數(shù)學(xué)常用巧算速算法

.校本課程 數(shù)學(xué)計(jì)算方法目 錄第一講 生活中幾十乘以幾十巧算方法1第二講 常用巧算速算中的思維與方法（1）3第三講 常用巧算速算中的思維與方法（2）5第四講 常用巧算速算中的思維與方法（3）8第五講 常用巧算速算中的思維與方法（4）10第六講 常用巧算速算中的思維與方法（5）14第七講 常用巧算速算中的思維與方法（6）16第八講 小數(shù)的速算與巧算1湊整18第九講 乘法速算119第十講 乘法速算220第十一講 乘法速算322第十二講 乘法速算423第十三講 乘法速算523第十四講 乘法速算625第十五講 乘法速算727第十六講 乘法速算829注：速算技巧33校本課程 數(shù)學(xué)計(jì)算方法第一講 生活中幾十乘以幾十巧算方法1.十幾乘十幾：口訣：頭乘頭，尾加尾，尾乘尾。例：1214=？解: 11=1 1214=168注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用0占位。.頭相同，尾互補(bǔ)(尾相加等于10)：口訣：一個(gè)頭加后，頭乘頭，尾乘尾。例：2327=？解：212327=621注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用0占位。.第一個(gè)乘數(shù)互補(bǔ)，另一個(gè)乘數(shù)數(shù)字相同：口訣：一個(gè)頭加后，頭乘頭，尾乘尾。例：3744=？解：3+1=444=1674=283744=1628注：個(gè)位相乘，不夠兩位數(shù)要用0占位。.幾十一乘幾十一：口訣：頭乘頭，頭加頭，尾乘尾。例：2141=？解：24=82+4=611=12141=861.11乘任意數(shù)：口訣：首尾不動(dòng)下落，中間之和下拉。例：1123125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分別在首尾1123125=254375注：和滿(mǎn)十要進(jìn)一。.十幾乘任意數(shù)：口訣：第二乘數(shù)首位不動(dòng)向下落，第一因數(shù)的個(gè)位乘以第二因數(shù)后面每一個(gè)數(shù)字，加下一位數(shù)，再向下落。例：13326=？解：13個(gè)位是333+2=1132+6=1236=1813326=4238注：和滿(mǎn)十要進(jìn)一。第二講 常用巧算速算中的思維與方法（1）【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó)）小時(shí)候就做過(guò)的“百數(shù)求和”題，可以計(jì)算為1+2+99+100所以，123499100=1011002=5050 “3+5+7+97+99=？3+5797+99=（993）492= 2499。這種算法的思路，見(jiàn)于書(shū)籍中最早的是我國(guó)古代的張丘建算經(jīng)。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問(wèn)織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布，最后一天織了1 尺，一共織了30 天。問(wèn)她一共織了多少布？張丘建在算經(jīng)上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞?。這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹1 丈。張丘建這一解法的思路，據(jù)推測(cè)為：如果把這婦女從第一天直到第30 天所織的布都加起來(lái)，算式就是：51在這一算式中，每一個(gè)往后加的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè)相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過(guò)來(lái)，則算式便是 ：1+5此時(shí)，每一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是630=180（尺）但這婦女用30 天織的布沒(méi)有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，這婦女30 天織的布是1802=90（尺）可見(jiàn)，這種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的。第三講 常用巧算速算中的思維與方法（2）方法一：分組計(jì)算一些看似很難計(jì)算的題目，采用“分組計(jì)算”的方法，往往可以使它很快地解答出來(lái)。例如：求1 到10 億這10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10 億個(gè)自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1 到12 這12 個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是12345+6+78+9+10+1+1+1+12=5l。