第02章 受迫振動(dòng)

.,第二章受迫振動(dòng)2.1線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2.2幾個(gè)簡化的實(shí)際例子2.3任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2.4非線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)2.5線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),.,第二章受迫振動(dòng),系統(tǒng)在外界激勵(lì)下產(chǎn)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)狀態(tài)稱為響應(yīng)。激勵(lì)既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是間接作用因素，如溫度、電磁場、位移等變化。按激勵(lì)隨時(shí)間的變化形式，可分為周期、瞬態(tài)和隨機(jī)激勵(lì)，本章學(xué)習(xí)周期和瞬態(tài)激勵(lì)下，系統(tǒng)響應(yīng)的求解方法和規(guī)律。,.,2.1線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),1.簡諧激勵(lì)的受迫振動(dòng),簡諧激勵(lì)力寫成復(fù)數(shù)形式為,阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程為,這是一個(gè)線性常系數(shù)非齊次常微分方程，激勵(lì)項(xiàng)顯含時(shí)間變量t，因此系統(tǒng)成為非自治系統(tǒng)。線性方程的解可用疊加法，即方程的全解齊次通解非齊次特解。齊次通解上一章已求出，為,(2.1),.,非齊次特解用試湊法，設(shè)特解為，代入（2.1），得,H(w)是激勵(lì)頻率w的復(fù)變函數(shù)，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)。H(w)寫成指數(shù)形式為,于是特解為,(2.2),(2.4),(2.3),.,方程（2.1）的全解為為,(2.5),上式右邊第一項(xiàng)隨時(shí)間衰減，稱為暫態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)是持續(xù)振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。待定常數(shù)A、j由初始條件確定。系統(tǒng)的最后振動(dòng)狀態(tài)只剩下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，下面研究穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與頻率的關(guān)系。穩(wěn)態(tài)振動(dòng)（2.4）的頻率與激勵(lì)頻率相同，振幅|X|和相位差q是激勵(lì)頻率的函數(shù)，由（2.3）、（2.4）式，將它們寫成無量綱參數(shù)形式,.,幅頻特性,相頻特性,幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖2.2。,(2.6),(2.7),.,圖2.2幅頻特性曲線和相頻特性曲線,.,由圖可見，對于小阻尼和無阻尼情況，在s=1附近，放大因子有明顯的極大值，這種現(xiàn)象稱為共振，對應(yīng)的激勵(lì)頻率稱共振頻率，附近的幅頻特性曲線稱為共振峰。共振頻率的準(zhǔn)確值由db/ds=0導(dǎo)出,當(dāng)阻尼較小時(shí)，共振頻率近似等于固有頻率。因此，對受迫振動(dòng)，固有頻率同樣是一個(gè)重要的系統(tǒng)參數(shù)。共振峰的高度為,幅頻曲線,已沒有共振峰。因此系統(tǒng)共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一確定，定量關(guān)系由系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)Q描述：,(2.8),(2.9),(2.10),.,顯然，對小阻尼系統(tǒng)，可得,(2.11),(2.12),Dw稱為系統(tǒng)的帶寬。(2.11)、(2.12)式表明，品質(zhì)因素Q同時(shí)表征了共振峰曲線的高度和陡削程度，即Q越大，則共振峰越高、越陡削。,.,當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)時(shí)，方程（2.1）的解為,(2.13),(2.14),.,上式中各個(gè)參數(shù)重寫如下：,.,2.