平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題).doc

第十九章平行四邊形性質(zhì)和判定綜合習(xí)題精選一解答題（共30小題）1（2011資陽(yáng)）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AEBD于E，CFBD于F（1）求證：BE=DF；（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）2（2011昭通）如圖所示，AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過點(diǎn)O，分別與AE，CF交于B，D求證：四邊形ABCD是平行四邊形3（2011徐州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)（1）求證：ABECDF；（2）若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO4（2011銅仁地區(qū)）已知：如圖，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD求證：EF=AD5（2011瀘州）如圖，已知D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CEAB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明6（2010恩施州）如圖，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)求證：四邊形MFNE是平行四邊形7（2009永州）如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A求證：四邊形AECF是平行四邊形8（2009來賓）在ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊ADE和等邊BCF，連接BE、DF求證：四邊形BEDF是平行四邊形9（2006黃岡）如圖所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE10（2006巴中）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停止點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)即停止，直線PQ截梯形為兩個(gè)四邊形問當(dāng)P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？11（2002三明）如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分12已知：如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，四邊形AODE是平行四邊形求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形13如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上求證：EF和GH互相平分14如圖：ABCD中，MNAC，試說明MQ=NP15已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O并且分別和AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為OA，OC的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形16如圖，已知在ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）若點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）17如圖，在ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AE、CF（1）求證：AF=CE；（2）如果AC=EF，且ACB=135，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論18如圖平行四邊形ABCD中，ABC=60，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，AEBD，EFBF，垂足為點(diǎn)F，DF=2（1）求證：D是EC中點(diǎn)；（2）求FC的長(zhǎng)19（2010廈門）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD20（2010濱州）如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？21（2008佛山）如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形（1）當(dāng)ABAC時(shí)，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件22如圖，以ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請(qǐng)證明之，如果不是，請(qǐng)說明理由23（2007黑龍江）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEAC交AB于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1），此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明24（2006大連）如圖1，P為RtABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），ACB=90，M為AB邊中點(diǎn)操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE探究：（1）請(qǐng)猜想與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；（2）請(qǐng)你利用圖2，圖3選擇不同位置的點(diǎn)P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖2或圖3加以說明；（注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）25（2005貴陽(yáng)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)部分，使含有一組對(duì)頂角的兩個(gè)圖形全等；（1）根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有_組；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；（3）由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？26如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD=10cm，BC=8cm點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（1）求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得BPQ的面積為20cm2？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由27已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），則第四個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是多少？28已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36cm，過D作AB，BC邊上的高DE、DF，且cm，求平行四邊形ABCD的面積29如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為原點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形，A、B、C的坐標(biāo)分別是A（3，），B（2，3），C（2，3），點(diǎn)D在第一象限（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將平行四邊形ABCD先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得的四邊形A1B1C1D1四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？