顯然，10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10 億個(gè)自然數(shù)的前面添上一個(gè)“0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們分組：0 和999，999，999；1 和999，999，998；2 和999，999，997；3 和999，999，996；4 和999，999，995；5 和999，999， 994； 依次類(lèi)推，可知除最后一個(gè)數(shù)，1，000，000，000 以外，其他的自然數(shù)與添上的0 共10 億個(gè)數(shù)，共可以分為5 億組，各組數(shù)字之和都是81，如0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+98=81最后的一個(gè)數(shù)1，000，000，000 不成對(duì)，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計(jì)算結(jié)果是（81500，000，000）1=40，500，000，0001=40，500，000，001方法二：由小推大計(jì)算復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀(guān)察“55”的方陣，如下圖（圖4.1）所示。容易看到，對(duì)角線(xiàn)上五個(gè)“5”之和為25。這時(shí)，如果將對(duì)角線(xiàn)下面的部分（右下部分）用剪刀剪開(kāi)，如圖4.2 那樣拼接，那么將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這五個(gè)斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“55”方陣的所有數(shù)之和為255=125，即53=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“100100”的方陣所有數(shù)之和為1003=1，000，000。（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3 那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右的順序，其他叫第二、第三第五列。那么2002 出現(xiàn)在哪一列：因?yàn)閺? 到2002，共有偶數(shù)20022=1001（個(gè)）。從前到后，是每8 個(gè)偶數(shù)為一組，每組都是前四個(gè)偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個(gè)偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由10018=1251，可知這1001 個(gè)偶數(shù)可以分為125 組，還余1 個(gè)。故2002 應(yīng)排在第二列。方法三：湊整巧算用“湊整方法”巧算，常常能使計(jì)算變得比較簡(jiǎn)便、快速。例如（1）99.9+11.1=（9010）+（9+1）（0.9+0.1）=111（2）9979986=（9+1）（973）（9982）=101001000=1110（3）125125125125120125125125=155125125125（120+5）125125+125-5=1258-5=1000-5=995第四講 常用巧算速算中的思維與方法（3）方法一：巧妙試商除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用一些巧妙試商方法，提高計(jì)算速度。（1）用“商五法”試商。當(dāng)除數(shù)（兩位數(shù)）的10 倍的一半，與被除數(shù)相等（或相近）時(shí)，可以直接試商“5”。如7014=5，12525=5。當(dāng)除數(shù)一次不能除盡被除數(shù)的時(shí)候，有些可以用“無(wú)除半商五”?！盁o(wú)除”指被除數(shù)前兩位不夠除，“半商五”指若被除數(shù)的前兩位恰好等于（或接近）除數(shù)的一半時(shí)，則可直接商“ 5”。例如124824=52，238545=53（2）同頭無(wú)除商八、九。“同頭”指被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同?！盁o(wú)除”仍指被除數(shù)前兩位不夠除。這時(shí)，商定在被除數(shù)高位數(shù)起的第三位上面，再直接商8 或商9。574258=99，417648=87。（3）用“商九法”試商。當(dāng)被除數(shù)的前兩位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)小于除數(shù)，且前三位數(shù)字臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)之和，大于或等于除數(shù)的10 倍時(shí)，可以一次定商為“9”。一般地說(shuō)，假如被除數(shù)為m，除數(shù)為n，只有當(dāng)9nm10n 時(shí)，n 除m 的商才是9。同樣地，10nmn11n。這就是我們上述做法的根據(jù)。例如450849=92，648072=90。（4）用差數(shù)試商。當(dāng)除數(shù)是11、12、1318 和19，被除數(shù)前兩位又不夠除的時(shí)候，可以用“差數(shù)試商法”，即根據(jù)被除數(shù)前兩位臨時(shí)組成的數(shù)與除數(shù)的差來(lái)試商的方法。若差數(shù)是1 或2，則初商為9；差數(shù)是3 或4，則初商為8；差數(shù)是5 或6，則初商為7；差數(shù)是7 或8，則初商是6；差數(shù)是9 時(shí)，則初商為5。若不準(zhǔn)確，只要調(diào)小1 就行了。例如147618=82（18 與14 差4，初商為8，經(jīng)試除，商8正確）；127817=75（17 與12 的差為5，初商為7，經(jīng)試除，商7 正確）。