受迫振動(dòng)的過渡過程,系統(tǒng)從開始受到激勵(lì)到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，有一個(gè)過程，稱為過渡過程。研究過度過程有實(shí)際意義，如機(jī)器的通過共振問題。為簡單起見，只說明無阻尼系統(tǒng)的過度過程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解為,上式右邊第一、二項(xiàng)是由初始條件引起的自由振動(dòng)，第三項(xiàng)是激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，第四項(xiàng)是激勵(lì)引起的自由振動(dòng)，這一項(xiàng)需要特別注意。振動(dòng)的時(shí)間歷程曲線如圖2.4。,(2.16),(2.15),.,.,在實(shí)際系統(tǒng)中，總有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二項(xiàng)會很快衰減，當(dāng)激勵(lì)頻率與固有頻率接近時(shí)，會出現(xiàn)一種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象，即拍振現(xiàn)象。解釋如下：令s=1+2e，上述條件下（2.16）式變?yōu)?因此，x可看成是振幅（X(t)）按慢頻率（慢節(jié)拍）周期變化（振幅不恒定、慢變）、位移按快頻率變化（位移快變）的周期振動(dòng)，時(shí)間歷程曲線如圖2.5。,(2.17),.,.,當(dāng)激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，即共振時(shí)，從（2.15）式看，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為,但再經(jīng)仔細(xì)研究，無窮大的振幅不是瞬間達(dá)到的，而是逐漸建立的。實(shí)際上，這時(shí)特解的假設(shè)模式應(yīng)改為如下形式,代入無阻尼受迫振動(dòng)方程,得,即,.,由此得無阻尼受迫振動(dòng)方程的特解為,(2.18),圖2.6,.,例2.1在圖示系統(tǒng)中,已知m,c,k1,k2,f0和w。求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,.,解：由Newton第二定律，得：,由(2)式解出x1代入（1）式，得到關(guān)于x得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程,設(shè)方程（3）右邊兩項(xiàng)對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)復(fù)數(shù)解分別為和,得：,.,其中：,所以,返回得實(shí)數(shù)解為,.,解：用Lagrange方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)程，取廣義坐標(biāo)q，本題為完整非定常系統(tǒng)。,.,由Lagrange方程有,即,由題設(shè)有,并認(rèn)為,.,穩(wěn)態(tài)解為：,而,方程（1）變?yōu)?（2）,所以,.,例2.3汽車拖車可簡化為圖所示的力學(xué)模型，其中m,c,k和l已知。拖車的質(zhì)量為m，以勻速v在不平的路面上行駛，路面形狀設(shè)由給出，x=vt，拖車對與汽車的連接點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輪質(zhì)量不計(jì)，yo遠(yuǎn)小于l因而認(rèn)為O點(diǎn)無垂直位移。求拖車振幅達(dá)到最大值時(shí)拖車的速度。,.,解：以O(shè)點(diǎn)為動(dòng)矩心，應(yīng)用相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)量矩定理得：,.,.,.,2.2幾個(gè)簡化的實(shí)際例子1.慣性測振儀,慣性測振儀如圖2.7所示。被測物體的振動(dòng)（基礎(chǔ)振動(dòng)）使測振儀中的彈簧質(zhì)量振子振動(dòng)，用記錄儀將振子的相對運(yùn)動(dòng)記錄下來，就可給出被測物體的振動(dòng)。振子相對位移x的振動(dòng)方程為,(2.20),(2.19),.,其中,圖2.8所示為放大率X/B、相角與頻率比的曲線。作為動(dòng)態(tài)測量儀器，一般要求放大率和相角（相位差）近似為常值。由圖可見，z0.7的幾條曲線在高頻率比區(qū)域基本上能滿足這一要求，實(shí)際上，此時(shí)式（2.21）在高頻率比區(qū)域近似為,(2.21),式（2.20）近似為,.,.,因此，按高頻率比設(shè)計(jì)的測振儀測出的是振動(dòng)位移。