《物理光學(xué)》第二章 光波的疊加和分析

.,光波的疊加和分析,第二章,.,前言1波的獨立傳播和疊加原理2兩束同頻振動方向平行的標量波的疊加3兩束同頻振動方向垂直的標量波的疊加4不同頻率的兩個平面單色波的疊加5光波的分析,.,前言,首先講述作為矢量波的光波，在某些情況下可看作標量波；光波在空間傳播時在一些特定條件下滿足獨立傳播原理進而介紹關(guān)于光的疊加原理。在此基礎(chǔ)上，作為特殊情況，講解兩束光波在不同情況下的疊加結(jié)果：規(guī)律、概念及應(yīng)用。,.,第一節(jié)波的獨立傳播和疊加原理,一、標量波和矢量波,光波是橫波，選擇傳播方向為直角坐標系的z方向，則矢量就變成了二維矢量，可將之分解為x，y方向的分量,描述光波的物理量和是矢量,光波本質(zhì)上是矢量波,若光波傳播的媒質(zhì)對這兩個方向上的分量有相同的性質(zhì)，則這兩個分量有相同的傳播規(guī)律，于是任一個分量的波函數(shù)就可代表其對應(yīng)的矢量波，則矢量波的處理變?yōu)闃肆坎ㄌ幚怼?.,波的獨立傳播原理：當兩列波或多列波在同一波場中傳播時，每一列波的傳播方式都不因其他波的存在而受到影響,注意：波的疊加原理和獨立性原理成立于線性介質(zhì)中,二、波的獨立傳播原理,.,三、光波的疊加原理和線性媒質(zhì),當存在兩個或多個光波同時傳播時，如果光波的獨立傳播原理成立，則它們疊加的空間區(qū)域內(nèi)，每一點的擾動將等于各個光波單獨存在時該點的擾動之和。這就是光波的疊加原理，即,.,真空中，光波疊加原理普遍成立媒質(zhì)中，光波電磁場與媒質(zhì)內(nèi)部物質(zhì)的相互作用滿足線性條件時，光波疊加原理成立。當光強很強時，光與介質(zhì)相互作用產(chǎn)生了非線性光學(xué)效應(yīng)，光的疊加原理不再成立,光波疊加原理的成立也是有條件的,媒質(zhì)分為線性媒質(zhì)和非線性媒質(zhì)線性媒質(zhì)：波在其中傳播時服從疊加原理和獨立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時不服從疊加原理和獨立傳播原理的媒質(zhì),.,一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個簡諧平面波，其時間頻率為，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：,第二節(jié)兩束同頻振動方向平行的標量波的疊加,本節(jié)討論兩個頻率相同、振動方向平行的光波的疊加，顯然這兩個光波可視作標量波，于是問題就是兩個標量波疊加的問題,.,這兩個光波疊加后的合成波可以表示為：,（2.2.1）,.,由以上分析得到合成波的表達式為：表明：合成波還是一個與分量波時間頻率相同，傳播方向相同，其它空間、時間參量以及位相速度都沒有變化的簡諧平面波，只是有了新的振幅和初位相，而且合成波的振幅和位相均取決于分量波的振幅和初始位相。,當E10=E20時，由（2.2.3）有,可見，此時合成波的振幅取決于兩個分量波的位相差,.,當E10=E20時，由（2.2.4）得：,可見，合成波的初位相等于兩個分量波初位相的平均值,當E10=E20時，總的合成波函數(shù)為,所以，當E10=E20且10=20時，合成波與分量波振動狀態(tài)相同，只是振幅增大一倍而在10-20=情況下，可知合成振幅為零。,.,物理光學(xué),26.04.2020,.,兩列波在空間相遇的情況,.,波的獨立傳播原理：,幾列波在相遇點所引起的擾動是各列波在該點所引起的擾動的疊加（矢量的線性疊加，矢量和）,當兩個或多個光波在空間相遇時，如果振動不是十分強，各列波將保持各自的特性不變，繼續(xù)傳播。相互之間沒有影響。