為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣：差一差二商個(gè)九，差三差四八當(dāng)頭；差五差六初商七，差七差八先商六；差數(shù)是九五上陣，試商快速無(wú)憂(yōu)愁。方法二：恒等變形恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。它利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，去進(jìn)行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解答。例如（1）183268=（1832-32）（68+32）=1800100=1900（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）=359.8-10=349.8第五講 常用巧算速算中的思維與方法（4）方法一：拆數(shù)加減在分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中，把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化，并抵消其中的一些分?jǐn)?shù)，往往可大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算。（1） 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減。例如又如（2） 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加。例如又如方法二：同分子分?jǐn)?shù)加減同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計(jì)算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減）時(shí)，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計(jì)算，只是最后需要注意把得數(shù)約簡(jiǎn)為既約（最簡(jiǎn)）分?jǐn)?shù)。例如（注意：分?jǐn)?shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。）由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積，根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。例如方法三：先借后還“先借后還”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢(shì)必影響解題速度?，F(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來(lái)了。第六講 常用巧算速算中的思維與方法（5）方法一：個(gè)數(shù)折半下面的幾種情況下，可以運(yùn)用“個(gè)數(shù)折半”的方法，巧妙地計(jì)算出題目的得數(shù)。（1）分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加。求分母相同的所有真分?jǐn)?shù)的和，可采用“個(gè)數(shù)折半法”，即用這些分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)除以2，就能得出結(jié)果。這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子除以2，就能得出結(jié)果。（2）分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真分?jǐn)?shù)相加，也可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方（3）分母相同的所有既約真分?jǐn)?shù)（最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)）相加，同樣可用“個(gè)數(shù)折半法”求得數(shù)。比方方法二：帶分?jǐn)?shù)減法帶分?jǐn)?shù)減法的巧算，可用下面的兩個(gè)方法。（1）減數(shù)湊整。例如（2）交換位置。例如在這兩種方法中，第（1）種“湊整”法，也可以運(yùn)用到帶分?jǐn)?shù)的加法中去。例如第七講 常用巧算速算中的思維與方法（6）方法一：帶分?jǐn)?shù)乘法有些特殊的帶分?jǐn)?shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。（1）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相同，分?jǐn)?shù)部分的和是1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它的整數(shù)部分是一個(gè)因數(shù)的整數(shù)部分乘以比它大1 的數(shù)，分?jǐn)?shù)部分是兩個(gè)因數(shù)的分?jǐn)?shù)部分的乘積。例如（2）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相差1，分?jǐn)?shù)部分和為1，則積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)，它用較大數(shù)的整數(shù)部分的平方，減去分?jǐn)?shù)部分的平方，所得的差就是這兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)的乘積。