【優(yōu)秀教案】高中數(shù)學第二冊上_第八章_圓錐曲線方程：_8[1]1橢圓及其標準方程.doc

8.1 橢圓及其標準方程 一、教學目標1.知識教學點使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程2.能力訓練點通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力3.學科滲透點通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力二、教材分析1重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較)2難點：橢圓的標準方程的推導(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明)3疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡)三、活動設計提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答四、教學過程(一)橢圓概念的引入前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形問題2：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”對同學提出的軌跡命題如：“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡”“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡”教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等認識橢圓（幻燈片）在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距學生開始只強調(diào)主要幾何特征到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”(二)橢圓標準方程的推導1標準方程的推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟(1)建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)囊詢啥cF1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)設|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)(2)點的集合由定義不難得出橢圓集合為：P=M|MF1|+|MF2|=2a(3)代數(shù)方程(4)化簡方程化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要(ab0)關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)這里c2=a2-b22兩種標準方程的比較(引導學生歸納)F1(-c，0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到教師指出：在兩種標準方程中，a2b2，可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上不同點標準方程oyxF2F1MF1F2Moyx圖形焦點坐標F1(c,0) , F2(c,0)F1(c,0) , F2(c,0)共同點定義a、b、c的關系ab0，b，c大小不確定。焦點的位置的判定x,y項中哪個分母大，焦點就在那一條軸上。(三)例題與練習例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程： (1)兩個焦點的坐標分別是(4，0)、(4，0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10； (2)兩個焦點的坐標分別是(0，2)、(0，2)，并且橢圓經(jīng)過點 解：(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為 2a10，2c8， a5，c4 b2=a2c2=5242=9 所以所求橢圓的標準方程為 (2)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為 由橢圓的定義知， 又c=2， b2=a2c2104=6 所以所求橢圓的標準方程為 例2 已知B、C是兩個定點，|BC|6，且ABC的周長等于16，求頂點A的軌跡方程 分析：在解析幾何里，求符合某種條件的點的軌跡方程，要建立適當?shù)淖鴺讼禐檫x擇適當?shù)淖鴺讼担３Ｐ枰嫵霾輬D 在圖84中，由ABC的周長等于16，|BC|6可知，點A到B、C兩點的距離的和是常數(shù)，即|AB|AC|=166=10，因此，點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，據(jù)此可建立坐標系并畫出草圖(圖84) 解：如圖84，建立坐標系，使x軸經(jīng)過點B、C，原點O與BC的中點重合 由已知|AB|AC|BC|=16，|BC|=6，有|AB|AC|=10， 即點A的軌跡是橢圓，且 2c6，2a16610， c3，a5，b2523216 但當點A在直線BC上，即y0時，A、B、C三點不能構成三角形，所以點A的軌跡方程是 注 求出曲線的方程后，要注意檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如果有不符合題意的點，應在所得方程后注明限制條件 練習1、橢圓的a=_,b=_,c=_.焦點坐標是 。練習2、動點P到兩個定點的距離之和為8,則P點的軌跡為( ）A、橢圓 B、線段F1F2 C、直線F1F2 D、不能確定練習3、橢圓上一點P到焦點F1的距離等于6，則點P到另一個焦點F2的距離是_。練習4、寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在x軸上，a=4,b=1(2) 練習5、方程x2+ky2=2的曲線是焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（ ） A、（0，+） B、（0，2） C、（1，+ ） D、（0，1）練習6、方程 表示焦點在X軸上的橢圓，則k的取值范圍為 .引申：在平面直角坐標系中，已知ABC中B(-3,0)，C(3,0),且三邊|AC|, |BC| , |AB|長依次成等差數(shù)列，求頂點A的軌跡方程。 (四)小結1定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡2焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)3.討論了求橢圓標準方程的方法：注意：求出曲線的方程之后，要驗證方程的曲線上的點是否都符合題意，如有不