狀態(tài)空間描述法

第九章?tīng)顟B(tài)空間描述法 9 1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 9 2狀態(tài)方程求解 9 3可控性與可觀測(cè)性 9 4狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器 End 9 1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法 1 控制系統(tǒng)的兩種基本描述方法 輸入 輸出描述法 經(jīng)典控制理論狀態(tài)空間描述法 現(xiàn)代控制理論2 經(jīng)典控制理論的特點(diǎn) 1 優(yōu)點(diǎn) 對(duì)單入 單出系統(tǒng)的分析和綜合特別有效 2 缺點(diǎn) 內(nèi)部的信息無(wú)法描述 僅適于單入 單出系統(tǒng) 3 現(xiàn)代控制理論 1 適應(yīng)控制工程的高性能發(fā)展需要 于60年代提出 2 可處理時(shí)變 非線性 多輸入 多輸出問(wèn)題 3 應(yīng)用方面的理論分支 最優(yōu)控制 系統(tǒng)辯識(shí) 自適應(yīng)控制 9 2 9 3 9 4 一 問(wèn)題的提出 1 先看一個(gè)例子 例9 1試建立圖示電路的數(shù)學(xué)模型 二 狀態(tài)和狀態(tài)空間 2 狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義 在已知ur t 的情況下 只要知道uc t 和i t 的變化特性 則其他變量的變化均可知道 故uc t 和i t 稱為 狀態(tài)變量 記 控制系統(tǒng)的狀態(tài)為完全描述系統(tǒng)的一個(gè)最小變量組 該組中的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量 如上例中 為系統(tǒng)的狀態(tài) 為狀態(tài)變量 3 狀態(tài)向量 4 狀態(tài)空間 定義 所有狀態(tài)構(gòu)成的一個(gè)實(shí)數(shù)域上的 線性 向量空間稱為狀態(tài)空間 5 方程 狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量 輸入量的關(guān)系表達(dá)式稱為狀態(tài)方程 見(jiàn)上例 系統(tǒng)輸出量y t 與狀態(tài)變量 輸入量的關(guān)系的表達(dá)式稱為輸出方程 三 狀態(tài)變量的選取 1 狀態(tài)變量的選取是非唯一的 2 選取方法 1 可選取初始條件對(duì)應(yīng)的變量或與其相關(guān)的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量 2 可選取獨(dú)立儲(chǔ)能 或儲(chǔ)信息 元件的特征變量或與其相關(guān)的變量作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量 如電感電流i 電容電壓uc 質(zhì)量m的速度v等 例9 2圖示彈簧 質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng) 外作用力u t 為該系統(tǒng)的輸入量 質(zhì)量的位移y t 為輸出量 試列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程 例9 3已知系統(tǒng)微分方程組為 其中 ur為輸入 uc為輸出 R1 C1 R2 C2為常數(shù) 試列寫系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程 解 選 寫成向量 矩陣形式 四 狀態(tài)空間表達(dá)式 1 單輸入單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng) 2 一般線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 p輸入q輸出 3 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 五 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 1 方法 機(jī)理分析法 實(shí)驗(yàn)法2 線性定常單變量系統(tǒng) 單輸入 單輸出系統(tǒng) 1 由微分方程建立 在輸入量中不含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí) 例9 4已知系統(tǒng)微分方程為 列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 寫成向量 矩陣形式 或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 解 選 輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí) 可控規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 2 由傳遞函數(shù)建立 即實(shí)現(xiàn) B bn 0 例9 5已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 解 由bn b3 0 對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型 可得實(shí)現(xiàn)為 例9 6已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能控規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 解 由bn b3 0 對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)型 例9 