例如（注：這是根據(jù)“（ab）（a-b）=a2-b2”推出來(lái)的。）（3）相乘的兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是1，分子也都是1，分母相差1，則乘積也是個(gè)帶分?jǐn)?shù)。這個(gè)帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是1，分子是2，分母與較大因數(shù)的分母相同。例如讀者自己去試一試，此處略）。方法二：兩分?jǐn)?shù)相除有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（1）分子、分母分別相除。在個(gè)別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過(guò)，這只有在被除數(shù)的分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計(jì)算才比較簡(jiǎn)便。例如（2）分母相除，一次得商。在兩個(gè)帶分?jǐn)?shù)相除的算式中，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的整數(shù)與分母調(diào)換了位置，而它們的分子又相同時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法法則，只要用原除數(shù)的分母除以被除數(shù)的分母，所得的數(shù)就是它們的商。例如（注：用除法法則可以推出這種方法，此處略。）第八講 小數(shù)的速算與巧算【知識(shí)精要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運(yùn)用的主要方法。用的時(shí)候主要看末位。但是小數(shù)計(jì)算中“小數(shù)點(diǎn)”一定要對(duì)齊?！纠}精講】湊整法例1、 計(jì)算5.6+2.38+4.4+0.62?！痉治觥?.6 與4.4 剛好湊成10，2.38 與0.62 剛好湊成3，這樣先湊整運(yùn)算起來(lái)會(huì)更加簡(jiǎn)便?！窘獯稹吭?（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評(píng)注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。例2、計(jì)算：1.999+19.99+199.9+1999。【分析】因?yàn)樾?shù)計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。剛好1999 接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)看做與它接近的容易計(jì)算的整數(shù)。再把多加的那部分減去。【解答】 1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【評(píng)注】所謂的湊整，就是兩個(gè)或三個(gè)數(shù)結(jié)合相加，剛好湊成整十整百，我們也可以引申為讀整法，譬如此題?！?.999”剛好與“2”相差0.001，因此我們就可以先把它讀成“2”來(lái)進(jìn)行計(jì)算。但是，一定要記住剛才“多加的”要“減掉”?！岸鄿p的”要“加上”！第九講 乘法速算1一前數(shù)相同的：1.1.十位是1,個(gè)位互補(bǔ),即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)10+AB方法：百位為二，個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一。例：131713 + 7 = 2- - （ “-”在不熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了）3 7 = 21-221即1317= 2211.2.十位是1,個(gè)位不互補(bǔ),即A=C=1, B+D10,S=(10+B+D)10+AB方法：乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，兩數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一。例：151715 + 7 = 22- （ “-”在不熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了）5 7 = 35-255即1517 = 2551.3.十位相同,個(gè)位互補(bǔ),即A=C,B+D=10,S=A(A+1)10+AB方法:十位數(shù)加1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積，個(gè)位數(shù)相乘，得數(shù)為后積例：56 54(5 + 1) 5 = 30- -6 4 = 24-30241.4.十位相同,個(gè)位不互補(bǔ),即A=C,B+D10,S=A(A+1)10+AB方法:先頭加一再乘頭兩，得數(shù)為前積，尾乘尾，的數(shù)為后積，乘數(shù)相加，看比十大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)乘數(shù)的頭乘十，反之亦然例：67 64（6+1）6=4274=287+4=1111-10=14228+60=4288-4288方法2：兩首位相乘（即求首位的平方），得數(shù)作為前積，兩尾數(shù)的和與首位相乘，得數(shù)作為中積，滿(mǎn)十進(jìn)一，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積。