圓錐曲線經(jīng)典例題.doc

學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 第二節(jié)第二節(jié) 圓錐曲線圓錐曲線 第一部分第一部分 五年高考薈萃五年高考薈萃 20092009 年高考題年高考題 2009 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編 圓錐曲線圓錐曲線 一 選擇題一 選擇題 1 2009 全國卷 理 設(shè)雙曲線 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的漸近線與拋物線 y x2 1 相切 則該雙曲線的離心率等 于 A 3 B 2 C 5 D 6 解析 設(shè)切點 00 P xy 則切線的斜率為 0 0 2 x x yx 由題意有 0 0 0 2 y x x 又 2 00 1yx 解得 22 0 1 2 1 5 bb xe aa 答案 C 2 2009 全國卷 理 已知橢圓 2 2 1 2 x Cy 的右焦點為F 右準線為l 點Al 線段AF交C于點B 若 3FAFB 則 AF A 2 B 2 C 3 D 3 解析 過點 B 作BMl 于 M 并設(shè)右準線l與 X 軸的交點為 N 易知 FN 1 由題意3FAFB 故 2 3 BM 又由橢 圓的第二定義 得 2 22 233 BF 2AF 故選 A 答案 A 3 2009 浙江理 過雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 的右頂點A作斜率為1 的直線 該直線與雙曲線的兩條漸近線 的交點分別為 B C 若 1 2 ABBC 則雙曲線的離心率是 A 2 B 3 C 5 D 10 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 解析 對于 0A a 則直線方程為0 xya 直線與兩漸近線的交點為 B C 22 aabaab BC ab ababab 則有 22 2222 22 a ba babab BCAB ababab ab 因 22 2 4 5ABBCabe 答案 C 4 2009 浙江文 已知橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦點為F 右頂點為A 點B在橢圓上 且BFx 軸 直 線AB交y軸于點P 若2APPB 則橢圓的離心率是 A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 解析 對于橢圓 因為2APPB 則 1 2 2 2 OAOFace 答案 D 5 2009 北京理 點P在直線 1l yx 上 若存在過P的直線交拋物線 2 yx 于 A B兩點 且 PAAB 則 稱點P為 點 那么下列結(jié)論中正確的是 A 直線l上的所有點都是 點 B 直線l上僅有有限個點是 點 C 直線l上的所有點都不是 點 D 直線l上有無窮多個點 點不是所有的點 是 點 解析解析 本題主要考查閱讀與理解 信息遷移以及學生的學習潛力 考查學生分析問題和解決問題的能力 屬于創(chuàng) 新題型 本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解 如圖 設(shè) 1A m nP x x 則 2 22Bmxnx 2 A Byx 在上 2 2 21 2 nm nxmx 消去 n 整理得關(guān)于 x 的方程 22 41 210 xmxm 1 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 222 41 4 21 8850mmmm 恒成立 方程 1 恒有實數(shù)解 應(yīng)選 A 答案答案 A 6 2009 山東卷理 設(shè)雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線與拋物線 y x 2 1 只有一個公共點 則雙曲線的離心率為 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 雙曲線1 2 2 2 2 b y a x 的一條漸近線為x a b y 由方程組 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故選 D 答案 D 命題立意 本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念 以及直線與拋物線的位置關(guān)系 只有一個公共點 則解 方程組有唯一解 本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能 7 2009 山東卷文 設(shè)斜率為 2 的直線l過拋物線 2 0 yaxa 的焦點 F 且和y軸交于點 A 若 OAF O 為坐標原點 的面積為 4 則拋物線方程為 A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 解析 拋物線 2 0 yaxa 的焦點 F 坐標為 0 4 a 則直線l的方程為2 4 a yx 它與y軸的交點為 A 0 2 a 所以 OAF 的面積為 1 4 2 42 aa 解得8a 所以拋物線方程為 2 8yx 故選 B 答案 B 命題立意 本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算 考查數(shù)形結(jié)合的 數(shù)學思想 其中還隱含著分類討論的思想 因參數(shù)a的符號不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應(yīng)變 化有兩種情況 這里加絕對值號可以做到合二為一 8 2009 全國卷 文 雙曲線1 36 22 yx 的漸近線與圓 0 3 222 rryx相切 