（3）求平行四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1重疊部分的面積？30如圖所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求證：BE=CF答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一解答題（共30小題）1（2011資陽(yáng)）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AEBD于E，CFBD于F（1）求證：BE=DF；（2）若 M、N分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且DM=BN，試判斷四邊形MENF的形狀（不必說明理由）考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件證明ABECDF即可得到BE=DF；（2）根據(jù)平行四邊形的判定方法：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形判定四邊形MENF的形狀解答：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四邊形MENF是平行四邊形證明：有（1）可知：BE=DF，四邊形ABCD為平行四邊行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN，DNFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四邊形MENF是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)2（2011昭通）如圖所示，AECF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DB經(jīng)過點(diǎn)O，分別與AE，CF交于B，D求證：四邊形ABCD是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形解答：證明：四邊形AECF是平行四邊形OE=OF，OA=OC，AECF，DFO=BEO，F(xiàn)DO=EBO，F(xiàn)DOEBO，OD=OB，OA=OC，四邊形ABCD是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)3（2011徐州）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分別為E，F(xiàn)（1）求證：ABECDF；（2）若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AEBD，CFBD，可得AEB=CFD=90，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：ABECDF；（2）由ABECDF，即可得ABE=CDF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得ABCD，又由AB=CD，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO解答：證明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即BE=DE，AEBD，CFBD，AEB=CFD=90，AB=CD，RtABERtCDF（HL）；（2）ABECDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)此題難度不大，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用4（2011銅仁地區(qū)）已知：如圖，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD求證：EF=AD考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：由DE、DF是ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90，則可證得平行四邊形AEDF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等即可得EF=AD解答：證明：DE，DF是ABC的中位線，DEAB，DFAC，四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90，平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與矩形的判定與性質(zhì)此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用5（2011瀘州）如圖，已知D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CEAB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：根據(jù)CEAB，DE交AC于點(diǎn)O，且OA=OC，求證ADOECO，然后求證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論解答：解：猜想線段CD與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等證明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四邊形ADCE是平行四邊形，CDAE點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證ADOECO，然后可得證四邊形ADCE是平行四邊形，即可得出結(jié)論6（2010恩施州）如圖，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)求證：四邊形MFNE是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”來解決解答：證明：由平行四邊形可知，AD=CB，DAE=FCB，又AE=CF，DAEBCF，DE=BF，AED=CFB又M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，ME=NF又由ABDC，得AED=EDCEDC=BFC，MENF四邊形MFNE為平行四邊形點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法7（2009永州）如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點(diǎn)在對(duì)角線BD上，且BE=DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A求證：四邊形AECF是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩條對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形解答：證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，四邊形ABCD為平行四邊形，OA=OC，OB=ODBE=DF，OE=OF四邊形AECF為平行四邊形點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法8（2009來賓在ABCD中，分別以AD、BC為邊向內(nèi)作等邊ADE和等邊BCF，連接BE、DF求證：四邊形BEDF是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：由題意先證DAE=BCF=60，再由SAS證DCFBAE，繼而題目得證解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB，AD=CB，DAB=BCD又ADE和CBF都是等邊三角形，DE=BF，AE=CFDAE=BCF=60DCF=BCDBCF，BAE=DABDAE，DCF=BAEDCFBAE（SAS）DF=BE四邊形BEDF是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系9（2006黃岡）如圖所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中點(diǎn)，求證：BC=DE考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形DBCE是平行