z0.7時(shí)，式（2.21）在低頻率比區(qū)域近似為,式（2.20）近似為,因此，按低頻率比設(shè)計(jì)的測振儀測出的是振動(dòng)加速度。鑒于上述原因，一般測振儀的阻尼比取值z0.7。,.,2.振動(dòng)的隔離,前面已經(jīng)看到，彈性、阻尼元件能改變振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，因此可以對系統(tǒng)附加彈性、阻尼元件來改變振動(dòng)的傳遞特性，即隔振。在振動(dòng)設(shè)備與地基之間采取隔振措施，使傳到地基的振動(dòng)力減小，稱為主動(dòng)隔振；反之，使振動(dòng)地基傳到設(shè)備的振動(dòng)減小，稱為被動(dòng)隔振。圖2.9為隔振模型。,（1）對主動(dòng)隔振，假設(shè)設(shè)備上產(chǎn)生簡諧振動(dòng)力為F(t)=F0eiwt，如果不隔振，振動(dòng)力1:1傳到地基，隔振后，系統(tǒng)的振動(dòng)方程為,幅頻特性為,圖2.9,.,傳到地基的力為,（2）對被動(dòng)隔振，假設(shè)地面的位移振動(dòng)為y(t)=Yeiwt，如果不隔振，振動(dòng)力1:1傳到設(shè)備，隔振后，系統(tǒng)的振動(dòng)方程為,.,可見，主、被動(dòng)隔振的隔振系數(shù)表達(dá)式是相同的，但前者是力的傳遞系數(shù)，后者是位移地傳遞系數(shù)。隔振系數(shù)的幅頻、相頻曲線如圖2.10。由圖可見，設(shè)計(jì)隔振系統(tǒng)時(shí)，要選取彈性元件使頻率比大于2.5或3，再按共振峰的削減要求選取阻尼元件。,.,頻率比s,.,3.轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速,圖2.11為簡化的柔軸偏心轉(zhuǎn)子。其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程為,(2.22),.,在小阻尼條件下，當(dāng)s=1時(shí)，系統(tǒng)共振、振幅達(dá)到最大。使系統(tǒng)達(dá)到共振的轉(zhuǎn)速稱為轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)s時(shí)，b1=1，q1=p，這時(shí)轉(zhuǎn)子的質(zhì)心與軸線上O點(diǎn)重合，這種現(xiàn)象稱為自動(dòng)定心現(xiàn)象。,因?yàn)槭街懈魇噶渴莤y平面內(nèi)的平面矢量，故可用復(fù)數(shù)代替,方程（2.22）變?yōu)閺?fù)微分方程,(2.23),與測振儀的方程形式完全相同，設(shè)特解為r=A1exp(wt-q1)，由（2.21）式，振幅放大因子和相角為,.,2.3任意周期激勵(lì)的響應(yīng),1.諧波分析法,當(dāng)激勵(lì)F(t)為周期函數(shù)時(shí)，可將其展成Fourier級數(shù)：,其中,Fn稱為F(t)的離散頻譜，F(xiàn)nnw的圖形稱為頻譜圖。,(2.24),.,對實(shí)周期函數(shù)F(t)，將其展成實(shí)Fourier級數(shù)往往更方便：,其中,實(shí)際上，以上所有積分中的積分區(qū)間只要任意取一個(gè)周期即可。另外，F(xiàn)(t)如果是偶函數(shù)，F(xiàn)(t)可展成余弦級數(shù)；F(t)如果是奇函數(shù)，F(xiàn)(t)可展成正弦級數(shù)。,(2.25),.,F(t)激勵(lì)下的線性系統(tǒng)的振動(dòng)方程可寫為,根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，方程（2.26)的解為,(2.26),其中,(2.27),以上將周期函數(shù)展成Fourier級數(shù)的分析方法稱為諧波分析法。,.,例2.4如圖所示的系統(tǒng)，在凸輪的作用下受到圖2.12b所示的鋸齒波紋形支承運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)。已知m,c,k1,k2,w和a，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,.,解：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為,.,.,2.4非線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng),1.諧波平衡法,設(shè)非線性系統(tǒng)受到任意周期激勵(lì)的激勵(lì)，動(dòng)力學(xué)方程為,(2.28),設(shè)F(t)是均值為零的偶函數(shù)，因此可展成余弦級數(shù),方程（2.28）寫成,(2.29),.,對于非線性系統(tǒng)，疊加原理不適用，因此對方程（2.29）只能根據(jù)具體情況，求其近似解析解（半解析解）或數(shù)值解。