7已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試求其能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 與能控規(guī)范型關(guān)系 A AT B CT C BT 能觀測(cè)規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 對(duì)角線規(guī)范實(shí)現(xiàn) 結(jié)構(gòu)圖 的對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 并畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖 例9 8求 解 則對(duì)角線規(guī)范型實(shí)現(xiàn)為 約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn) 特征方程有重根時(shí) 當(dāng)G s 有重極點(diǎn)時(shí) 設(shè) pi中有k重極點(diǎn) 例9 9 3 狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換 思路 變換前后系數(shù)矩陣關(guān)系 代入原狀態(tài)方程 有 變換為對(duì)角線規(guī)范型 例9 10試將狀態(tài)方程 解 求特征值 求特征向量和變換矩陣P 1對(duì)應(yīng)的p1 3 線性定常多輸入 多輸出系統(tǒng) 1 傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)系數(shù)矩陣間的關(guān)系 2 開環(huán)與閉環(huán)傳遞矩陣 3 傳遞矩陣的對(duì)角化 4 傳遞矩陣的實(shí)現(xiàn) 1 單輸入 多輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn) 可控規(guī)范型 例9 11試求下列單輸入 雙輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) 解 2 多輸入 單輸出時(shí)的實(shí)現(xiàn) 解題思路 求對(duì)應(yīng)的單入多出系統(tǒng)GT s 的實(shí)現(xiàn) 利用對(duì)偶關(guān)系求G s 的實(shí)現(xiàn) 例9 12線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣如下 求系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) 解 1 先求對(duì)應(yīng)的單輸入 雙輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 2 再轉(zhuǎn)換為雙輸入 單輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 故原系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)為 方法的驗(yàn)證 對(duì)比原題所給傳遞函數(shù) 可見(jiàn)結(jié)果一致 本節(jié)作業(yè) 劉豹 P481 41 5 1 1 7 9 2狀態(tài)方程求解 線性定常連續(xù)系統(tǒng) 1 齊次狀態(tài)方程的解 1 冪級(jí)數(shù)法設(shè)解為 9 3 9 4 9 1 拉氏變換法 由兩邊取拉氏變換 得SX s X 0 AX s SI A X s X 0 X s SI A 1 X 0 兩邊取拉氏反變換x t L 1 X s L 1 SI A 1X 0 L 1 SI A 1 X 0 比較前式 有eAt L 1 SI A 1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì) t eAt I At 1 2 A2t2 1 k Aktk 0 I 初始狀態(tài) 2 t1 t2 t1 t2 t2 t1 線性關(guān)系 1 t t 1 t t 可逆性 x t t t0 x t0 x t0 t0 x 0 則x t t x 0 t 1 t0 x t0 t t0 x t0 t t0 x t0 6 t2 t0 t2 t1 t1 t0 e t2 t1 Ae t1 t0 A 可分階段轉(zhuǎn)移 t k kt e A B t eAt eBt eBt eAt AB BA e A B t eAt eBt eBt eAt AB BA 引入非奇異變換后 兩種常見(jiàn)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 例9 13設(shè)有一控制系統(tǒng) 其狀態(tài)方程為 在t0 0時(shí) 狀態(tài)變量的初值為 x1 0 x2 0 x3 0 試求該方程的解 試求A及 t 例9 14設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 解方程組得 11 t 2e t e 2t 12 t 2e t 2e 2t 21 t e t e 2t 22 t e t 2e 2t 例9 15設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為 式中a b c均為實(shí)數(shù) 試求 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 2 非齊次狀態(tài)方程的解 直接法 積分法 2 拉氏變換法 sx s x 0 Ax s Bu s sI A x s x 0 Bu s x s sI A 1x 0 sI A 1Bu s 則x t 1 sI A 1x 0 1 sI A 1Bu s 由eAt 1 sI A 1 可得 例9 16在上例中 當(dāng)輸入函數(shù)u t 1 t 時(shí) 求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解 