例：67 646 6 = 36- -（4 + 7）6 = 66 -4 7 = 28-4288第十講 乘法速算2二、后數(shù)相同的：2.1. 個(gè)位是1，十位互補(bǔ) 即 B=D=1, A+C=10 S=10A10C+101方法：十位與十位相乘，得數(shù)為前積，加上101.。- -8 2 = 16- -101-17012.2. 個(gè)位是1，十位不互補(bǔ) 即 B=D=1, A+C10 S=10A10C+10C+10A +1方法：十位數(shù)乘積，加上十位數(shù)之和為前積，個(gè)位為1.。例：71 9170 90 = 63 - -70 + 90 = 16 -1-64612.3個(gè)位是5，十位互補(bǔ) 即 B=D=5, A+C=10 S=10A10C+25方法：十位數(shù)乘積，加上十位數(shù)之和為前積，加上25。例：35 753 7+ 5 = 26- -25-26252.4個(gè)位是5，十位不互補(bǔ) 即 B=D=5, A+C10 S=10A10C+525方法：兩首位相乘（即求首位的平方），得數(shù)作為前積，兩十位數(shù)的和與個(gè)位相乘，得數(shù)作為中積，滿(mǎn)十進(jìn)一，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積。例: 75 957 9 = 63 - -（7+ 9） 5= 80 -25-71252.5. 個(gè)位相同，十位互補(bǔ) 即 B=D, A+C=10 S=10A10C+B100+B2方法：十位與十位相乘加上個(gè)位，得數(shù)為前積，加上個(gè)位平方。例：86 268 2+6 = 22- -36-22362.6.個(gè)位相同，十位非互補(bǔ)方法：十位與十位相乘加上個(gè)位，得數(shù)為前積，加上個(gè)位平方，再看看十位相加比10大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)個(gè)位乘十，小幾反之亦然例：734374+3=3197+4=113109 +30=3139-3139第十一講 乘法速算32.7.個(gè)位相同，十位非互補(bǔ)速算法2方法：頭乘頭，尾平方，再加上頭加尾的結(jié)果乘尾再乘10例：734374=2892809+（7+4）310=2809+1130=2809+330=3139-3139三、特殊類(lèi)型的：3.1、一因數(shù)數(shù)首尾相同，一因數(shù)十位與個(gè)位互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：互補(bǔ)的那個(gè)數(shù)首位加1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)。例： 66 37（3 + 1） 6 = 24- -6 7 = 42-2442第十二講 乘法速算43.2、一因數(shù)數(shù)首尾相同，一因數(shù)十位與個(gè)位非互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：雜亂的那個(gè)數(shù)首位加1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)，再看看非互補(bǔ)的因數(shù)相加比10大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)相同數(shù)的數(shù)字乘十，反之亦然例：3844（3+1）4=168*4=3216323+8=1111-10=11632+40=1672-1672第十三講 乘法速算53.3、一因數(shù)數(shù)首尾互補(bǔ)，一因數(shù)十位與個(gè)位不相同的兩位數(shù)相乘。方法：乘數(shù)首位加1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)，再看看不相同的因數(shù)尾比頭大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)互補(bǔ)數(shù)的頭乘十，反之亦然例：4675（4+1）*7=356*5=305-7=-22*4=83530-80=3450-34503.4、一因數(shù)數(shù)首比尾小一，一因數(shù)十位與個(gè)位相加等于9的兩位數(shù)相乘。方法：湊9的數(shù)首位加1乘以首數(shù)的補(bǔ)數(shù)，得數(shù)為前積，首比尾小一的數(shù)的尾數(shù)的補(bǔ)數(shù)乘以湊9的數(shù)首位加1為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)。例：563610-6=4，3+1=4，369也等于45*（10-6）=204*（10-6）=16“注：（10-6）也可以寫(xiě)作（3+1）和（369）”-20163.5、兩因數(shù)數(shù)首不同，尾互補(bǔ)的兩位數(shù)相乘。方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù)，反之亦然。被乘數(shù)頭加一與乘數(shù)頭相乘，得數(shù)為前積，尾乘尾，得數(shù)為后積。再看看被乘數(shù)的頭比乘數(shù)的頭大幾或小幾，大幾就加幾個(gè)乘數(shù)的尾乘十，反之亦然例：7456（7+1）*5=404*6=247-5=22*6=1212*10=1204024+120=4144-4144第十四講 乘法速算63.6、兩因數(shù)首尾差一，尾數(shù)互補(bǔ)的算法方法：不用向第五個(gè)那么麻煩了，取大的頭平方減一，得數(shù)為前積，大數(shù)的尾平方的補(bǔ)整百數(shù)為后積例：2436323*3-1=862=36100-36=64-8643.7、近100的兩位數(shù)算法方法：確定乘數(shù)與被乘數(shù)，反之亦然。