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第3章流體動力學理論基礎 第3章流體動力學理論基礎 運動流體 第3章流體動力學理論基礎 第3章流體動力學理論基礎 第3章流體動力學理論基礎 研究思路 理想流體 0 實際流體 0 研究內(nèi)容 p p x y z t u u x y z t 基本理論 質(zhì)量守恒定律 牛頓第二定律 重點掌握 恒定總流的三大基本方程 3 1描述流體運動的方法 拉格朗日法研究對象 流體質(zhì)點或質(zhì)點系 固體運動常采用拉格朗日法研究 但流體運動一般較固體運動復雜 通常采用歐拉法研究 3 1描述流體運動的方法 歐拉法研究對象 流場當?shù)丶铀俣?時變加速度 遷移加速度 位變加速度 3 2研究流體運動的若干基本概念 恒定流動與非恒定流動一元流動 二元流動 三元流動流線與跡線定義 3 2研究流體運動的若干基本概念 基本方程流線性質(zhì)一般情況 流線不能相交 且只能是一條光滑曲線 跡線 3 2研究流體運動的若干基本概念 流線充滿整個流場 定常流動時 流線的形狀 位置不隨時間變化 且與跡線重合 流線越密 流速越大 例題1 3 2研究流體運動的若干基本概念 流管 元流 總流 過流斷面 3 2研究流體運動的若干基本概念 流量 斷面平均流速流量 單位時間通過的流體量 常用單位 m3 s或L s換算關(guān)系 1m3 1000L 3 2研究流體運動的若干基本概念 斷面平均流速過流斷面上實際流速分布都是非均勻的 在流體力學中 為方便應用 常引入斷面平均流速概念 3 2研究流體運動的若干基本概念 均勻流與非均勻流 漸變流均勻流 各流線為平行直線的流動 其遷移加速度等于零 即非均勻流 各流線或為曲線 或為彼此不平行的直線 其遷移加速度不等于零 即天然河流為典型的非均勻流動 非均勻流動根據(jù)其流線彎曲程度又可分為漸變流和急變流 3 2研究流體運動的若干基本概念 漸變流 流線近似為平行直線的流動 或流線的曲率半徑R足夠大而流線之間的夾角 足夠小的流動 3 2研究流體運動的若干基本概念 漸變流過流斷面的兩個重要性質(zhì)漸變流過流斷面近似為平面 漸變流過流斷面上的動壓近似按靜壓分布 即 3 3流體運動的連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學中的數(shù)學表達式 一 連續(xù)性微分方程取如圖所示微小六面體為控制體 分析在dt時間內(nèi)流進 流出控制體的質(zhì)量差 3 3流體運動的連續(xù)性方程 x方向 3 3流體運動的連續(xù)性方程 Y方向 Z方向 據(jù)質(zhì)量守恒定律 單位時間內(nèi)流進 流出控制體的流體質(zhì)量差等于控制體內(nèi)流體面密度發(fā)生變化所引起的質(zhì)量增量 即 3 3流體運動的連續(xù)性方程 將代入上式 化簡得 或上式即為流體運動的連續(xù)性微分方程的一般形式 3 3流體運動的連續(xù)性方程 對于恒定不可壓縮流體 連續(xù)性方程可進行簡化 定常流或 不可壓縮流體或 例題2 3 3流體運動的連續(xù)性方程 二 連續(xù)性積分方程取圖示總流控制體 將連續(xù)性微分方程對總流控制體積分 3 3流體運動的連續(xù)性方程 因控制體不隨時間變化 故式中第一項 據(jù)數(shù)學分析中的高斯定理 式中第二項 3 3流體運動的連續(xù)性方程 故得連續(xù)性積分方程的一般形式為 3 3流體運動的連續(xù)性方程 三 定常不可壓縮總流的連續(xù)性方程 對于定常不可壓縮 常數(shù) 總流 連續(xù)性積分方程可簡化為 3 3流體運動的連續(xù)性方程 取圖示管狀總流控制體 因其側(cè)面上un 0 為什么 請思考 故有 3 3流體運動的連續(xù)性方程 式中第一項取負號是因為流速u1與dA2的外法線方向相反 應用積分中值定理 可得 上式即為恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程 說明 流體運動的連續(xù)性方程是不涉及任何作用力的運動學方程 因此對實際流體和理想流體均適用 例題3 3 4理想流體運動微分方程 將歐拉平衡微分方程 推廣到理想運動流體 得上式也稱為歐拉運動微分方程 3 5能量 伯努利 方程 一 理想流體定常元流的伯努利方程 將各項點乘單位線段 得 3 5能量 伯努利 方程 為積分上式 現(xiàn)附加限制條件 定常流 不可壓縮流體 質(zhì)量力只有重力 f ds gdz 沿流線積分 3 5能量 伯努利 方程 代入整理積分得 或沿同一流線上式即為理想流體定常元流的伯努利方程 1 2 S 3 5能量 伯努利 方程 伯努利方程的物理意義 伯努利方程的幾何意義 3 5能量 伯努利 方程 二 實際流體定常元流的伯努利方程 實際流體由于粘性的存在 在運動過程中 存在能量耗散 機械能沿流線不守恒 設為單位重量流體沿線的機械能損失 亦稱水頭損失 則據(jù)能量恒定律 可得實際流體定常元流的伯努利方程 3 5能量 伯努利 方程 為了形象地了解流體運動時能量沿示的變化情況定義 測壓管線坡度 總水頭線坡度 實際流體 理想流體 均勻流體 例題4 3 5能量 伯努利 方程 三 實際流體定?？