例9 17設(shè)有一電液位置伺服系統(tǒng) 已知系統(tǒng)方塊圖如下 所示 試用狀態(tài)空間法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析 解 由圖 本節(jié)作業(yè) 劉豹 P772 32 5 3 2 6 一 可控與可觀測(cè)的概念 意義 9 3可控性與可觀測(cè)性 9 2 9 4 9 1 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 如果存在一個(gè)控制u t 能在有限時(shí)間間隔 to tf 內(nèi) 使系統(tǒng)從其一初態(tài)x to 轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)x tf 則稱此狀態(tài)x to 是完全可控的 簡(jiǎn)稱系統(tǒng)可 能 控 只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控 則系統(tǒng)不可控 二 定義 1 可控性定義 三 可控性與可觀測(cè)性判據(jù) 系統(tǒng)在穩(wěn)定輸入u t 作用下 對(duì)任意初始時(shí)刻to 若能在有限時(shí)間間隔 to tf 之內(nèi) 根據(jù)從to到tf對(duì)系統(tǒng)輸出y t 的觀測(cè)值和輸入u t 唯一地確定系統(tǒng)在to時(shí)刻的狀態(tài)x to 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測(cè)的 簡(jiǎn)稱系統(tǒng)可 能 觀測(cè) 只要有一個(gè)狀態(tài)變量不能 可 觀測(cè) 則系統(tǒng)不可觀測(cè) 2 可觀測(cè)性定義 可控規(guī)范型 1 可控性判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是可控性判別陣 必須滿秩 即 n為系統(tǒng)維數(shù) 判據(jù)一 試判別其狀態(tài)的可控性 解 例9 18設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 系統(tǒng)可控 設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互異的特征值 則系統(tǒng)可控的充要條件是 系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型方程 中 陣不包含元素全為零的行 判據(jù)二 例9 19已知三階二輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程 試判別其狀態(tài)的可控性 解 不可控 例9 20試確定如下幾個(gè)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型系統(tǒng)的可控性 例9 21試判斷下列已經(jīng)非奇異變換成約當(dāng)規(guī)范型的系統(tǒng)的可控性 中 與每個(gè)約當(dāng)小塊的最后一行相對(duì)應(yīng)的陣中的所有那些行 其元素不全為零 若兩個(gè)約當(dāng)塊有相同特征值 此結(jié)論不成立 約當(dāng)規(guī)范型 判據(jù)三 判據(jù)一 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件為可觀測(cè)性矩陣 2 可觀測(cè)性判據(jù) 必須滿秩 即rankQo n n為系統(tǒng)維數(shù) 可觀測(cè)規(guī)范型 例9 22已知系統(tǒng)的A C陣如下 試判斷其可觀性 例9 23試判別如下系統(tǒng)的可觀測(cè)性 解 解 的矩陣中不包含元素全為零的列 設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)具有不相等的特征值 則其狀態(tài)可觀測(cè)的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對(duì)角線規(guī)范型 例9 24試判別以下系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性 判據(jù)二 中 與每個(gè)約當(dāng)塊首行相對(duì)應(yīng)的矩陣中的那些列 其元素不全為零 如果兩個(gè)約當(dāng)塊有相同的特征值 此結(jié)論不成立 約當(dāng)規(guī)范型 判據(jù)三 例9 25試判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性 1 可控可觀測(cè)的充要條件 由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消 即傳遞函數(shù)可約 2 可控的充要條件 SI A 1b不存在零極點(diǎn)對(duì)消 3 可觀測(cè)的充要條件 c SI A 1不存在零極點(diǎn)對(duì)消 四 能控能觀性與傳遞函數(shù)的關(guān)系 例9 26判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性 1 單輸入單輸出系統(tǒng) 例9 27系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下 判斷其可控性與可觀測(cè)性 2 多輸入多輸出系統(tǒng) 1 可控的充要條件 SI A 1B的n行線性無(wú)關(guān) 2 可觀測(cè)的充要條件 C SI A 1的n列線性無(wú)關(guān) 例9 28用兩種方法驗(yàn)證 系統(tǒng) 1 的狀態(tài)可控性 系統(tǒng) 2 的狀態(tài)可觀測(cè)性 例9 29 五 對(duì)偶原理 設(shè)系統(tǒng)S1 A1 B1 C1 與系統(tǒng)S2 A2 B2 C2 互為對(duì)偶系統(tǒng) 則 