再用被乘數(shù)減去乘數(shù)補(bǔ)數(shù)，得數(shù)為前積，再把兩數(shù)補(bǔ)數(shù)相乘，得數(shù)為后積（未滿(mǎn)10補(bǔ)零，滿(mǎn)百進(jìn)一）例：9391100-91=993-9=84100-93=77*9=63-84633.8、頭互補(bǔ)，尾不同的兩位數(shù)乘法方法：先確定乘數(shù)與被乘數(shù)，前兩位為將被乘數(shù)的頭和乘數(shù)的頭相乘加上乘數(shù)的個(gè)位數(shù)。后兩位為被乘數(shù)與乘數(shù)尾數(shù)的積。再看被乘數(shù)末尾的數(shù)比乘數(shù)末尾數(shù)字小幾或大幾，小幾就減幾個(gè)乘數(shù)的頭乘十，反之亦然例：22812*8+1=172*1=22=1+11702+1*80=1782-1782、平方速算一、求1119 的平方同上1.2，乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，兩數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一例：17 1717 7 = 24-7 7 = 49-289三、個(gè)位是5 的兩位數(shù)的平方同上1.3，十位加1 乘以十位，在得數(shù)的后面接上25。例：35 35（3 + 1） 3 = 12-25-1225四、十位是5 的兩位數(shù)的平方同上2.5，個(gè)位加25，在得數(shù)的后面接上個(gè)位平方。例： 53 5325 + 3 = 28-3 3 = 9-2809四、2150 的兩位數(shù)的平方求2550之間的兩數(shù)的平方時(shí)，記住125的平方就簡(jiǎn)單了, 1119參照第一條,下面四個(gè)數(shù)據(jù)要牢記：21 21 = 44122 22 = 48423 23 = 52924 24 = 576求2550 的兩位數(shù)的平方，用底數(shù)減去25，得數(shù)為前積，50減去底數(shù)所得的差的平方作為后積，滿(mǎn)百進(jìn)1，沒(méi)有十位補(bǔ)0。例：37 3737 - 25 = 12-（50 - 37）2 = 169-1369第十五講 乘法速算7五、知道平方后的速算5.1 相鄰奇（偶）數(shù)的速算方法，取平均數(shù)的平方減去1例：21*23222=484，484-1=483-4835.2 兩數(shù)相加為100的速算（限用于小數(shù)為25-49）方法：將大數(shù)減去50，再用2500減去差的平方例：36*6464-50=142500-142=2500-196=2304-23045.3 兩數(shù)相加為100的速算（限用于小數(shù)為1-25）方法，將小數(shù)乘以100，減去小數(shù)的平方即可例：11*891100-112=1100-121=979-9795.4（三位乘三位）兩因數(shù)第一位相同，后兩位互補(bǔ)的乘法方法：前兩位為被乘數(shù)第一位加1和另一個(gè)被乘數(shù)第一位的積；后面四位為兩個(gè)數(shù)字中每個(gè)數(shù)末尾兩位的積例：436*46464-50=142500-142=2500-196=23044*5=20-2023045.5 和為200的兩數(shù)乘法方法：將大數(shù)百位上的1直接去掉，再用10000減去去掉后數(shù)的平方例：127*73272=72910000-729=9271-92715.6 兩數(shù)字（三位數(shù)）后兩位互補(bǔ)，百位數(shù)差一的乘法方法：將大數(shù)百位上的數(shù)字直接去掉，再用大數(shù)平方減一作為前兩位，后四位為10000減去去掉后數(shù)的平方例：217*18322=310000-172=10000=289=9711-397115.7 十位數(shù)相差2，個(gè)位數(shù)相同的乘法方法：取平均數(shù)的平方減去100例：25*45（25+45）2=35352-100=1125-11255.8 百位互補(bǔ)，后兩位相同的乘法方法：取兩數(shù)的百位相乘加上并乘以10后加上后兩位為前兩位，后面三位為后兩位的平方（位數(shù)不夠用0補(bǔ)，滿(mǎn)十進(jìn)一）例：323*7233*7*10+23=233232=529-233529第十六講 乘法速算8六：多位數(shù)特殊算法6.1 一數(shù)和為9，一數(shù)為順子的算法方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)，中間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù)。例：45*234567步驟1：4+1=5，10-5=5，459=5（任選一個(gè)即可）步驟2：5*2=10；5*（10-7）=15步驟3：將中間的3456替換為全部替換為5-105555156.2、一數(shù)和為9，一數(shù)為含890的順的算法方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)。中間的數(shù)字除9以外全部替換為上一步處理完的數(shù)，9替換成0，若0為結(jié)尾則先約掉0按6.1的方法算出答案后再補(bǔ)0。例：36*6789012步驟1：3+1=4，10-6=4，369=4(任選一個(gè)即可)步驟2：4*6=24；4*（10-2）=32步驟3：將78901替換為44044-2444044326.3、一數(shù)和為9，一數(shù)為缺八順的算法（末尾可以是789）方法：湊9的數(shù)字按3.4條的方法處理，再將此數(shù)乘以順子的頭和尾的補(bǔ)數(shù)。