四邊形，即可證明BC=DE解答：證明：E是AC的中點(diǎn)，EC=AC，又DB=AC，DB=EC又DBEC，四邊形DBCE是平行四邊形BC=DE點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系10（2006巴中）已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，點(diǎn)P自點(diǎn)A向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到D點(diǎn)即停止點(diǎn)Q自點(diǎn)C向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)即停止，直線PQ截梯形為兩個(gè)四邊形問當(dāng)P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：若四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，那么QD=CQ或AP=BQ，根據(jù)這個(gè)結(jié)論列出方程就可以求出時(shí)間解答：解：設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)t秒后四邊形PDCQ或四邊形APQB是平行四邊形，根據(jù)已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四邊形PDCQ是平行四邊形，則PD=CQ，24t=2tt=88秒后四邊形PDCQ是平行四邊形；（2）若四邊形APQB是平行四邊形，則AP=BQ，t=302tt=1010秒后四邊形APQB是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，不過用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)結(jié)合梯形的知識(shí)出題學(xué)生不是很適應(yīng)11（2002三明）如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理。專題：證明題。分析：要證AE與DF互相平分，根據(jù)平行四邊形的判定，就必須先四邊形ADEF為平行四邊形解答：證明：D、E、F分別是ABC各邊的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理知：DEAC，DE=AF，EFAB，EF=AD，四邊形ADEF為平行四邊形故AE與DF互相平分點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵三角形的中位線的性質(zhì)定理，為證明線段相等和平行提供了依據(jù)12已知：如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，四邊形AODE是平行四邊形求證：四邊形ABOE、四邊形DCOE都是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：因?yàn)锳BCD，OB=OD，又AODE是平行四邊形，AE=OD，所以AE=OB，又AEOD，根據(jù)平行四邊形的判定，可推出四邊形ABOE是平行四邊形同理，也可推出四邊形DCOE是平行四邊形解答：證明：ABCD中，對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O，OB=OD，又四邊形AODE是平行四邊形，AEOD且AE=OD，AEOB且AE=OB，四邊形ABOE是平行四邊形，同理可證，四邊形DCOE也是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題要求掌握平行四邊形的判定定理：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形13如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上求證：EF和GH互相平分考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證明EF和GH互相平分，只需構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可證明解答：證明：連接EG、GF、FH、HE，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)在ABC中，EG=BC；在DBC中，HF=BC，EG=HF同理EH=GF四邊形EGFH為平行四邊形EF與GH互相平分點(diǎn)評(píng)：本題考查的是綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定定理熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對(duì)應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系14如圖：ABCD中，MNAC，試說明MQ=NP考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：先證AMQC為平行四邊形，得AC=MQ，再證APNC為平行四邊形，得AC=NP，進(jìn)而求解解答：證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AMQC，APNC又MNAC，四邊形AMQC為平行四邊形，四邊形APNC為平行四邊形AC=MQ AC=NPMQ=NP點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形15已知：如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O并且分別和AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)G，H分別為OA，OC的中點(diǎn)求證：四邊形EHFG是平行四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：要證四邊形EHFG是平行四邊形，需證OG=OH，OE=OF，可分別由四邊形ABCD是平行四邊形和OEBOFD得出解答：證明：如答圖所示，點(diǎn)O為平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，OA=OC，OB=ODG，H分別為OA，OC的中點(diǎn)，OG=OA，OH=OC，OG=OH又ABCD，1=2在OEB和OFD中，1=2，OB=OD，3=4，OEBOFD，OE=OF四邊形EHFG為平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形16如圖，已知在ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE=DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且AG=CH，連接GE、EH、HF、FG（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）若點(diǎn)G、H分別在線段BA和DC上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題；探究型。分析：（1）先由平行四邊形的性質(zhì)，得AB=CD，ABCD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得GBE=HDF再由SAS可證GBEHDF，利用全等的性質(zhì)，證明GEF=HFE，從而得GEHF，又GE=HF，運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（2）仍成立可仿照（1）的證明方法進(jìn)行證明解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE，GEHF，四邊形GEHF是平行四邊形（2）解：仍成立（證法同上）點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形17如圖，在ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AE、CF（1）求證：AF=CE；（2）如果AC=EF，且ACB=135，試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的判定。專題：證明題。