則 r A 3 B 2 C 3 D 6 解析 本題考查雙曲線性質(zhì)及圓的切線知識 由圓心到漸近線的距離等于 r 可求 r 3 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 答案 A 9 2009 全國卷 文 已知直線 0 2 kxky與拋物線 C xy8 2 相交 A B 兩點 F 為 C 的焦點 若 FBFA2 則 k 3 1 3 2 3 2 3 22 解析 本題考查拋物線的第二定義 由直線方程知直線過定點即拋物線焦點 2 0 由2FAFB 及第二定義 知 2 22 BA xx聯(lián)立方程用根與系數(shù)關(guān)系可求 k 2 2 3 答案 D 1 2009 安徽卷理 下列曲線中離心率為 6 2 的是 22 1 24 xy 22 1 42 xy 22 1 46 xy 22 1 410 xy 解析 由 6 2 e 得 222 222 331 1 222 cbb aaa 選 B 答案 11 2009 福建卷文 若雙曲線 22 22 1 3 xy ao a 的離心率為 2 則a等于 A 2 B 3 C 3 2 D 1 解析 由 222 2 3 12 3 xya aa c 可知虛軸b 3 而離心率e a 解得 a 1 或 a 3 參照選項知而應(yīng)選 D 答案 D 12 2009 安徽卷文 下列曲線中離心率為的 是 A B C D 解析 依據(jù)雙曲線 22 22 1 xy ab 的離心率 c e a 可判斷得 6 2 c e a 選 B 答案 B 13 2009 江西卷文 設(shè) 1 F和 2 F為雙曲線 22 22 1 xy ab 0 0ab 的兩個焦點 若 12 FF 0 2 Pb是正三角形的 三個頂點 則雙曲線的離心率為 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 解析 由 3 tan 623 c b 有 2222 344 cbca 則2 c e a 故選 B 答案 B 14 2009 江西卷理 過橢圓 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦點 1 F作x軸的垂線交橢圓于點P 2 F為右焦點 若 12 60FPF 則橢圓的離心率為 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 解析 因為 2 b Pc a 再由 12 60FPF 有 2 3 2 b a a 從而可得 3 3 c e a 故選 B 答案 B 15 2009 天津卷文 設(shè)雙曲線 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的虛軸長為 2 焦距為32 則雙曲線的漸近線方程為 A xy2 B xy2 C xy 2 2 D xy 2 1 解析 由已知得到2 3 1 22 bcacb 因為雙曲線的焦點在 x 軸上 故漸近線方程為 xx a b y 2 2 答案 C 考點定位 本試題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)和運用 考察了同學們的運算能力和推理能力 16 2009 湖北卷理 已知雙曲線 22 1 22 xy 的準線過橢圓 22 2 1 4 xy b 的焦點 則直線2ykx 與橢圓至多有一個交 點的充要條件是 A 1 1 2 2 K B 11 22 K C 22 22 K D 22 22 K 解析 易得準線方程是 2 2 1 2 a x b 所以 2222 41cabb 即 2 3b 所以方程是 22 1 43 xy 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 聯(lián)立2 ykx 可得 22 3 4k 16k 40 xx 由0 可解得 A 答案 A 17 2009 四川卷文 理 已知雙曲線 0 1 2 2 22 b b yx 的左 右焦點分別是 1 F 2 F 其一條漸近線方程為xy 點 3 0 yP在雙曲線上 則 1 PF 2 PF A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由漸近線方程為xy 知雙曲線是等軸雙曲線 雙曲線方程是2 22 yx 于是兩焦點坐標分別是 2 0 和 2 0 且 1 3 P或 1 3 P 不妨去 1 3 P 則 1 32 1 PF 1 32 2 PF 1 PF 2 PF 01 32 32 1 32 1 32 答案 C 18 2009 全國卷 理 已知直線 20yk xk 與拋物線 2 8C yx 相交于AB 兩點 F為C的焦點 若 2 FAFB 則k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析 設(shè)拋物線 2 8C yx 的準線為 2l x 直線 20yk xk 恒過定點 P 2 0 如圖過AB 分 別作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 則 2 AMBN 點 B 為 AP 的中點 連結(jié)OB 則 1 2 OBAF OBBF 點B的橫坐標為1 故點B的坐標為 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故選 D 答案 D 19 2009 全國卷 理 已知雙曲線 22 22 10 0 xy Cab ab 的右焦點為F 過F且斜率為3的直線交C于 AB 兩點 若4AFFB 則C的離心率為 A 6 5 B 7 5 C 5 8 D 9 5 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 解析 設(shè)雙曲線 22 22 1 xy C ab 的右準線為l 過AB 分 別作AMl 于M BNl 于N BDAMD 于 由直線 AB 的斜率為3 知直線 AB 的傾斜角 