中間的數(shù)字全部替換為上一步處理完的數(shù)。若0為結(jié)尾則先約掉0按6.1的方法算出答案后再補(bǔ)0。例：36*567901234步驟1：3+1=4，10-6=4，369=4（任選一個(gè)即可）步驟2：4*5=20；4*（10-4）=24步驟3：將6790123全部替換為4-204444444246.4、一數(shù)互補(bǔ)，一數(shù)為相同數(shù)的算法方法：頭加一和尾同時(shí)與相同數(shù)的任意一位數(shù)字相乘。 中間的數(shù)字位數(shù)為相同數(shù)的位數(shù)減2，數(shù)字不變例：46*444444444步驟1：（4+1）*4=20，6*4=24步驟2：444444444有9個(gè)4，9-2=7，抄7個(gè)4-204444444246.5、一數(shù)為相同數(shù)，一數(shù)位兩位循環(huán)（相鄰兩位互補(bǔ)）的算法方法：先將相同數(shù)的任意一位乘以循環(huán)節(jié)首位+1，再將相同數(shù)的任意一位乘以尾數(shù)，中間數(shù)字替換成相同數(shù)的任意一位數(shù)例1：77*646464步驟1：（6+1）*7=49，7*4=28步驟2：將4646替換為7777-49777728例2：44*7373737步驟1：（7+1）*4=32，7*4=28步驟2：將37373替換為44444-3244444286.6、多個(gè)9乘以任意數(shù)（位數(shù)要少于或等于前數(shù)的總位數(shù)）方法：先將（任意數(shù)）1，然后把（任意數(shù)）的位數(shù)和（多個(gè)9）比較位數(shù)的多少，少幾位則在中間寫(xiě)幾個(gè)9，寫(xiě)完9后寫(xiě)補(bǔ)數(shù)。熟練者可以直接看出位數(shù)，寫(xiě)補(bǔ)數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)位數(shù)相同，中間則沒(méi)有9。例：1536*999999第一步：1536-1=1535第二步：6（6個(gè)9）-4（1536是4位數(shù)）=2第三步：10000-1536=8464答案：1535998464、加減法一、補(bǔ)數(shù)的概念與應(yīng)用補(bǔ)數(shù)的概念：補(bǔ)數(shù)是指從10、100、1000中減去某一數(shù)后所剩下的數(shù)。例如10減去9等于1，因此9的補(bǔ)數(shù)是1，反過(guò)來(lái)，1的補(bǔ)數(shù)是9。補(bǔ)數(shù)的應(yīng)用：在速算方法中將很常用到補(bǔ)數(shù)。例如求兩個(gè)接近100的數(shù)的乘法或除數(shù)，將看起來(lái)復(fù)雜的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算等等。、除法速算一、某數(shù)除以5、25、125時(shí)1、 被除數(shù) 5= 被除數(shù) (10 2)= 被除數(shù) 10 2= 被除數(shù) 2 102、 被除數(shù) 25= 被除數(shù) 4 100= 被除數(shù) 2 2 1003、 被除數(shù) 125= 被除數(shù) 8 1000= 被除數(shù) 2 2 2 1000速算方法速算方法大揭秘速算方法大揭秘一、“九幾乘九幾，左減右補(bǔ)數(shù)，后面空兩格，寫(xiě)上補(bǔ)乘補(bǔ)?！北怀藬?shù)減去乘數(shù)的補(bǔ)數(shù)，后面寫(xiě)上兩個(gè)數(shù)的補(bǔ)數(shù)的乘積。如939595的補(bǔ)數(shù)是5，93-5=88，93的補(bǔ)數(shù)是7，75=35，9395=8835原理：9395=93（100-5）=9300-593=9300-5（100-7）=9300-500+57=8800+35=883500看作兩個(gè)空格二、任意數(shù)乘25，等于此數(shù)除以4，整除補(bǔ)00，余1補(bǔ)25，余2補(bǔ)50，余3補(bǔ)75.如2425=244=6補(bǔ)00=600，2525=254=6-1補(bǔ)25=6252625=264=6-2補(bǔ)50=650，2725=274=6-3補(bǔ)75=675三、任意數(shù)乘15，等于此數(shù)加上自己的一半，單數(shù)后面補(bǔ)5，雙數(shù)后面補(bǔ)0.如3315=33+16=49補(bǔ)5=495，3215=32+16=48補(bǔ)0=480四、任意數(shù)乘55，等于此數(shù)折半，單數(shù)補(bǔ)5雙數(shù)補(bǔ)0再乘11。如3755=372=18補(bǔ)5=18511=20353255=322=16補(bǔ)0=16011=1760五、“十同個(gè)湊10，十加1乘十，后面空兩格，寫(xiě)上個(gè)乘個(gè)”。十位數(shù)相同個(gè)位數(shù)相加等于10的兩位數(shù)相乘，等于十位數(shù)加1再乘以十位數(shù)，后面寫(xiě)上個(gè)位數(shù)乘以個(gè)位數(shù)。如3634=（3+1）3=12后面寫(xiě)64=24，3634=1224六、被乘數(shù)的兩位數(shù)之和是10，乘數(shù)的兩位數(shù)相同，算法同上。如3766=（3+1）6=24后面寫(xiě)上76=2442原理：3766=3060+（760+306）+76=3060+（1060）+42=（30+10）60+42=2442七、“十補(bǔ)個(gè)相同，十乘十加個(gè)，后面空兩格，寫(xiě)上個(gè)乘個(gè)”。