上海交大815考研控制理論基礎(chǔ)控制理論基礎(chǔ)(I)第4章__控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

課程負責人：丁漢教授,顧問：王顯正教授,交通大學精品課程系列,2004.4.30,控制理論基礎(chǔ)(I),第四章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,4.1穩(wěn)定性的基本概念,4.2代數(shù)判據(jù),4.4Nyquist穩(wěn)定性判據(jù),4.5穩(wěn)定性裕量,4.3米哈伊洛夫穩(wěn)定性判據(jù),作業(yè),4.1穩(wěn)定性的基本概念,例,穩(wěn)定性的定義,穩(wěn)定的充要條件,穩(wěn)定的必要條件,例1,例3,例2,課堂練習,穩(wěn)定的擺,不穩(wěn)定的擺,1940年11月7日，一陣風引起了橋的晃動，而且晃動越來越大，直到整座橋斷裂。,跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風，這座大橋就會晃動。,無限放大直到飽和,無輸入時因干攏直至飽和,控制系統(tǒng)在外部攏動作用下偏離其原來的平衡狀態(tài)，當攏動作用消失后，系統(tǒng)仍能自動恢復(fù)到原來的初始平衡狀態(tài)。,(a)外加擾動,注意：以上定義只適用于線形定常系統(tǒng)。,穩(wěn)定性的定義,(b)穩(wěn)定,(c)不穩(wěn)定,注意：控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。,大范圍穩(wěn)定:不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。,(a)大范圍穩(wěn)定,(b)小范圍穩(wěn)定,否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。,注意：對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定。,(a)不穩(wěn)定,臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,注意：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。,原因：(1)分析時依賴的模型通常是簡化或線性化；(2)實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性；(3)系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。,假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t時，若：系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。,穩(wěn)定的條件：,穩(wěn)定的充要條件,理想脈沖函數(shù)作用下R(s)=1。,對于穩(wěn)定系統(tǒng),t時,輸出量c(t)=0。,由上式知：如果pi和i均為負值,當t時,c(t)0。,自動控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)特征方程的根全部具有負實部，即:閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部在S平面左半部。,注意：穩(wěn)定性與零點無關(guān),系統(tǒng)特征方程,結(jié)果：共軛復(fù)根，具有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。,系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,系統(tǒng)特征各項系數(shù)具有相同的符號，且無零系數(shù)。,設(shè)系統(tǒng)特征根為p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取兩根乘積之和,每次取三根乘積之和,各根之積,全部根具有負實部,某水位控制系統(tǒng)如圖，討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為被控對象水箱的傳遞函數(shù)；為執(zhí)行電動機的傳遞函數(shù)；K1為進水閥門的傳遞系數(shù)；Kp為杠桿比；H0為希望水位高；H為實際水位高。,由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為,令,為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，則特征方程展開寫為為三階系統(tǒng),但缺少s項，即對應(yīng)的特征多項式的中有系數(shù)為0，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以該系統(tǒng)不穩(wěn)定。,無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),如(K、Tm)，都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定。,結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng),校正裝置,無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,勞思(routh)判據(jù),勞思陣列,赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù),赫爾維茨行列式,例,課堂習題,勞思(routh)判據(jù)的特殊情況,4.2代數(shù)判據(jù),性質(zhì)：第一列符號改變次數(shù)=系統(tǒng)特征方程含有正實部根的個數(shù)。,勞思陣列,特征方程：,勞斯陣列：,如果符號相同系統(tǒng)具有正實部特征根的個數(shù)等于零系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：勞思陣列第一列元素不改變符號。,“第一列中各數(shù)”,注：通常a00，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。,勞思(routh)判據(jù),勞思判據(jù)判定穩(wěn)定性,勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,特殊情況1：第一列出現(xiàn)0,特殊情況2：某一行元素均為0,勞思(routh)判據(jù)的特殊情況,特殊情況：第一列出現(xiàn)0。,各項系數(shù)均為正數(shù),解決方法：用任意小正數(shù)代之。,特殊情況1：第一列出現(xiàn)0,特殊情況：某一行元素均為0,解決方法：全0行的上一行元素構(gòu)成輔助方程，求導(dǎo)后方程系數(shù)構(gòu)成一個輔助方程。,各項系數(shù)均為正數(shù),求導(dǎo)得:,例如：,特殊情況2：某一行元素均為0,勞斯陣列出現(xiàn)全零行:系統(tǒng)在s平面有對稱分布的根,大小相等符號相反的實根,共軛虛根,對稱于實軸的兩對共軛復(fù)根,系統(tǒng)的n階赫樂維茨行列式,取各階主子行列式作為1階（n-1）階赫爾維茲行列式,赫爾維茨行列式,控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當a00時，各階赫爾維茨行列式1、2、n均大于零。