巧用單調(diào)性處理一類無理函數(shù)的值域.doc

巧用單調(diào)性處理一類無理函數(shù)的值域在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的值域問題一直以來都是一個(gè)重要的問題。對型如其中（c為常數(shù)）的無理函數(shù)的值域問題還沒有一個(gè)統(tǒng)一的處理。本文從利用單調(diào)性角度談?wù)勥@類無理函數(shù)的值域的處理，期望得到一個(gè)統(tǒng)一的方法。結(jié)論1 若，在區(qū)間上單調(diào)遞增。在區(qū)間上單調(diào)遞減。證明： 由若則即 解出結(jié)合函數(shù)定義域得單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間。同理可以證明結(jié)論2 若 ，的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為結(jié)論3 若時(shí)，在上是增函數(shù)而在上也是增函數(shù)在定義域上是增函數(shù)。若時(shí)，在上是減函數(shù)而在上也是減函數(shù) 在定義域上是減函數(shù)。（證明略）下面以具體的例子說明這類無理函數(shù)值域的處理。例1 求函數(shù)的值域。解：先作變換，由可令則函數(shù)化為 （）由結(jié)論1知當(dāng)，即時(shí)是增函數(shù)此時(shí)， 由結(jié)論2知當(dāng)即時(shí)是減函數(shù)此時(shí) 所以的值域?yàn)槔? 求函數(shù)的值域。分析：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為形式由換元令則函數(shù)化為（）解：由結(jié)論1知，當(dāng)即時(shí)函數(shù)為是增函數(shù)， 由結(jié)論2知當(dāng)即時(shí)函數(shù)為是減函數(shù)， 綜上：的值域?yàn)檎f明：在轉(zhuǎn)化時(shí)也可以化為類似處理。例3求函數(shù)的值域。分析：注意到前后兩個(gè)根式都有故可以作代換，變?yōu)榍懊娼Y(jié)論的形式。解：將函數(shù)變?yōu)椋ㄒ部梢宰優(yōu)椋┯蓳Q元令函數(shù)化為由結(jié)合定義域有所以由結(jié)論1知，當(dāng)即函數(shù)是增函數(shù)， 由結(jié)論2知當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù)， 綜上：的值域?yàn)槔? 求函數(shù)的值域。解：函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減在上也是單調(diào)遞減。由與結(jié)論3類似知在上是減函數(shù)。所以 即值域?yàn)槔? 求函數(shù)的值域。解：先換元令由原函數(shù)知得函數(shù)（）由在上是單調(diào)遞增的在上也是單調(diào)遞增的在是增函數(shù)所以 即值域?yàn)槔?求函數(shù)的值域。解：換元令結(jié)合原函數(shù)有得函數(shù)（）由在上是單調(diào)遞減的在上也是單調(diào)遞減的在是減函數(shù)所以 即值域?yàn)樽詈笠赋龅氖窃谇蠛瘮?shù)其中（c為常數(shù)）