若系統(tǒng)S1 A1 B1 C1 可控 則系統(tǒng)S2 A2 B2 C2 可觀測(cè) 若系統(tǒng)S1 A1 B1 C1 可觀測(cè) 則系統(tǒng)S2 A2 B2 C2 可控 證明 六 線性系統(tǒng)的規(guī)范分解 例9 30判斷以下系統(tǒng)及其的狀態(tài)可控性與可觀測(cè)性 線性系統(tǒng)可分解為四種系統(tǒng) 能控能觀測(cè)1 2 3 4 1 能控性規(guī)范分解 定理n階系統(tǒng) A B C rankQc k n 則通過(guò)非奇異變換 可導(dǎo)出原系統(tǒng)按能控性規(guī)范分解的新系統(tǒng) Ac Bc Cc 有 為能控子系統(tǒng) 5 3 Tc的求法 i 從QC中任選k rankQC k 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量 它為Tc的前k列 V1 V2 Vk ii 在Rn中再選n k個(gè)列向量 記為Vk 1 Vn 需使得 為非奇異 設(shè)線性定常系統(tǒng)如下 判斷其能控性 若不完全能控 試將該系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解 例9 31 解系統(tǒng)能控性判別陣 rankQc 2 n 3 所以系統(tǒng)是不完全能控的 其中Tc3是任意的 只要能保證Tc非奇異即可 變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 即 能控子系統(tǒng)為 為能觀測(cè)子系統(tǒng) 可將原系統(tǒng)變換為按能觀測(cè)規(guī)范分解的新系統(tǒng) Ao Bo Co 有 5 4 定理n階系統(tǒng) A B C rankQo r n 通過(guò)非奇異變換 xo為r維能觀測(cè)狀態(tài)分量 是 n r 維不能觀測(cè)的狀態(tài)分量 2 能觀測(cè)性規(guī)范分解 To 1的求法 i 從Qo中任選r rankWo r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量 作為To 1的前r個(gè)行向量 ii 在Rn中再選 n r 個(gè)行向量 構(gòu)成To 1 并使To 1為非奇異 例9 32設(shè)線性定常系統(tǒng)如下 判斷其能觀測(cè)性 若不完全能觀測(cè) 試將該系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行分解 解系統(tǒng)能觀測(cè)性判別陣 rankQo 2 n 所以系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的 即 變換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 能觀測(cè)子系統(tǒng)為 3 線性系統(tǒng)的規(guī)范分解 引理系統(tǒng) A B C 完全能控且完全能觀測(cè)的充要條件是 證明能控的充要條件 rankQc n能觀的充要條件 rankQo n又由Sylvester不等式 其中 因此 系統(tǒng)完全能控且完全能觀測(cè) 則必有 定理不完全能控 不完全能觀測(cè)的n階系統(tǒng) A B C 則可通過(guò)非奇異變換 將原系統(tǒng) A B C 變換為按能控性和能觀測(cè)性規(guī)范分解的系統(tǒng) Aco Bco Cco 有 能控 能觀測(cè) 為能控且能觀測(cè)子系統(tǒng) 5 5 按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行規(guī)范分解的步驟 是狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測(cè)的 試將該系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 可只須經(jīng)過(guò)一次變換對(duì)系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解 但變換陣的構(gòu)造需要涉及較多的線性空間概念 下面介紹一種逐步分解的方法 1 先將系統(tǒng)按能控性分解 2 將不能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解 3 將能控的子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解 4 綜合以上三次變換 導(dǎo)出系統(tǒng)同時(shí)按能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解的表達(dá)式 例9 33已知系統(tǒng) 解前例已將該系統(tǒng)按能控性分解 不能控子空間是能觀測(cè)的 無(wú)需再進(jìn)行分解 將能控子空間按能觀測(cè)性進(jìn)行分解 即 綜合以上兩次變換結(jié)果 系統(tǒng)按能控性和能觀測(cè)性分解為 本節(jié)作業(yè) 劉豹 P1383 1 1 3 23 3 1 一 用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)的極點(diǎn) 定理 用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點(diǎn)的充要條件是 受控系統(tǒng)可控 9 4狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器 9 2 9 3 9 1 狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 結(jié)論 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性 例9 35設(shè)受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在 