1 6060 2 BADADAB 由雙曲線的第二定義有 1 AMBNADAFFB e 11 22 ABAFFB 又 156 43 25 AFFBFBFBe e 答案 A 20 2009 湖南卷文 拋物線 2 8yx 的焦點坐標是 A 2 0 B 2 0 C 4 0 D 4 0 解析 由 2 8yx 易知焦點坐標是 0 2 0 2 p 故選 B 答案 B 21 2009 寧夏海南卷理 雙曲線 2 4 x 2 12 y 1 的焦點到漸近線的距離為 A 2 3 B 2 C 3 D 1 解析 雙曲線 2 4 x 2 12 y 1 的焦點 4 0 到漸近線3yx 的距離為 340 2 3 2 d 答案 A 22 2009 陜西卷文 0mn 是 方程 22 1mxny 表示焦點在 y 軸上的橢圓 的 A 充分而不必要條件 B 必要而不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 解析 將方程 22 1mxny 轉(zhuǎn)化為 22 1 11 xy mn 根據(jù)橢圓的定義 要使焦點在 y 軸上必須滿足 11 0 0 mn 所以 11 nm 答案 C 23 2009 全國卷 文 設(shè)雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 的漸近線與拋物線 2 1y x 相切 則該雙曲線的離心率 等于 A 3 B 2 C 5 D 6 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 解析 由題雙曲線 22 22 00 xy ab ab 1 的一條漸近線方程為 a bx y 代入拋物線方程整理得 0 2 abxax 因漸近線與拋物線相切 所以04 22 ab 即55 22 eac 故選擇 C 答案 C 24 2009 湖北卷文 已知雙曲線1 4 1 22 2 2222 b yxyx 的準線經(jīng)過橢圓 b 0 的焦點 則b A 3 B 5 C 3 D 2 解析 可得雙曲線的準線為 2 1 a x c 又因為橢圓焦點為 2 4 0 b 所以有 2 41b 即b2 3 故b 3 故 C 答案 C 27 2009 天津卷理 設(shè)拋物線 2 y 2x 的焦點為 F 過點 M 3 0 的直線與拋物線相交于 A B 兩點 與拋物線 的準線相交于 C BF 2 則 BCF 與 ACF 的面積之比 BCF ACF S S A 4 5 B 2 3 C 4 7 D 1 2 6 4 2 2 4 6 10 5510 x 0 5 F 0 51 0 00 h x 2 x 3 g y 1 2 f y y2 2 A B F C 解析 由題知 12 12 2 1 2 1 A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 又3 2 3 2 2 1 BBB yxxBF 由 A B M 三點共線有 BM BM AM AM xx yy xx yy 即 2 3 3 30 3 20 A A x x 故2 A x 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 5 4 14 13 12 12 A B ACF BCF x x S S 故選擇 A 答案 A 28 2009 四川卷理 已知直線 1 4 360lxy 和直線 2 1lx 拋物線 2 4yx 上一動點P到直線 1 l和直線 2 l的距離之和的最小值是 A 2 B 3 C 11 5 D 37 16 考點定位 本小題考查拋物線的定義 點到直線的距離 綜合題 解析 1 直線 2 1lx 為拋物線 2 4yx 的準線 由拋物線的定義知 P到 2 l的距離等于P到拋物線的焦點 0 1 F的距離 故本題化為在拋物線 2 4yx 上找一個點P使得P到點 0 1 F和直線 2 l的距離之和最小 最小值為 0 1 F到直線 1 4 360lxy 的距離 即 2 5 604 min d 故選擇 A 解析 2 如圖 由題意可知 22 3 1 06 2 34 d 答案 A 二 填空題 29 2009 寧夏海南卷理 設(shè)已知拋物線 C 的頂點在坐標原點 焦點為 F 1 0 直線 l 與拋物線 C 相交于 A B 兩點 若 AB 的中點為 2 2 則直線 l 的方程為 解析 拋物線的方程為 2 4yx 2 11 112212 2 22 22 12 1212 1212 4 4 4 41 yx A x yB xyxx yx yy yyxx xxyy 則有 兩式相減得 直線l 的方程為y 2 x 2 即y x 答案 y x 30 2009 重慶卷文 理 已知橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦點分別為 12 0 0 FcF c 若橢圓上存在一 點P使 1221 sinsin ac PFFPF F 則該橢圓的離心率的取值范圍為 解析 1 因為在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 則由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 設(shè)點 00 xy由焦點半徑公式 得 1020 PFaex PFaex 則 00 a aexc aex 記得 0 1 1 a caa e x e cae e 由橢圓的幾何性質(zhì)知 0 1 1 a e xaa e e 則 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故橢圓的離心率 21 1 e 解析 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由橢圓的定義知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 則即 由橢圓的幾何性質(zhì)知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 