,波的疊加原理,.,成立條件,1)、傳播介質(zhì)為線性介質(zhì)；2)、振動不是十分強，在振動很強的時候，線性介質(zhì)會變?yōu)榉蔷€性介質(zhì)；,線性媒質(zhì)：波在其中傳播時服從疊加原理和獨立傳播原理的媒質(zhì)非線性媒質(zhì)：波在其中傳播時不服從疊加原理和獨立傳播原理的媒質(zhì),.,一、同向傳播的平面波的疊加假設(shè)有兩個簡諧平面波，其時間頻率為相同，振幅分別為E10和E20，初始位相分別為和，振動方向平行，傳播方向沿著z軸，它們被表示為：,上式中：,其中：,.,二、反向傳播的平面波的疊加駐波及其實驗,(1)、駐波波函數(shù)假設(shè)兩個簡諧平面標量波的時間頻率為，振幅分別E10和E20，初始位相為和，一列波沿著z軸正向傳播另一列沿z軸負向傳播，假定E10=E20=E0，即有：,合成波各點都按照圓頻率做簡諧振動，但是此合成波有其固有的特點,疊加后的合成波可以表示為：,.,表示：(1)對某一Z點，E隨時間以頻率作簡諧振動，某一時刻，振幅隨Z不同而變（振幅不是常數(shù)）;,(2)稱振幅最大值和最小值的位置為波腹、波節(jié)的位置，它們不隨時間而變;波腹位置：(m為整數(shù))波節(jié)位置：(m為整數(shù)),(3)相鄰波腹（或波節(jié)）之間距為/2，相鄰波腹與波節(jié)間距為/4;,(4)合成波的位相因子與空間坐標位置z無關(guān)。,.,(6)因的取值可正可負，所以在每一波節(jié)兩邊的點，其振動是反相的,(5)駐波的位相因子與z無關(guān)，不存在位相的傳播問題，故把這種波稱為駐波，反之稱為行波。,駐波：由于節(jié)點靜止不動，所以波形沒有傳播。能量以動能和勢能的形式交換儲存，亦傳播不出去。,駐波,.,當兩個分量波的振幅不相等時，例如，E10=E20+E，則有,合成波是一個駐波和行波之和，因此合成波在波節(jié)處振幅不再為零，波節(jié)處的振動完全是由行波引起的，其它考察點的振幅則由行波和駐波共同引起的，并且由于行波的存在，將會有能量的傳播。,.,(2)、駐波實驗,實驗裝置如右圖所示。M是鍍銀的平面反射鏡，I是正入射到鏡面上的單色簡諧平面波，經(jīng)反射后得到反射波R。G是一塊極薄的感光乳膠底片，它與鏡面間有一微小夾角。I和R形成駐波，G位于這個駐波場中，經(jīng)感光和顯影，在G上呈現(xiàn)亮暗相間的條紋，相鄰亮條紋(或暗條紋)之間的距離按圖示的幾何關(guān)系與/2相對應(yīng),維納實驗,.,底片G上感光的位置應(yīng)該是駐波波腹的位置。,三、任意方向傳播的平面波的疊加,上面兩部分只考慮了兩束光波的傳播方向在一條直線上的情況，分量波與合成波的空間分布比較簡單，只和空間變量z有關(guān)?，F(xiàn)在考慮兩個時間頻率相同、振動方向平行的簡諧平面光波不共線傳播相遇疊加的情況。,維納實驗證明：1、駐波的存在,維納實驗發(fā)現(xiàn)，緊貼鏡面處的底片沒有感光，而感光條紋的位置都與電場波腹位置相一致。,維納實驗證明：2、乳膠感光的是光的電場而不是磁場,.,設(shè)兩個分量波的頻率都為，振幅分別為E10和E20，初始位相為和，波矢分別為k1和k2，則它們的波函數(shù)可以表示成如下：,對于疊加區(qū)域，如圖所示選取坐標系Oxyz，y軸方向垂直于紙面向外。假設(shè)振動方向沿著y方向，分量波的波矢k1和k2均平行于xz平面，注意，這時所有的函數(shù)都與y坐標無關(guān)。,.,疊加后的合成波可以表示為：E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)其中：E0=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i)而且有：,.,其中：,合成波與前面所討論到的合成波都不一樣：1、振幅分布上有駐波的特點；2、位相上有行波的特點；3、其時間頻率仍然是不變,考慮當E10=E20時的特殊情況，有,.,第三節(jié)兩束同頻振動方向垂直的標量波的疊加,假定兩束光沿著z軸方向傳播，而其振動方向分別與x、y軸方向相同，設(shè)這兩束光波的波函數(shù)如下：,其中的、是直角坐標系Oxyz中x、y方向上的單位矢量。