2 1 j 畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 判斷系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)配置在 2 j 若能 求出狀態(tài)反饋陣并畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 例9 34 解該單輸入 單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消 故可控 其可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為 1 3 狀態(tài)反饋陣為k k0k1k2 期望極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征方程為 k k0k1k2 441 比較兩特征方程 得 狀態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為 二 輸出反饋與極點(diǎn)配置 三 狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì) 定理 若受控系統(tǒng)可觀測(cè) 則其狀態(tài)可用形如的全維觀測(cè)器給出估值 矩陣H按任意配置極點(diǎn)的要求來(lái)選擇 以決定狀態(tài)誤差衰減的速率 試設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器 將極點(diǎn)配置在 10 10 畫出全維觀測(cè)器及受控對(duì)象的狀態(tài)變量圖 例9 36設(shè)受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 解 因?yàn)?四 降維狀態(tài)觀測(cè)器 所以 全維狀態(tài)觀測(cè)器為 畫法1 畫觀測(cè)器與原系統(tǒng)一樣 畫法2 觀測(cè)器用其方程畫 課后自畫 本節(jié)作業(yè) 劉豹 P2065 15 35 10 9 5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 9 5 1向量和矩陣的范數(shù) 9 5 1 1向量的范數(shù) 其范數(shù) x 為一實(shí)數(shù) 具有性質(zhì) 1 若x 0則 x 0 當(dāng)x 0 則 x 0 2 x x 為任意標(biāo)量 3 對(duì)于兩個(gè)向量x y有 x y x y 三角不等式 幾種常見(jiàn)的向量范數(shù) n維空間上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 9 5 1 2矩陣的范數(shù) x的 范數(shù)也定義 矩陣A aij n m 其范數(shù) A 滿足 1 當(dāng)A 0時(shí) A 0 當(dāng)A 0時(shí) A 0 2 A A 為任意向量 3 A B A B 4 AB A B 幾種常見(jiàn)的矩陣范數(shù) 2 范數(shù) 1 范數(shù) 9 5 2平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性 9 5 2 1平衡狀態(tài) 平衡點(diǎn) xe xe 一個(gè)狀態(tài)變量 一旦系統(tǒng)到達(dá)此狀態(tài) 則以后在無(wú)外力及擾動(dòng)的情況下 總處于此狀態(tài) 任意狀態(tài)x t 可表達(dá)為 x t t t0 x t0 u t 平衡狀態(tài)xe 零輸入狀態(tài)下的不變狀態(tài) 有xe t t0 xe 0 常量對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng) xe為平衡狀態(tài) 線性定常離散系統(tǒng) x k 1 Gx k 2 9 5 2 2幾個(gè)穩(wěn)定性概念 可見(jiàn) 由線性定常連續(xù)系統(tǒng) 1 離散系統(tǒng) 2 xe 0 線性定常系統(tǒng) xe 0是唯一的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài) 1 李亞普若夫意義下的穩(wěn)定性 SisL Stabilityinthesenseoflyapunov或i s L穩(wěn)定 xe 平衡狀態(tài) x0 初始狀態(tài) t0時(shí)刻 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任一實(shí)數(shù) 0 對(duì)應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù) 0 使 x0 xe 時(shí) 從任一初始狀態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng) t t0 x0 0 都滿足 t t0 x0 0 xe t t0 則稱xe為lyapunov意義下穩(wěn)定的 SisL 球域s 半徑為 球域s 半徑為 s 內(nèi)的狀態(tài)的自由運(yùn)動(dòng)總在s 內(nèi) 若 與t0無(wú)關(guān) 則稱此平衡態(tài)xe是i s L一致穩(wěn)定的 如下圖 一般 t0 即與 和t0有關(guān) 狀態(tài)空間 以xe為原點(diǎn) 對(duì)給定正實(shí)數(shù) 以xe為球心 為半徑構(gòu)造一個(gè)超球體 球域記為s 幾何解釋 2 漸近穩(wěn)定 AS asymptoticstability 稱平衡態(tài)xe是漸近穩(wěn)定 AS 的 如果滿足 xe是i s L穩(wěn)定的 對(duì)于 t0 和任意給定的實(shí)數(shù) 0 對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)T t0 0使得滿足 的任一初態(tài)x0出發(fā)的零輸入響應(yīng)都滿足 