則既所以 2 210 ee 以下同解析 1 答案 21 1 31 2009 北京文 理 橢圓 22 1 92 xy 的焦點為 12 F F 點 P 在橢圓上 若 1 4PF 則 2 PF 12 FPF 的大小為 解析解析 本題主要考查橢圓的定義 焦點 長軸 短軸 焦距之間的關(guān)系以及余弦定理 屬于基礎(chǔ)知識 基本運算的 考查 22 9 3ab 22 927cab 12 2 7FF 又 112 4 26PFPFPFa 2 2PF 又由余弦定理 得 2 22 12 242 7 1 cos 2 2 42 FPF 12 120FPF 故應(yīng)填2 120 32 2009 廣東卷 理 巳知橢圓G的中心在坐標原點 長軸在x軸上 離心率為 3 2 且G上一點到G的兩個焦 點的距離之和為 12 則橢圓G的方程為 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 解析 2 3 e 122 a 6 a 3 b 則所求橢圓方程為1 936 22 yx 答案 1 936 22 yx 33 2009 四川卷文 拋物線 2 4yx 的焦點到準線的距離是 解析 焦點F 1 0 準線方程1 x 焦點到準線的距離是 2 答案 2 34 2009 湖南卷文 過雙曲線 C 22 22 1 xy ab 0 0 ab 的一個焦點作圓 222 xya 的兩條切線 切點分別為 A B 若120AOB O 是坐標原點 則雙曲線線 C 的離心率為 解析 12060302AOBAOFAFOca 2 c e a 答案 2 35 2009 福建卷理 過拋物線 2 2 0 ypx p 的焦點 F 作傾斜角為45 的直線交拋物線于 A B 兩點 若線段 AB 的 長為 8 則p 解析 由題意可知過焦點的直線方程為 2 p yx 聯(lián)立有 2 2 2 2 30 4 2 ypx p xpx p yx 又 2 22 1 1 3 482 4 p ABpp 答案 2 36 2009 遼寧卷理 以知 F 是雙曲線 22 1 412 xy 的左焦點 1 4 AP是雙曲線右支上的動點 則PFPA 的最 小值為 解析 注意到 P 點在雙曲線的兩只之間 且雙曲線右焦點為 F 4 0 于是由雙曲線性質(zhì) PF PF 2a 4 而 PA PF AF 5 兩式相加得 PF PA 9 當且僅當 A P F 三點共線時等號成立 答案 9 37 2009 寧夏海南卷文 已知拋物線 C 的頂點坐標為原點 焦點在 x 軸上 直線 y x 與拋物線 C 交于 A B 兩點 若 2 2P為AB的中點 則拋物線 C 的方程為 解析 設(shè)拋物線為 y2 kx 與 y x 聯(lián)立方程組 消去 y 得 x2 kx 0 21 xx k 2 2 故 2 4yx 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 答案 2 4yx 38 2009 湖南卷理 已知以雙曲線 C 的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中 有一個內(nèi)角為 60 o 則雙曲線 C 的離心率為 解析 連虛軸一個端點 一個焦點及原點的三角形 由條件知 這個三角形的兩邊直角分別是 b c b是虛半軸長 c是焦半距 且一個內(nèi)角是30 即得tan30 b c 所以3cb 所以2ab 離心率 36 22 c e a 答案 6 2 39 2009 年上海卷理 已知 1 F 2 F是橢圓1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的兩個焦點 P為橢圓C上一點 且 21 PFPF 若 21F PF 的面積為 9 則b 解析 依題意 有 22 2 2 1 21 21 4 18 2 cPFPF PFPF aPFPF 可得 4c2 36 4a2 即 a2 c2 9 故有 b 3 答案 3 三 解答題三 解答題 40 2009 年廣東卷文 本小題滿分 14 分 已知橢圓 G 的中心在坐標原點 長軸在x軸上 離心率為 2 3 兩個焦點分別為 1 F和 2 F 橢圓 G 上一點到 1 F和 2 F的距離之 和為 12 圓 k C 02142 22 ykxyx Rk 的圓心為點 k A 1 求橢圓 G的方程 2 求 21F FAk 的面積 3 問是否存在圓 k C包圍橢圓 G 請說明理由 解解 1 設(shè)橢圓 G 的方程為 22 22 1 xy ab 0ab 半焦距為 c 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 則 212 3 2 a c a 解得 6 3 3 a c 222 36279bac 所求橢圓 G 的方程為 22 1 369 xy 2 點 K A的坐標為 2K 1 2 12 11 26 326 3 22 K A F F SFF V 3 若0k 由012152101206 22 可知點 6 0 在圓 k C外 若0k 由01215210120 6 22 可知點 6 0 在圓 k C外 不論 K 為何值圓 k C都不能包圍橢圓 G 41 2009 浙江理 本題滿分 15 分 已知橢圓 1 C 22 22 1 0 yx ab ab 的右頂點為 1 0 A 過 1 C的焦點且垂直長軸的弦長為1 I 求橢圓 1 C的方程 II 設(shè)點P在拋物線 2 C 2 yxh h R上 2 C在點P處的切線與 1 C交于點 M N 當線段AP的中點與 MN的中點的橫坐標相等時 求h的最小值 解解 I 由題意得 2 1 2 121 b a b b a 所求的橢圓方程為 2 2 1 4 y x II 不妨設(shè) 2 1122 M x yN xyP t th 則拋物線 2 C在點 P 處的切線斜率為2 x t yt 直線 MN 的方程為 2 2ytxth 將上式代入橢圓 1 C的方程中 得 222 4 2 40 