假定對方程（2.29）存在周期解或擬周期解（近似周期解），并設(shè)解的均值為零，那么可將解假設(shè)成Fourier級數(shù),（2.30）,期的周期函數(shù)，可展成Fourier級數(shù)，再令方程兩邊同階諧波的系數(shù)相等，可定出an和qn。非線性振動(dòng)方程的這種解法稱為諧波平衡法。一般只確定解的前一、二階諧波項(xiàng)。諧波平衡法是一種正交級數(shù)解法，式（2.30）也可以假設(shè)成其它正交級數(shù)，但一般不易找到合適的正交級數(shù)。諧波平衡法的缺點(diǎn)是事先不知道解的展式中要取多少項(xiàng)，對某些問題，項(xiàng)數(shù)取得不夠，精度會很差。,.,2.用諧波平衡法求解Duffing方程的受迫振動(dòng),簡諧激勵(lì)的欠阻尼Duffing方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為,方程右端為一個(gè)周期函數(shù)，方程的解應(yīng)使得左端的結(jié)果也應(yīng)該是一個(gè)相同的周期函數(shù)；考察左端的四項(xiàng)可知，如果將方程的解假設(shè)成一個(gè)與右端頻率相同的周期函數(shù)，那么方程的左端的結(jié)果為相同頻率的周期函數(shù)，但該周期函數(shù)的形狀與右端的一般不會相同。因此可以預(yù)計(jì)，將方程（2.31）的解假設(shè)成一個(gè)與右端頻率相同的周期偶函數(shù)，是一個(gè)正確的開端，接下來的任務(wù)是使方程兩邊的周期函數(shù)的形狀盡量接近相同。根據(jù)上述分析，用一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)、基頻為w的Fourier級數(shù)去逼近方程（2.31）的解是合適的，至少是值得一試的。我們?nèi)∫浑A諧波作為近似解，設(shè),(2.31),.,代入（2.31），得,(2.32),.,兩式平方和，得,代入C、D的表達(dá)式，得,令方程（2.31）兩邊一階諧波的系數(shù)相等，得,(2.34),.,由（2.34）解出幅頻特性方程為,相頻特性方程由（2.33）得,(2.35),(2.36),為了由（2.35）式畫出幅頻特性曲線，分析如下：（1）明確s、A0；（2）曲線,(2.37),稱為脊骨曲線，它將幅頻特性曲線分為左、右兩個(gè)分支：,.,（3）當(dāng)A的某個(gè)值使得（2.35）式中的根式為零時(shí)，s的兩個(gè)值相等，幅頻曲線的兩個(gè)分支在脊骨曲線上某點(diǎn)匯交，這時(shí)A達(dá)到邊界值A(chǔ)c，由下式確定,（2.38）,求解，得,.,因此，畫幅頻特性曲線的步驟如下：（1）畫出脊骨曲線；（2）由（2.39）式求出Ac，并在脊骨曲線上標(biāo)出Ac的位置；（3）從A=Ac值出發(fā)，在A值的變化范圍內(nèi)，由（2.38）式畫出幅頻曲線的兩個(gè)分支。幅頻特性曲線的示意圖如圖2.12。,(2.39),.,.,3.振幅跳躍現(xiàn)象,如圖2.13，當(dāng)激勵(lì)頻率從低到高緩慢變化時(shí)，振幅的值沿著分支1變化，一直到幅頻曲線的頂點(diǎn)，然后振幅突變，跳到分支2上繼續(xù)變化，整個(gè)路徑如綠色箭頭所指；當(dāng)激勵(lì)頻率從高到低緩慢變化時(shí)，整個(gè)路徑如橙色箭頭所指。因此，分支2上的CD段曲線是不能實(shí)現(xiàn)的。,如果將相頻特性曲線畫出，會發(fā)現(xiàn)相位的變化將與幅值同步跳躍。由于跳躍現(xiàn)象是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在某一參數(shù)臨界值上的突變，因此是一種動(dòng)態(tài)分岔現(xiàn)象。只有非線性系統(tǒng)才有這種現(xiàn)象。,.,例2.5（P53題2.13)用諧波平衡法確定單自由度非線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻曲線方程。,(2),(1),代人方程，得,.,.,（3）,.,.,例2.6當(dāng)e充分小時(shí)，為確定非線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)幅值為a的共振解，可用線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)等效代替諧波原非線性系統(tǒng)。這一方法稱為等效線性化法。分別用諧波平衡，能量平衡和誤差平方累計(jì)最小三種方法，證明,.,（1）,（2）,（3）,.,（4）,按能量平衡原則，令非線性力與線性力在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率相等，有,(5),.,即,.,例2.7單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為,其中f(x)分別由圖a、b和c給出。