t t0 x0 0 xe t t0 T t0 而且 如果從任一初態(tài)x0的受擾運(yùn)動(dòng)均為漸近穩(wěn)定的 線性系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定 大范圍漸近穩(wěn)定 記 Sisl 一致Sisl AS 一致AS 大范圍AS 大范圍一致AS 幾種穩(wěn)定定義的包含關(guān)系 線性系統(tǒng) 則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的 大范圍漸近穩(wěn)定也稱為全局漸近穩(wěn)定 小范圍漸近穩(wěn)定也稱為局部漸近穩(wěn)定 xe為大范圍漸近穩(wěn)定 9 5 3李亞普若夫第一法 9 5 3 1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 線性定常連續(xù)系統(tǒng) 若u t 0 t 0 對(duì)任意x 0 有 稱為系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 定理4 1 特征值判據(jù) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是 系統(tǒng)矩陣A的全部特征值都具有負(fù)實(shí)部 即 i A的特征值 幾個(gè)判據(jù) 1 必要條件判據(jù) 若線性定常系統(tǒng)為AS 則特征多項(xiàng)式 的系數(shù) i i 0 1 n 1 必全為正 系統(tǒng)為AS i 0 i 0 1 n 1 有缺項(xiàng)或有負(fù)的 系統(tǒng)不是AS 2 Hurwitz行列式判據(jù) 線性定常系統(tǒng)為AS的充要條件判據(jù) 3 Lienard chipart判據(jù) 只需要計(jì)算一半Hurwitz行列式 例9 37 例9 38 9 5 3 2線性定常離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性 若對(duì)于任意x 0 有 定理4 2 特征值判據(jù) 線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為 G的所有特征值的幅值均小于1 即 即G的特征值 i均位于Z平面的單位內(nèi) 9 5 4李亞普若夫第二法 基本思路 從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析 1 如果一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后 其儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移逐漸衰減 到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí) 能量將達(dá)最小值 則這個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的 2 反之 如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量 儲(chǔ)能越來(lái)越大 則這個(gè)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 3 如果系統(tǒng)的儲(chǔ)能既不增加 也不消耗 則這個(gè)平衡狀態(tài)就是Lyapunov意義下的穩(wěn)定 由于實(shí)際系統(tǒng)的復(fù)雜性和多樣性 往往不能直觀地找到一個(gè)能量函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)的能量關(guān)系 于是Lyapunov定義了一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù) 作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù) 用其一階微分的符號(hào)特征來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 9 5 4 1 實(shí) 二次型 一般的一個(gè)實(shí)二次型是指n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式 可寫成 其中qij qji 其系數(shù)確定了一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣 Q稱為二次型 2 的矩陣 設(shè)x x1 x2 xn T 則實(shí)二次型 2 可記為 f x1 x2 xn xTQx 定義 實(shí) 二次型是x Rn的標(biāo)量函數(shù)f x1 x2 xn xTQx式中 Q為一實(shí)對(duì)稱n n矩陣 稱為二次型f的矩陣 并將Q的秩稱為二次型f的秩 x 0 若xTQx 0 則稱二次型f為正定的 Q稱為正定矩陣 記為Q 0 x 0 若xTQx 0 則稱二次型f為半正定的 Q稱為半正定矩陣 記為為Q 0 若xTQx 0 0 稱f為負(fù)定的 半負(fù)定的 Q稱為負(fù)定 半負(fù)定 矩陣 記為Q 0 0 若f既不是半正定又不是半負(fù)定 則稱為不定的 二次型函數(shù)的定號(hào)性判別準(zhǔn)則 Sylvester 希爾維斯特 判據(jù) 二次型f x1 x2 xn xTQx為正定的充要條件是Q的行列式以及它的多階順序主子式均為正 即 9 5 4 2Lyapunov穩(wěn)定性定理 引例如圖所示 外力F0 0 得齊次方程 則 平衡狀態(tài) 給定系統(tǒng) 找Lyapunov函數(shù)V x 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 可選Lyapunov函數(shù)V x 1 V x xTQx Q 0 V x 為正定二次型 V x 稱為二次型Lyapunov函數(shù) 定理4 3設(shè)系統(tǒng)