xtxth 即 22222 4 14 40txt th xth 因為直線 MN 與橢圓 1 C有兩個不同的交點 所以有 422 1 162 2 40thth 設(shè)線段 MN 的中點的橫坐標是 3 x 則 2 12 3 2 22 1 xxt th x t 設(shè)線段 PA 的中點的橫坐標是 4 x 則 4 1 2 t x 由題意得 34 xx 即有 2 1 10th t 其中的 2 2 1 40 1hh 或3h 當3h 時有 2 20 40hh 因此不等式 422 1 162 2 40thth 不成立 因此1h 當 1h 時代入方程 2 1 10th t 得1t 將1 1ht 代入不等式 422 1 162 2 40thth 成立 因此h的最小值為 1 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 42 2009 浙江文 本題滿分 15 分 已知拋物線C 2 2 0 xpy p 上一點 4 A m到其焦點的距離為 17 4 I 求p與m的值 II 設(shè)拋物線C上一點P的橫坐標為 0 t t 過P的直線交C于另一點Q 交x軸于點M 過點Q作PQ的垂 線交C于另一點N 若MN是C的切線 求t的最小值 解解 由拋物線方程得其準線方程 2 p y 根據(jù)拋物線定義 點 4 mA到焦點的距離等于它到準線的距離 即 4 17 2 4 p 解得 2 1 p 拋物線方程為 yx 2 將 4 mA代入拋物線方程 解得2 m 由題意知 過點 2 ttP的直線PQ斜率存在且不為 0 設(shè)其為k 則 2 txktylPQ 當 0 2 k ktt xy 則 0 2 k ktt M 聯(lián)立方程 yx txkty 2 2 整理得 0 2 tktkxx 即 0 tkxtx 解得 tx 或tkx 2 tktkQ 而QPQN 直線NQ斜率為 k 1 1 2 tkx k tkylNQ 聯(lián)立方程 yx tkx k tky 2 2 1 整理得 0 11 22 tktk k x k x 即 0 1 2 tkktkxkx 0 1 tkxtkkkx 解得 k tkk x 1 或tkx 1 1 2 2 k tkk k tkk N 1 1 1 1 22 22 2 2 2 ktk ktk k ktt k tkk k tkk KNM 而拋物線在點 N 處切線斜率 k tkk yk k tkk x 2 2 1 切 MN 是拋物線的切線 k tkk ktk ktk2 2 1 1 22 22 整理得021 22 ttkk 0 21 4 22 tt 解得 3 2 t 舍去 或 3 2 t 3 2 min t 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 43 2009 北京文 本小題共 14 分 已知雙曲線 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的離心率為3 右準線方程為 3 3 x 求雙曲線 C 的方程 已知直線0 xym 與雙曲線 C 交于不同的兩點 A B 且線段 AB 的中點在圓 22 5xy 上 求 m 的值 解析解析 本題主要考查雙曲線的標準方程 圓的切線方程等基礎(chǔ)知識 考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法 考查推理 運算能力 解解 由題意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 222 2bca 所求雙曲線C的方程為 2 2 1 2 y x 設(shè) A B 兩點的坐標分別為 1122 x yxy 線段 AB 的中點為 00 M xy 由 2 2 1 2 0 y x xym 得 22 220 xmxm 判別式0 12 000 2 2 xx xm yxmm 點 00 M xy在圓 22 5xy 上 2 2 25mm 1m 44 2009 北京理 本小題共 14 分 已知雙曲線 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的離心率為3 右準線方程為 3 3 x 求雙曲線C的方程 設(shè)直線l是圓 22 2O xy 上動點 0000 0 P xyx y 處的切線 l與雙曲線C交于不同的兩點 A B 證明 AOB 的大小為定值 解法解法 1 1 本題主要考查雙曲線的標準方程 圓的切線方程等基礎(chǔ)知識 考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法 考查推理 運算能力 由題意 得 2 3 3 3 a c c a 解得1 3ac 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 222 2bca 所求雙曲線C的方程為 2 2 1 2 y x 點 0000 0P xyx y 在圓 22 2xy 上 圓在點 00 P xy處的切線方程為 0 00 0 x yyxx y 化簡得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 且 222 000 164 34820 xxx 設(shè) A B 兩點的坐標分別為 1122 x yxy 則 2 00 1212 22 00 482 3434 xx xxx x xx cos OA OB AOB OA OB 且 1212120102 2 0 1 22OA OBx xy yx xx xx x y 2 12012012 2 0 1 42 2 x xxxxx x x x 22 22 00 00 2222 0000 82 8281 4 3423434 xx xx xxxx 22 00 22 00 8282 0 3434 xx xx AOB 的大小為90 解法解法 2 2 同解法 1 點 0000 0P xyx y 在圓 22 2xy 上 圓在點 00 P xy處的切線方程為 0 