,一階系統(tǒng),二階系統(tǒng),a00時,a10(全部系數(shù)數(shù)同號),a00時,a10,a20(全部系數(shù)數(shù)同號),a00時,a00時,赫爾維茨(Hurwitz)判據(jù),三階系統(tǒng),a00時,a10,a20,a30(全部系數(shù)數(shù)同號),a00時,a1a2a0a3,四階系統(tǒng),a00時,a10,a20,a30,a40(全部系數(shù)數(shù)同號),a00時,一階系統(tǒng),a10(全部系數(shù)數(shù)同號),a10,a20(全部系數(shù)數(shù)同號),a10,a20,a30(全部系數(shù)數(shù)同號),a1a2a0a3,a10,a20,a30,a40(全部系數(shù)數(shù)同號),歸納：a00時,二階系統(tǒng),三階系統(tǒng),四階系統(tǒng),a10,a20,a30,a40,K值的穩(wěn)定范圍,各項系數(shù)均為正數(shù),a00時,單位反饋系統(tǒng),已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下：,判斷上述系統(tǒng)開環(huán)增益K的穩(wěn)定域，并說明開環(huán)積分環(huán)節(jié)數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。,系統(tǒng)1的閉環(huán)特征方程為：,系統(tǒng)3的閉環(huán)特征方程為：,系統(tǒng)2的閉環(huán)特征方程為：,K的穩(wěn)定域為：,K的穩(wěn)定域為：,結(jié)論：增加系統(tǒng)開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利。,由于特征方程缺項，不存在K的穩(wěn)定域。,特征矢量幅角變化與穩(wěn)定性關(guān)系,一階系統(tǒng),D(s)可視為復(fù)平面上的向量。,特征方程：D(s)=s+p0,4.3米哈伊洛夫穩(wěn)定性判據(jù),當變化時，D(j)的端點沿虛軸滑動，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。,在頻域：D(j)=p+j,若特征根為負實根，系統(tǒng)穩(wěn)定,若特征根為正實根，系統(tǒng)不穩(wěn)定,二階系統(tǒng),特征方程：D(s)=s2+2ns+n2(s+p1)(s+p2)=0,實根情形(1),當由0變化到時：,共軛虛根情形(01),設(shè)根位于左半s平面,當由0變化到時，,j+p1的相角變化范圍：-0/2,變化量：/2+0,j+p2的相角變化范圍：0/2,變化量：/2-0,根位于右半s平面,共軛虛根情形(00的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線()(含輔助線)與-180線的正負穿越次數(shù)之差等于m/2時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。,開環(huán)特征方程有兩個右根，m=2正負穿越數(shù)之和-1,閉環(huán)不穩(wěn)定。,開環(huán)特征方程有兩個右根，m=2正負穿越數(shù)之和+1,閉環(huán)穩(wěn)定。,開環(huán)特征方程無右根，m=0正負穿越數(shù)之和0,閉環(huán)穩(wěn)定。,開環(huán)特征方程無右根，m=0L()0范圍內(nèi)()和-線不相交即正負穿越數(shù)之和為0,閉環(huán)穩(wěn)定。,相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量,增益交界頻率和相位交界頻率,系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量,穩(wěn)定系統(tǒng),不穩(wěn)定系統(tǒng),例1,用Matlab求取穩(wěn)定性裕量,例2,4.5穩(wěn)定性裕量,特征方程最近虛軸的根和虛軸的距離,穩(wěn)定性裕量可以定量地確定系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的遠近，是評價系統(tǒng)穩(wěn)定性好壞的性能指標，是系統(tǒng)動態(tài)設(shè)計的重要依據(jù)之一。,相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量,注意：虛軸是系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定邊界,G(j)H(j)軌跡靠近(-1,j0)點的程度,GH平面,增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點,相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負實軸交點,1-穩(wěn)定系統(tǒng),2-不穩(wěn)定系統(tǒng),增益交界頻率和相位交界頻率,單位園外,單位園內(nèi),增益交界頻率cG(j)H(j)軌跡與單位圓交點L(j)與0分貝線的交點。,c,g,穩(wěn)定系統(tǒng),相位交界頻率gG(j)H(j)軌跡與負實軸交點(j)與-線的交點。,單位園外,單位園內(nèi),c,g,不穩(wěn)定系統(tǒng),:在增益交界頻率c上系統(tǒng)達到穩(wěn)定邊界所需要的附加滯后量-相位裕量。,開環(huán),系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕量,Kg:在增益交界頻率g上,頻率特性幅值|G(j)H(j)|的倒數(shù)幅值裕量（增益裕度）。,開環(huán),系統(tǒng)響應(yīng)速度,增益裕量相位裕量,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性,增益裕量相位裕量伺服機構(gòu)：10-20分貝40度以上過程控制：3-10分貝20度以上,穩(wěn)定系統(tǒng),正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H(j)軌跡:(1)不包圍(-1,j0)點；(2)先穿過單位圓，后穿過負實軸。,正相位裕量,正相位裕量,不穩(wěn)定系統(tǒng),負增益裕量,負相位裕量,負增益裕量,負相位裕量,G(j)H(j)軌跡:(1)包圍(-1,j0)點；(2)先穿過負實軸，后穿過單位圓,負相位裕量,負增益裕量,單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),穩(wěn)定性裕量,用Matlab求取穩(wěn)定性裕量,第四章作業(yè),1、已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=k/s(0.1s+1)(0.25s+1)。試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時開環(huán)放大系統(tǒng)K的取值范圍;要使系統(tǒng)具有=1以上的穩(wěn)定裕量，試確定K的取值范圍。,2、垂直起降飛機是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，需要外加穩(wěn)定控制系統(tǒng)。圖為美國陸軍的K-16B垂直起降飛機的姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng),當飛