分析：（1）由AFEC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DFA=DEC，DAF=DCE，而DA=DC，易證得DAFDCE，得到結(jié)論；（2）由AFEC，AF=CE，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等即AC=EF，可判斷平行四邊形AFCE是矩形，則FCE=CFA=90，通過ACB=135，可得到FCA=13590=45，則易判斷矩形AFCE是正方形解答：（1）證明：AFEC，DFA=DEC，DAF=DCE，D是AC的中點(diǎn)，DA=DC，DAFDCE，AF=CE；（2）解：四邊形AFCE是正方形理由如下：AFEC，AF=CE，四邊形AFCE是平行四邊形，又AC=EF，平行四邊形AFCE是矩形，F(xiàn)CE=CFA=90，而ACB=135，F(xiàn)CA=13590=45，F(xiàn)AC=45，F(xiàn)C=FA，矩形AFCE是正方形點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形也考查了矩形、正方形的判定方法18如圖平行四邊形ABCD中，ABC=60，點(diǎn)E、F分別在CD、BC的延長(zhǎng)線上，AEBD，EFBF，垂足為點(diǎn)F，DF=2（1）求證：D是EC中點(diǎn)；（2）求FC的長(zhǎng)考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可以得到ABCD，又AEBD，可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB=DE，故D是EC的中點(diǎn)；（2）連接EF，則EFC是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到CDF是等腰三角形，再利用ABC=60推得DCF=60，所以CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF，F(xiàn)C的長(zhǎng)度即可求出解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，ABCD，且AB=CD，又AEBD，四邊形ABDE是平行四邊形，AB=DE，CD=DE，即D是EC的中點(diǎn)；（2）解：連接EF，EFBF，EFC是直角三角形，又D是EC的中點(diǎn)，DF=CD=DE=2，在平行四邊形ABCD中，ABCD，ABC=60，ECF=ABC=60，CDF是等邊三角形，F(xiàn)C=DF=2故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，（2）中連接EF構(gòu)造出直角三角形比較重要19（2010廈門）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）由ABC是等邊三角形得到B=60，而EFB=60，由此可以證明EFDC，而DC=EF，然后即可證明四邊形EFCD是平行四邊形；（2）如圖，連接BE，由BF=EF，EFB=60可以推出EFB是等邊三角形，然后得到EB=EF，EBF=60，而DC=EF，由此得到EB=DC，又ABC是等邊三角形，所以得到ACB=60，AB=AC，然后即可證明AEBADC，利用全等三角形的性質(zhì)就證明AE=AD解答：證明：（1）ABC是等邊三角形，ABC=60，EFB=60，ABC=EFB，EFDC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），DC=EF，四邊形EFCD是平行四邊形；（2）連接BEBF=EF，EFB=60，EFB是等邊三角形，EB=EF，EBF=60DC=EF，EB=DC，ABC是等邊三角形，ACB=60，AB=AC，EBF=ACB，AEBADC，AE=AD點(diǎn)評(píng)：此題把等邊三角形和平行四邊形結(jié)合在一起，首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，最后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題20（2010濱州）如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說明為什么；（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？考點(diǎn)：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）連接AC，利用中位線定理即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；（2）由于四邊形EFGH為正方形，那么它的鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理可以推出四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等解答：解：（1）如圖，四邊形EFGH是平行四邊形連接AC，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EFAC，EF=AC同理HGAC，EFHG，EF=HGEFGH是平行四邊形；（2）四邊形ABCD的對(duì)角線垂直且相等假若四邊形EFGH為正方形，它的每一組鄰邊互相垂直且相等，根據(jù)中位線定理得到四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)該互相垂直且相等點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的中位線定理，及平行四邊形的判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)21（2008佛山）如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形（1）當(dāng)ABAC時(shí)，證明：四邊形ADFE為平行四邊形；（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，順次連接A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）要證明ADEF是平行四邊形，可通過證明EF=AD，DF=AE來實(shí)現(xiàn)，AD=AC，AE=AB，那么只要證明ABCDFC以及FEBCAB即可AD=DC，CF=CB，又因?yàn)镕CB=ACD=60，那么都減去一個(gè)ACE后可得出BCA=FCD，那么就構(gòu)成了SAS，ABCDFC，就能求出AE=DF，同理可通過證明FEBCAB得出EF=AD（2）可按BAC得度數(shù)的不同來分情況討論，如果BAC=60，EAD+BAC+DAC=180，因此，A與F重合A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為一條線段當(dāng)BAC60時(shí)，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是菱形解答：（1）證明：ABE、BCF為等邊三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60CBA=FBEABCEBFEF=AC又ADC為等邊三角形，CD=AD=ACEF=AD同理可得AE=DF四邊形AEFD是平行四邊形（2）解：構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段當(dāng)圖形為菱形時(shí)，BAC60（或A與F不重合、ABC不為正三角形）當(dāng)圖形為線段時(shí)，BAC=60（或A與F重合、ABC為正三角形）點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是通過三角形的全等來得出線段的相等，要先確定所要證得線段所在的三角形，然后看證明三角形全等的條件是否充足，缺少條件的要根據(jù)已知先求出了22如圖，以ABC的三邊為邊，在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四邊形AFED是否為平行四邊形？如果是，請(qǐng)證明之，如果不是，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：由等邊三角形的性質(zhì)易得BEDBCA，CBACEF，從而得到DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形AFED是平行四邊形解答：解：四邊形AFED是平行四邊形證明如下：在BED與BCA中，BE=BC，BD=BA（均為同一等邊三角形的邊）DBE=ABC=60EBABEDBCA（SAS）DE=AC又AC=AFDE=AF在CBA與CEF中，CB=CE，CA=CFACB=FCE=60+ACECBACEF（SAS）BA=EF又BA=DA，DA=EF故四邊形AFED為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察題目所給的條件，仔細(xì)選擇適合于題目的判定方法進(jìn)行解答，避免混用判定方法23（2007黑龍江）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PEAC交AB于點(diǎn)E，PFAB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1），此時(shí)PD=0，可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在ABC內(nèi)（如圖2），ABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：探究型。