00 0 x yyxx y 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 化簡得 00 2x xy y 由 2 2 00 1 2 2 y x x xy y 及 22 00 2xy 得 222 000 344820 xxx xx 222 000 348820 xyy xx 切線l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A B 且 2 0 02x 2 0 340 x 設(shè) A B 兩點的坐標分別為 1122 x yxy 則 22 00 1212 22 00 8228 3434 xx x xy y xx 1212 0OA OBx xy y AOB 的大小為90 22 00 2xy 且 00 0 x y 22 00 02 02xy 從而當 2 0 340 x 時 方程 和方程 的判別式均大于零 45 2009 江蘇卷 本題滿分 10 分 在平面直角坐標系xoy中 拋物線 C 的頂點在原點 經(jīng)過點 A 2 2 其焦點 F 在x軸上 1 求拋物線 C 的標準方程 2 求過點 F 且與直線 OA 垂直的直線的方程 3 設(shè)過點 0 0 M mm 的直線交拋物線 C 于 D E 兩點 ME 2DM 記 D 和 E 兩點間的 距離為 f m 求 f m關(guān)于m的表達式 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 46 2009 山東卷理 本小題滿分 14 分 設(shè)橢圓 E 22 22 1 xy ab a b 0 過 M 2 2 N 6 1 兩點 O 為坐標原點 I 求橢圓 E 的方程 II 是否存在圓心在原點的圓 使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB 若存在 寫出該 圓的方程 并求 AB 的取值范圍 若不存在說明理由 解 1 因為橢圓 E 22 22 1 xy ab a b 0 過 M 2 2 N 6 1 兩點 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 橢圓 E 的方程為 22 1 84 xy 2 假設(shè)存在圓心在原點的圓 使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB 設(shè)該圓的切線方程 為ykxm 解方程組 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 則 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 222 22 288 0 1212 mmk kk 所以 22 3880mk 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km 所以 2 2 2 38 m m 所以 2 8 3 m 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m 因為直線ykxm 為圓心在原點的圓的一條切線 所以圓的半徑 為 2 1 m r k 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk 2 6 3 r 所求的圓為 22 8 3 xy 此時圓的切線ykxm 都滿足 2 6 3 m 或 2 6 3 m 而當切線的斜率不存在時切線為 2 6 3 x 與橢圓 22 1 84 xy 的兩個交點為 2 62 6 33 或 2 62 6 33 滿足OAOB 綜上 存在圓心在原點的圓 22 8 3 xy 使得該圓的任意一條切 線與橢圓 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB 因為 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 所以 222 222 121212 2222 4288 84 4 4 1212 12 kmmkm xxxxx x kkk 22 2 2222 121212 22 8 84 1 1 12 km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk 當0k 時 2 2 321 1 1 3 44 AB k k 因為 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k 所以 2 2 32321 1 12 1 33 44k k 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 所以 4 6 2 3 3 AB 當且僅當 2 2 k 時取 當0k 時 4 6 3 AB 當 AB 的斜率不存在時 兩個交點為 2 62 6 33 或 2 62 6 33 所以此時 4 6 3 AB 綜上 AB 的取值范圍為 4 6 2 3 3 AB 即 4 6 2 3 3 AB 命題立意 本題屬于探究是否存在的問題 主要考查了橢圓的標準方程的確定 直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位 置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法 能夠運用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系 47 2009 山東卷文 本小題滿分 14 分 設(shè)mR 在平面直角坐標系中 已知向量 1 amx y 向量 1 bx y ab 動點 M x y的軌跡為 E 1 求軌跡 E 的方程 并說明該方程所表示曲線的形狀 2 已知 4 1 m 證明 存在圓心在原點的圓 使得該圓的任意一條切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB O 為坐 標原點 并求出該圓的方程 3 已知 4 1 m 設(shè)直線l與圓 C 222 xyR 1 R 2 相切于 A1 且l與軌跡 E 只有一個公共點 B1 當 R 為何值時 A1B1 取 得最大值 并求最大值 解解 1 因為ab 1 amx y 1 bx y 所以 22 10a bmxy 即 22 1mxy 當 m 0 時 方程表示兩直線 方程為1 y 當1m 時 方程表示的是圓 當0 m且1 m時 方程表示的是橢圓 當0 m時 方程表示的是雙曲線 2 當 4 1 m時 軌跡 E 的方程為 2 2 1 4 x y 設(shè)圓心在原點的圓的一條切線為ykxt 解方程組 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4 4xkxt 即 222 14 8440kxktxt 要使切線與軌跡 E 恒有兩個交點 A B 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 則使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 22 410kt 即 22 41tk 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使OAOB 需使 1212 0 x xy y 即 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 22 5440tk 即 22 544tk 且 22 41tk 即 22 44205kk 恒成立 所以又因為直線ykxt 為圓心在原點的圓的一條切線 所以圓的半徑為 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 所求的圓為 22 4 5 xy 當切線的斜率不存在時 切線為5 5 2 x 與 2 2 1 4 x y 交于點 5 5 2 5 5 2 或 5 5 2 5 5 2 也滿足OAOB 綜上 存在圓心在原點的圓 22 4 5 xy 使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A B 且OAOB 3 當 4 1 m時 軌跡 E 的方程為 2 2 1 4 x y 設(shè)直線l的方程為ykxt 因為直線l與圓 C 222 xyR 1 R0 與 x 軸 的左 右兩個交點 直線l過點 B 且與x軸垂直 S 為l上 異于點 B 的一點 連結(jié) AS 交曲線 C 于點 T 1 若曲線 C 為半圓 點 T 為圓弧AAB的三等分點 試求出點 S 的坐標 II 如圖 點 M 是以 SB 為直徑的圓與線段 TB 的交點 試問 是否存在 a 使得 O M S 三點共線 若存在 求出 a 的值 若不存在 請說明理由 解解 方法一方法一 當曲線 C 為半圓時 1 a 如圖 由點 T 為圓弧AAB的三等分點得 BOT 60 或 120 1 當 BOT 60 時 SAE 30 又 AB 2 故在 SAE 中 有tan30 SBABs t 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 2 當 BOT 120 時 同理可求得點 S 的坐標為 1 2 3 綜上 2 3 1 3 S或S 1 2 3 假設(shè)存在 0 a a 使得 O M S 三點共線 由于點 M 在以 SB 為直線的圓上 故BTOS 顯然 直線 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可設(shè)直線 AS 的方程為 yk xa 由 2 2 22222422 2 1 1 20 x y a kxa k xa ka a yk xa 得 設(shè)點 222 22 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k 從而 22 2 1 TT ak yk xa a k 亦即 22 2222 2 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 0 11 a kak B aBT a ka k 由 xa yk xa 得 2 2 s aakOSaak 由BTOS 可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0 0 2kaa 經(jīng)檢驗 當2a 時 O M S 三點共線 故存在2a 使得 O M S 三點共線 方法二方法二 同方法一 假設(shè)存在 a 使得 O M S 三點共線 由于點 M 在以 SO 為直徑的圓上 故SMBT 顯然 直線 AS 的斜率 k 存在且 k 0 可設(shè)直線 AS 的方程為 yk xa 由 2 2 22222222 2 1 1 20 x y a bxa k xa ka a yk xa 得 設(shè)點 TT T xy 則有 422 22 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 從而亦即 2 2 1 0 T BTSM T y B akka k xaa k 故 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 由 xa yk xa 得S a 2ak 所直線 SM 的方程為 2 2 yaka k xa O S M 三點共線當且僅當 O 在直線 SM 上 即 2 2 aka ka 0 0 2aKa 故存在2a 使得 O M S 三點共線 60 2009 遼寧卷文 理 本小題滿分 12 分 已知 橢圓C以過點A 1 3 2 兩個焦點為 1 0 1 0 1 求橢圓C的方程 2 E F是橢圓C上的兩個動點 如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù) 