兩束光波疊加，合成波函數(shù)為：,（2.3.1）,（2.3.2）,.,顯然合成波在xy平面內(nèi)，其方向垂直于傳播方向z軸，但是一般而言它不再與x或y軸同向。如右圖所示，E與x軸的夾角滿足：,合成波與分量波矢量,顯然是z和t的函數(shù)，E的方向一般是不固定的，將隨著z和t而變化，利用(2.3.1)和(2.3.2)，消去(kz-t)，得：,其中,（2.3.3）,.,右圖中畫出了kz-t為某一確定值時的E以及它與x軸的夾角，這個橢圓既可以理解為1、位置z確定時E的端點隨著時間t的變化軌跡；2、時間t確定時E的端點隨著位置z的變化軌跡在x-y平面上的投影，后者實際上是一條空間螺旋線,由式（2.3.3）可知，隨著z或t的變化，合成波矢量的端點在x-y平面(或者垂直于z軸的平面)上形成一個橢圓形軌跡。于是稱振動方向互相垂直的同頻同向傳播的兩個線偏振光疊加后的合成光波為橢圓偏振光波，簡稱橢圓光。,端點的橢圓軌跡,.,當z固定時，隨著t的增大端點如果是順時針方向旋轉(zhuǎn)，則規(guī)定該橢圓偏振光是右旋橢圓偏振光反之則稱為左旋橢圓偏振光。根據(jù)該規(guī)定,角隨時間的變化時橢圓偏振光為左旋，如果則橢圓偏振光為右旋，求d(tg)/dt得：,E的方向在x-y平面上是旋轉(zhuǎn)的針對E的旋向,.,分析：sin0時，對應(yīng)的橢圓偏振光為左旋橢圓偏振光sin2/則有，,.,二、拍頻現(xiàn)象的應(yīng)用(一)、激光器率穩(wěn)定性的檢測和控制,兩個激光器L1和L2發(fā)出的兩束激光通過分束器BS合成一束，互相疊加，產(chǎn)生拍頻信號。假設(shè)由L1發(fā)出的激光頻率已知并很穩(wěn)定，那么這個裝置可以用來測定L2激光束的頻率，判斷其穩(wěn)定程度；還可以利用拍頻作為誤差信號，用來控制激光器L2的某個參數(shù)，使得L2光的頻率得到穩(wěn)定。,.,(二)、光學(xué)外差干涉法,光學(xué)外差干涉法思想：被測信息由角頻率為1的光波攜帶，該光波和角頻率為2(與1相近)的光波(稱為參考光波)疊加后，得到頻率為的光強信號。這時，被測信息便轉(zhuǎn)移到該信號的位相中。,光學(xué)外差技術(shù)使我們既能發(fā)揮高頻波的優(yōu)勢(例如采集被測量的精度)，又可利用對低頻波的檢測技術(shù)。,.,三、群速度,由兩個不同時間頻率的簡諧平面光波疊加而成拍頻波是一種復(fù)雜波，所以一般意義上的速度概念不再適用于拍頻。合成波應(yīng)包含等相面?zhèn)鞑ニ俣群偷确鎮(zhèn)鞑ニ俣葍刹糠?。群速度是指合成波振幅恒定點的移動速度，即振幅調(diào)制包絡(luò)的移動速度。群速度是波包的能量傳播速度，也是波包所表達信號的傳播速度。,單色光波的傳播速度指它的等相面的傳播速度，即相速度(單一頻率的波的傳播速度),.,相速度，由相位不變條件,我們可以分別求得載波位相速度和調(diào)制波位相速度g：,通常把稱為拍頻波的位相速度，把稱為拍頻波的群速度,對于拍頻波有,.,群速度是指某個光強值在空間的傳播速度，因此它表示拍頻波能量的傳播速度。,當很小時，群速度得表達式可以寫成,如果能測出調(diào)制波的波長和，便可以得到,.,現(xiàn)在，對于合成前的兩簡諧平面光波的位相速度、波長和波矢的大小，分別用1、2、1、2、k1、k2來表示，則群速度表達式可以寫成：,顯然上式中的和分別表示原光波的速度差和波長差；而反映了媒質(zhì)色散的性質(zhì)和大小。