用諧波平衡法求振幅為A時(shí)自由振動(dòng)固有頻率的近似值。,.,解：圖a、b為圖c的兩種特殊情況，因此，我們對圖c的一般情況進(jìn)行求解。設(shè)系統(tǒng)的一階近似解為,(1),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得,(2),顯然，f為f的偶函數(shù)，同時(shí)由f(x)的特征，得,因此，f為f的以2p為周期、零均值的周期偶函數(shù)，由此可將f展成f的余弦級數(shù)。設(shè),(3),.,其中,由式（1），得,將此代入式（4）并利用（1）式作變量代換，得,(5),(4),.,下面計(jì)算（4）式中的兩個(gè)積分：,.,.,將I1、I2代入（4）式，得,(6),將（6）式代入（3）式、再代入（2）式，令各界諧波動(dòng)系數(shù)等于零，得,注：在上述結(jié)果中，令k1=k、k2=0，即得對應(yīng)于圖a的結(jié)果；令k1=0、k2=k，即得對應(yīng)于圖b的結(jié)果。,.,2.5線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),Duhamel積分法,線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)。本節(jié)介紹兩種求瞬態(tài)響應(yīng)的方法。,如圖2.14，任意激勵(lì)可以分割成一系列作用時(shí)間為dt的矩形激勵(lì)的連續(xù)作用，如果激勵(lì)為力，那么每個(gè)矩形激勵(lì)就是一個(gè)沖量，對于其它類型的激勵(lì)，統(tǒng)稱為脈沖。理論上脈沖的作用時(shí)間趨近于零，因此任意激勵(lì)可以認(rèn)為是無窮多個(gè)脈沖的連續(xù)作用。因?yàn)榫€性系統(tǒng)的響應(yīng)可以用疊加原理，因此各個(gè)脈沖的響應(yīng)疊加起來，就得到系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。為此先求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。,(2.40),式中d(t)為單位脈沖函數(shù)，也稱Dirac-d函數(shù)。在數(shù)學(xué)上這是一個(gè)廣義函數(shù)，其定義為,.,其函數(shù)形狀如圖2.15，根據(jù)定義，d函數(shù)有如下基本性質(zhì),第二個(gè)性質(zhì)稱為選擇特性。從力學(xué)意義上講，單位脈沖就是t=0時(shí)刻，在無窮小時(shí)間內(nèi)作用一個(gè)無窮大的力，總的作用效果為一個(gè)單位沖量。設(shè)系統(tǒng)原來處于靜止，在脈沖作用的瞬間，系統(tǒng)的加速度為無窮大，但由于脈沖的幅值與作用時(shí)間乘積的極限值為有限值，因此加速度與脈沖作用時(shí)間乘積（即系統(tǒng)的,(2.41),(2.42),.,速度）的極限值也必須為有限值，即在脈沖作用完的瞬間，系統(tǒng)的速度為有限值，進(jìn)而系統(tǒng)的位移為零，即脈沖作用前后兩個(gè)瞬間系統(tǒng)的位置不變。,根據(jù)以上分析，可以來求解方程（2.40）。設(shè)系統(tǒng)原來處于靜止，我們計(jì)算脈沖作用完成的瞬間，系統(tǒng)的狀態(tài)。方程兩邊同乘dt，再在區(qū)間（-e，e）上對t積分并取極限，得,因此，脈沖作用完成的瞬間，系統(tǒng)狀態(tài)為,(2.43),.,以此作為初始條件，系統(tǒng)將作自由振動(dòng)，也就是脈沖作用后系統(tǒng)的響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)，記為h(t),當(dāng)脈沖作用時(shí)刻為t=t，即d(t-t)，則系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為,當(dāng)方程（2.40）右端為任意時(shí)變函數(shù)F(t)時(shí)，即,(2.46),F(t)可寫成,(2.44),(2.45),.,應(yīng)用式（2.45）和疊加原理，方程（2.46）的解為,(2.47),方程（2.47）中的積分稱為Duhamel積分。,2.Fourier變換法,(2.46),重寫方程（2.46）如下：,方程的求解思想是借用Fourier級數(shù)展開的方法，將任意激勵(lì)函數(shù)F(t)展成諧波函數(shù)之和，再應(yīng)用疊加原理。因此將函數(shù)F(t)看成周期T為無窮大的周期函數(shù)，于是其頻率為Dw=2p/T0。復(fù)域上的Fourier級數(shù)為,.,其中,當(dāng)T、Dw=2p/T0時(shí)，nDw將在頻率軸w上連續(xù)排列，即nDw=w。于是式（2.50）的右端變成,(2.48),(2.49),(2.49)式可寫成,(2.50)