證明直線EF的斜率為定值 并求 出這個定值 解解 由題意 c 1 可設(shè)橢圓方程為 22 22 1 14 xy bb 因為A在橢圓上 所以 22 19 1 14bb 解得 2 b 3 2 b 3 4 舍去 所以橢圓方程為 22 1 43 xy 證明證明 設(shè)直線 方程 得 3 1 2 yk x 代入 22 1 43 xy 得 222 3 3 4 4 32 4 120 2 kxkk xk 設(shè) E x E y F x F y 因為點 1 3 2 在橢圓上 所以 2 2 3 4 12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù) 在上式中以k 代k 可得 2 2 3 4 12 2 34 F k x k 3 2 FF ykxk 所以直線EF的斜率 21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 即直線EF的斜率為定值 其值為 1 2 61 2009 寧夏海南卷理 本小題滿分 12 分 已知橢圓 C 的中心為直角坐標系 xOy 的原點 焦點在 s 軸上 它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是 7 和 1 求橢圓 C 的方程 若 P 為橢圓 C 上的動點 M 為過 P 且垂直于 x 軸的直線上的點 OP OM 求點 M 的軌跡方程 并說明軌跡 是什么曲線 解解 設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為ac 由已知得 1 4 3 7 ac ac ac 解得 所以橢圓C的標準方程為 22 1 167 xy 設(shè) M x y 其中 4 4x 由已知 2 2 2 OP OM 及點P在橢圓C上可得 2 2 22 9112 16 x xy 整理得 2222 169 16112xy 其中 4 4x i 3 4 時 化簡得 2 9112y 所以點M的軌跡方程為 4 7 44 3 yx 軌跡是兩條平行于x軸的線段 ii 3 4 時 方程變形為 22 22 1 112112 16916 xy 其中 4 4x 當 3 0 4 時 點M的軌跡為中心在原點 實軸在y軸上的雙曲線滿足44x 的部分 當 3 1 4 時 點M的軌跡為中心在原點 長軸在x軸上的橢圓滿足44x 的部分 當1 時 點M的軌跡為中心在原點 長軸在x軸上的橢圓 62 2009 陜西卷文 本小題滿分 12 分 已知雙曲線 C 的方程為 22 22 1 0 0 yx ab ab 離心率 5 2 e 頂點到漸近線的距離為 2 5 5 1 求雙曲線 C 的方程 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 2 如圖 P 是雙曲線 C 上一點 A B 兩點在雙曲線 C 的兩條漸近線上 且分別位于第一 二象限 若 1 2 3 APPB 求AOB 面積的取值范圍 方法一方法一 解解 由題意知 雙曲線C的頂點 0 a 到漸近線 2 5 0 5 axby 的距離為 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲線C的方程是 2 y 4 2 1x 由 知雙曲線 C 的兩條漸近線方程為2yx 設(shè) 2 2 0 0A mm Bnn mn 由 APPBP uu u ruur m n 2 m n 得點的坐標為 1 1 將 P 點的坐標代入 22 2 1 1 44 y x 化簡得m n 因為2 AOB 14 tan 2 tan sin2 225 又5 5OAm OBn 所以 111 sin22 1 22 AOB SOAOBmn 記 111 1 2 23 S 則 2 11 1 2 S 由 01S 得 又 S 1 2 189 2 334 SS 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 當1 時 AOB 面積取到最小值2 當當 1 3 時 AOB 面積取到最大值 8 3 所以AOB 面積范圍是 8 2 3 方法二方法二 由題意知 雙曲線 C 的頂點 0 a 到漸近線 2 5 0 5 axby 的距離為 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲線C的方程是 2 y 4 2 1x 設(shè)直線 AB 的方程為 ykxm 由題意知2 0km 由 2 222 ykxm mm A yxkk 得點的坐標為 由 2 222 ykxm mm B yxkk 得點的坐標為 121 122122 mm APPBP kkkk 得點的坐標為 uu u ruur 將 P 點的坐標代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4 1 4 m k 設(shè) Q 為直線 AB 與 y 軸的交點 則 Q 點的坐標為 0 m AOB S AOQBOQ SS 學習資料收集于網(wǎng)絡(luò) 僅供參考 學習資料 2 2 111 222 114 2222 4 11 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63 2009 四川卷文 理 本小題滿分 12 分 已知橢圓 22 2 1 0 xy ab ab 的左 右焦點分別為 12 FF 離心率 2 2 e 右準線方程為2x I 求橢圓的標準方程 II 過點 1 F的直線l與該橢圓交于MN 兩點 且 22 2 26 3 F MF N 求直線l的方程 解解 I 由已知得 2 2 2 2 c a a c 解得2 1 ac 22 1 bac 所求橢圓的方程為 2 2 1 2 x y II 由 I 得 1 1 0 F 2 1 0 F 若直線l的斜率不存在 則直線l的方程為1 x 由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 設(shè) 2 1 2 M