,相應(yīng)地相速度表達式可以寫成：,.,越大，波的相速度隨波長的變化越大時，群速度與相速度相差越大,即波長較大的單色光波比波長較短的單色光波傳播速度大時（正常色散），群速度小于相速度,即反常色散，群速度大于相速度,.,物理光學(xué),26.04.2020,第二章光波的疊加與分析,.,兩個簡諧平面波,1、相同，振動方向平行，傳播方向沿著z軸同向，振幅和初始位相不同：,2、相同，振動方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅相同，初始位相不同：,.,3、相同，振動方向平行，傳播方向沿著z軸反向，振幅不相同，初始位相不同：,E(x,z,t)=E1(x,z,t)+E2(x,z,t)=E0exp(-it)E0=E10expi(k1xx+k1zz+)+E20expi(k2xx+k2zz+)=|E0|exp(i),4、相同，振動方向平行，傳播方向成一定夾角，振幅不相同，初始位相不同：,.,5、不同，傳播方向沿著z軸，振幅相同，初始位相不同：,相同的光波疊加仍然是單色光波,不同的光波疊加則不再是單色光波,結(jié)論：,.,頻率為2k,頻率為k,不同頻率光波的疊加,合成波,不同頻率光波的疊加形成復(fù)雜光波復(fù)雜光波能不能分解成單色光波的組合？,.,第五節(jié)光波的分析,實際中存在的光波都是復(fù)雜的，如何將復(fù)雜波分解成簡單平面波的疊加就是光波分析的任務(wù)。本節(jié)首先講述具有周期性復(fù)雜光波的分析，進而討論波群的分解問題，最后討論光波分析的普遍理論和方法步驟。,周期性不等于簡諧性,.,傅立葉級數(shù)定理：具有空間周期的函數(shù)f(z)可以表示成為一些空間周期為的整分數(shù)倍(即、/2、/3等)的簡諧函數(shù)之和。,或者寫成,其中a0、a1、a2等為常數(shù)，而為空間角頻率。,如果令A(yù)0=2a0、An=ancosn、Bn=ansinn，則上兩式變?yōu)椋?周期性光波的分析可以應(yīng)用數(shù)學(xué)上的傅立葉級數(shù)定理。,其數(shù)學(xué)形式為：,.,可以看到，復(fù)雜周期性光波f(z)是一系列的簡諧平面波的組合，這些平面波的空間角頻率分別為0、k、2k、nk、而A0、An、Bn則是這些平面波的振幅，所以說對f(z)可以進行傅立葉分析。,A0、An、Bn稱為函數(shù)f(z)的傅立葉系數(shù)。,.,A0、An、Bn和f(z)的關(guān)系分別為：,以空間角頻率k沿z方向傳播的周期性復(fù)雜波f(z)，可以分解為許多振幅不同且空間角頻率分別為k,2k,3k的單色波的疊加：,An、Bn是某一空間角頻率的單色光波的振幅。,.,如果以橫坐標表示空間角頻率，縱坐標表示振幅，在對應(yīng)于振幅不為零的頻率位置引垂直線，使其長度等于相應(yīng)頻率的振幅值(當然，以一定的標度為單位)，這樣所繪制的曲線稱為頻譜圖，如果橫坐標表示空間角頻率，則為空間頻譜圖。,周期性復(fù)雜波的傅立葉分析結(jié)果可以用空間頻譜圖,光譜儀器可以看作是一種傅立葉分析器，對入射光做一個傅立葉分析，入射光所包含的不同頻率的分波就被顯示為一系列的光譜線。,.,例題3用傅里葉級數(shù)分析如圖所示的空間周期為的周期性矩形光波，并畫出頻譜。,解：這個矩形波的波函數(shù)為：,.,.,.,矩形周期波的分析與合成,疊加分波數(shù)目越多，越接近于原矩形波。,.,二、波群的分析(非周期性波的分析)波群：其振動只是在一定范圍內(nèi)存在，在此范圍之外即變?yōu)榱?。所以這類波不是無限次地重復(fù)它的振動波形，因而不具有周期性。實際中的原子所發(fā)射的光波即如此。,波列,原子發(fā)光可看作是一段段有限長的波列的相繼發(fā)射，所以實際普通光源發(fā)出的光波不是理想單色波。對于這類波群的分析就不能利用剛剛講過的傅立葉級數(shù)，而必須利用傅立葉積分。,.,在數(shù)學(xué)上，傅立葉積分定理：一個非周期函數(shù)f(z)(可看成空間周期趨于)，在（-，+)滿足狄里赫利條件，且絕對可積，可以用傅里葉積分表示為：,來表示，其中：,A(k)稱為函數(shù)f(z)的傅立葉變換，f(z)稱為A(k)函數(shù)的傅立葉逆變換。,.,若波群由非周期函數(shù)f(z)來表征，可以對它進行傅立葉分析，分析的結(jié)果，這類波包含無限多個振幅不同的簡諧分波，兩個所謂相鄰的分波的頻率相差無窮小，如果以頻譜圖解來表示，則將是一條振幅空間角頻率的連續(xù)曲