分析：在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE=AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中，PE=AF可證，F(xiàn)D=PFPD=CF，即PFPD+PE=AC=AB解答：解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB證明：過點(diǎn)P作MNBC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，由題意得PE+PF=AM四邊形BDPM是平行四邊形，MB=PDPD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB圖3結(jié)論：PE+PFPD=AB點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵24（2006大連）如圖1，P為RtABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)（不在直線AC上），ACB=90，M為AB邊中點(diǎn)操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連續(xù)PM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE探究：（1）請(qǐng)猜想與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論；（2）請(qǐng)你利用圖2，圖3選擇不同位置的點(diǎn)P按上述方法操作；（3）經(jīng)歷（2）之后，如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是正確的，請(qǐng)加以證明；如果你認(rèn)為你寫的結(jié)論是錯(cuò)誤的，請(qǐng)用圖2或圖3加以說明；（注意：錯(cuò)誤的結(jié)論，只要你用反例給予說明也得分）（4）若將“RtABC”改為“任意ABC”，其他條件不變，利用圖4操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：探究型。分析：連接BE，根據(jù)邊角邊可證三角形PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又BCAC，所以DE也和AC垂直以下幾種情況雖然圖象有所變化，但是證明方法一致解答：解：（1）DEBC，DE=BC，DEAC（2）如圖4，如圖5（3）方法一：如圖6，連接BE，PM=ME，AM=MB，PMA=EMB，PMAEMBPA=BE，MPA=MEB，PABE平行四邊形PADC，PADC，PA=DCBEDC，BE=DC，四邊形DEBC是平行四邊形DEBC，DE=BCACB=90，BCAC，DEAC方法二：如圖7，連接BE，PB，AE，PM=ME，AM=MB，四邊形PAEB是平行四邊形PABE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如圖8，連接PD，交AC于N，連接MN，平行四邊形PADC，AN=NC，PN=NDAM=BM，AN=NC，MNBC，MN=BC又PN=ND，PM=ME，MNDE，MN=DEDEBC，DE=BCACB=90，BCACDEAC（4）如圖9，DEBC，DE=BC點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及全等的應(yīng)用，難易程度適中25（2005貴陽(yáng)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，小強(qiáng)用兩條直線把平行四邊形ABCD分割成四個(gè)部分，使含有一組對(duì)頂角的兩個(gè)圖形全等；（1）根據(jù)小強(qiáng)的分割方法，你認(rèn)為把平行四邊形分割成滿足以上全等關(guān)系的直線有無數(shù)組；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中的三個(gè)平行四邊形中畫出滿足小強(qiáng)分割方法的直線；（3）由上述實(shí)驗(yàn)操作過程，你發(fā)現(xiàn)所畫的兩條直線有什么規(guī)律？考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。專題：作圖題。分析：注意由于平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故只要過它的對(duì)稱中心畫直線即可解答：解：（1）無數(shù)；（2）作圖的時(shí)候要首先找到對(duì)角線的交點(diǎn)，只要過對(duì)角線的交點(diǎn)，任畫一條直線即可如圖有：AE=BE=DF=CF，AM=CN（3）這兩條直線過平行四邊形的對(duì)稱中心（或?qū)蔷€的交點(diǎn)）點(diǎn)評(píng)：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，平行四邊形的兩條對(duì)角線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是平行四邊形的中心，也是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，經(jīng)過中心的任意一條直線可將平行四邊形分成完全重合的兩個(gè)圖形26如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD=10cm，BC=8cm點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（1）求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得BPQ的面積為20cm2？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；直角梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）過點(diǎn)A作AMCD于M，根據(jù)勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖示，由題可得：BP=103t，DQ=2t，所以可以列出方程103t=2t，解得t=2，此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，在CBQ中，根據(jù)勾股定理，求出BQ即可（3）此題要分三種情況進(jìn)行討論：即當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，可以確定t的值解答：解：（1）過點(diǎn)A作AMCD于M，根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，DM=6，CD=16；（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖，由題知：BP=103t，DQ=2t103t=2t，解得t=2此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12四邊形PBQD的周長(zhǎng)=2（BP+BQ）=；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即時(shí)，如圖當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即時(shí)，如圖BP=3t10，CQ=162t化簡(jiǎn)得：3t234t+100=0，=440，所以方程無實(shí)數(shù)解當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6t，則有PQ=345t，6，舍去若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，即，則有PQ=5t34，t=7.8綜合得，滿足條件的t存在，其值分別為，t2=7.8點(diǎn)