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配方法及其應(yīng)用配方法是一元二次方程解法中非常重要的一種方法,其實質(zhì)是一種恒等變形,它通過加上并且減去相同的項,把算式的某些項配成完全n次方的形式,通常是指配成完全平方式配方法的在中學數(shù)學中的應(yīng)用非常廣泛,主要有以下幾個方面一、用配方法解方程例1 解方程:2x23x+1=0分析:用配方法解一元二次方程的一般步驟是:1將二次項的系數(shù)化為1;2移項,使含未知數(shù)的項在左邊,常數(shù)項在右邊;3配方,方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方;4將方程化為(x+m)2=n的形式;5用直接開平方法進行求解(n0無解)解:方程兩邊都除以2,得移項,得配方,得,即或所以x1=1,二、用配方法分解因式例2 把x2+4x-1分解因式分析:在原式中加上4的同時又減去4解:原式=x2+4x+4-4-1=x2+4x+4-5=(x+2)2-=三、用配方法求代數(shù)式的值例3 已知實數(shù)a,b滿足條件:,求ab的平方根分析:一個方程含有兩個未知數(shù),看似無法求出a,b但仔細觀察發(fā)現(xiàn),等式左邊可以分成兩組分別配方,正好得到兩個完全平方式的和為0,利用非負數(shù)的性質(zhì)可求出a,b的值解:,即,四、用配方法求代數(shù)式的最大(?。┲道? 代數(shù)式2x2-3x-1有最大值或最小值嗎?求出此值分析:代數(shù)式2x2-3x-1的值隨x的變化而變化,但有某一個值可能是其最?。ù螅┑模绻覀儗⑵渥冃螢橐粋€常數(shù)和一個完全平方式的和,便可求出其最小(大)值解:2x2-3x-1=2(x2-x)-1=2(x-)2+當時,有最小值0,當時,2x2-3x-1有最小值為五、用配方比較兩個代數(shù)式的大小例5 對于任意史實數(shù)x,試比較兩個代數(shù)式3x3-2x2-4x+1與3x3+4x+10的值的大小分析:比較兩個代數(shù)式的大小,可以作差比較,本題兩個代數(shù)式相減后,可以得到一個二次三項式,將此二次三項式配方后,即可判斷差的正負,從而可以判斷兩個代數(shù)式的值的大小解:(3x2-2x2-4x+1)-(3x3+4x+10)=-2x2-8x-9=-2(x+2)2-10,所以對于任意實數(shù)x,恒有3x3-2x2-4x+13x3+4x+10六、用配方法證明等式和不等式例6 已知方程中(a2+b2)x2-2b(a+c)x+b2+c2=0中字母a,b,c都是實數(shù)求證:分析:一個方程含有四個未知數(shù),看似無法求出a,b,c,x但仔細觀察發(fā)現(xiàn),方程左邊可以分成兩組分別配方,正好得到兩個完全平方式的和為0,利用非負數(shù)的性質(zhì)可求出a,b,c,x之間的關(guān)系證明:原方程坐標拆成兩個二次三項式為:(a2x2-2abx+b2)+(b2x2-2bcx+c2)=0,(ax
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