rsin矩形面積S為S=2R2sincos.=R2sin2當(dāng)2=即=時(shí)，也即長(zhǎng)為，寬為時(shí)，矩形面積最大最大面積是R2六、解：在直角三角形AOP中，得OA=OPctg300=.在直角三角形BOP中，得OB=OPctg450=h在三角形AOB中，由余弦定理得答：略七、解：自N作NEBC，E為垂足連結(jié)AE，