偭鞯牟匠虒嶋H工程中往往要解決的是總流問題 現(xiàn)將實際流體定常元流的伯努利方程推廣到總流 適用條件流體是不可壓縮的 流動為定常的 質(zhì)量力只有重力 過流斷面為漸變流斷面 兩過流斷面間沒有能量的輸入或輸出 否則應進行修正 3 5能量 伯努利 方程 式中 H為單位重量流體流過水泵 風機所獲得的能量 取 或流進水輪機失去的能量 取 應用定常總流的伯努利方程解題時 應注意的問題 基準面 過流斷面 計算點的選取 壓強p的計量標準 例題5 例題6 3 6動量方程 一 歐拉型積分形式的動量方程 據(jù)理論力學知 質(zhì)點系的動量定理為 上式是針對系統(tǒng)而言的 通常稱為拉格朗日型動量方程 現(xiàn)應用控制體概念 將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動量方程 3 6動量方程 如圖所示 設t時刻系統(tǒng)與控制體 虛線 重合 控制體內(nèi)任意點的密度為 流速為 3 6動量方程 t時刻系統(tǒng)的動量 t t時刻系統(tǒng)的動量 3 6動量方程 將t時刻和t t時刻系統(tǒng)的動量代入拉格朗日型動量方程 整理得 上式即為歐拉型積分形式的動量方程 3 6動量方程 二 定常不可壓縮總流的動量方程 對于恒定不可壓縮總流 歐拉型 積分形式的動量方程可簡化為 式中 3 6動量方程 故 上式即為恒定總流的動量方程 其中 稱為動量修正系數(shù) 一般流動 1 02 1 05 工程中常見流動通常取 1 0 3 6動量方程 適用條件不可壓縮流體 定常流動 應用時應注意的問題動量方程為矢量方程 應用時必須按矢量規(guī)則進行計算 例題7 伯努利簡介 丹 伯努利 DanielBernoull 1700 1782 瑞士科學家 曾在俄國彼得堡科學院任教 他在流體力學 氣體動力學 微分方程和概率論等方面都有重大貢獻 是理論流體力學的創(chuàng)始人 伯努利以 流體動力學 1738 一書著稱于世 書中提出流體力學的一個定理 反映了理想流體 不可壓縮 不計粘性的流體 中能量守恒定律 這個定理和相應的公式稱為伯努利定理和伯努利公式 他的固體力學論著也很多 他對好友歐拉提出建議 使歐拉解出彈性壓桿失穩(wěn)后的形狀 即獲得彈性曲線的精確結(jié)果 1733 1734年他和歐拉在研究上端懸掛重鏈的振動問題中用了貝塞爾函數(shù) 并在由若干個重質(zhì)點串聯(lián)成離散模型的相應振動問題中引用了拉格爾多項式 他在1735年得出懸臂梁振動方程 1742年提出彈性振動中的疊加原理 并用具體的振動試驗進行驗證 他還考慮過不對稱浮體在液面上的晃動方程等 例題1 例1 已知平面流動的流速分布為ux kxuy ky其中y 0 k為常數(shù) 試求 流線方程 跡線方程 解 據(jù)y 0知 流體流動僅限于xy半平面內(nèi) 因運動要素與時間t無關(guān) 故該流動為恒定二元流 流線方程 積分得 該流線為一組等角雙曲線 例題1 跡線方程 積分得 與流線方程相同 表恒定流動時 流線與跡線在幾何上完全重合 例題2 例2 假設不可壓縮流體的流速場為ux f y z uy uz 0試判斷該流動是否存在 解 判斷流動是否存在 主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程 本題 滿足 故該流動存在 例題3 例3 已知變擴管內(nèi)水流作恒定流動 其突擴前后管段后管徑之比d1 d2 0 5 則突擴前后斷面平均流速之比v1 v2 解 據(jù)恒定不可壓縮總流的連續(xù)性方程有v1 v2 d2 d1 2 4 例題4 例4 皮托管是一種測量流體點流速的裝置 它是由測壓管和一根與它裝在一起且兩端開口的直角彎管 稱為測速管 組成 如圖所示 測速時 將彎端管口對著來流方向置于A點下游同一流線上相距很近的B點 流體流入測速管B點 該點流速等于零 稱為駐點 動能全部轉(zhuǎn)化為勢能 測速管內(nèi)液柱保持一定高度 試根據(jù)B A兩點的測壓管水頭差計算A點的流速 例題4 例題4 解 先按理想流體研究 由A至B建立恒定元流的伯努利方程 有故考慮到實際流體粘性作用引起的水頭損失和測速管對流動的影響 實際應用時 應對上式進行修正 式中 稱為皮托管系數(shù) 由實驗確定 通常接近于1 0 例題5 例5 如圖所示管流 已知H d hW 試求通過流量Q 并繪制總水頭線和測壓管水頭線 例題5 解 據(jù)1 2建立總流的伯努利方程 有 得 例題5 討論在理想流體情況下 hw 0 則在H d不變情況下 若欲使Q增加 可采取什么措施 例題6 例6 文丘里流量計是一種測量有壓管道中液體流量的儀器 它是由光滑的收縮段 喉管與擴散段三部分組成 如圖所示 已知 或 試求管道的通過能量Q 例題6 解 從1 2建立總流的伯努利方程 取 則得 式中 可據(jù)總流的連續(xù)性方程求得 例題6 將其