十位數(shù)相加等于10，個(gè)位數(shù)相同的兩個(gè)兩位數(shù)相乘，十位乘十位加上個(gè)位，后面寫(xiě)上個(gè)乘個(gè)。如，7838=73+8=29后面寫(xiě)上88=64，7838=2964八、個(gè)位是1的兩位數(shù)相乘，等于十乘十空一格，加上十加十，后面寫(xiě)上1.如4151=45=20+4+5=209后面寫(xiě)1=2091九、一個(gè)數(shù)的各個(gè)位數(shù)相加的和能被3整除，則這個(gè)數(shù)能被3整除。因?yàn)?43=102，所以一個(gè)能被3整除的數(shù)乘以34，可以用此數(shù)除以3再乘以102.如13534=45102=4590，3934=1326673=201，也可以用上述技巧。如6967=4623373=111，同樣可以用上面的技巧。如13537=45111，兩位數(shù)乘以111，首尾不變中間重復(fù)相加。45111=4（4+5）（4+5）5=4995注：速算技巧、乘法速算一、十位數(shù)是1的兩位數(shù)相乘乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)相加，得數(shù)為前積，乘數(shù)的個(gè)位與被乘數(shù)的個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一。例：151715+7=2257=35-255即1517=255解釋?zhuān)?517=15（10+7）=1510+157=150+（10+5）7=150+70+57=（150+70）+（57）為了提高速度，熟練以后可以直接用“15+7”，而不用“150+70”。例：171917+9=2679=63連在一起就是255，即260+63=323二、個(gè)位是1的兩位數(shù)相乘方法：十位與十位相乘，得數(shù)為前積，十位與十位相加，得數(shù)接著寫(xiě)，滿(mǎn)十進(jìn)一，在最后添上1。例：51315030=150050+30=80-1580因?yàn)?1=1，所以后一位一定是1，在得數(shù)的后面添上1，即1581。數(shù)字“0”在不熟練的時(shí)候作為助記符，熟練后就可以不使用了。例：81918090=720080+90=170-7370-7371原理大家自己理解就可以了。三、十位相同個(gè)位不同的兩位數(shù)相乘被乘數(shù)加上乘數(shù)個(gè)位，和與十位數(shù)整數(shù)相乘，積作為前積，個(gè)位數(shù)與個(gè)位數(shù)相乘作為后積加上去。例：4346（43+6）40=196036=18-1978例：8987（89+7）80=768097=63-7743四、首位相同，兩尾數(shù)和等于10的兩位數(shù)相乘十位數(shù)加1，得出的和與十位數(shù)相乘，得數(shù)為前積，個(gè)位數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)。例：5654(5+1)5=30-64=24-3024例:7377(7+1)7=56-37=21-5621例:2129(2+1)2=6-19=9-609“-”代表十位和個(gè)位，因?yàn)閮晌粩?shù)的首位相乘得數(shù)的后面是兩個(gè)零，請(qǐng)大家明白，不要忘了，這點(diǎn)是很容易被忽略的。五、首位相同，尾數(shù)和不等于10的兩位數(shù)相乘兩首位相乘（即求首位的平方），得數(shù)作為前積，兩尾數(shù)的和與首位相乘，得數(shù)作為中積，滿(mǎn)十進(jìn)一，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積。例：565855=25-（6+8）5=7-68=48-3248得數(shù)的排序是右對(duì)齊，即向個(gè)位對(duì)齊。這個(gè)原則很重要。六、被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾和是10的兩位數(shù)相乘。乘數(shù)首位加1，得出的和與被乘數(shù)首位相乘，得數(shù)為前積，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)為后積，沒(méi)有十位用0補(bǔ)。例：6637（3+1）6=24-67=42-2442例：9919（1+1）9=18-99=81-1881七、被乘數(shù)首尾和是10，乘數(shù)首尾相同的兩位數(shù)相乘與幫助6的方法相似。兩首位相乘的積加上乘數(shù)的個(gè)位數(shù)，得數(shù)作為前積，兩尾數(shù)相乘，得數(shù)作為后積，沒(méi)有十位補(bǔ)0。例：469949+9=45-69=54-4554例:823383+3=27-23=6-2706八、兩首位和是10，兩尾數(shù)相同的兩位數(shù)相乘。兩首位相乘，積加上一個(gè)尾數(shù)，得數(shù)作為前積，兩尾數(shù)相乘（即尾數(shù)的平方），得數(shù)作為后積，沒(méi)有十位補(bǔ)0。例：783873+8=29-88=64-2964例：238328+3=19-33=9-1909、平方速算一、求1119的平方底數(shù)的個(gè)位與底數(shù)相加，得數(shù)為前積，底數(shù)的個(gè)位乘以個(gè)位相乘，得數(shù)為后積，滿(mǎn)十前一。例：1717177=24-77=49-289參閱乘法速算中的“十位是1的兩位相乘”二、個(gè)位是1的兩位數(shù)的平方底數(shù)的十位乘以十位（即十位的平方），得為前積，底數(shù)的十位加十位（即十位乘以2），得數(shù)為后積，在個(gè)位加1。