考研數(shù)學(xué)概率論輔導(dǎo)講義.doc

考研數(shù)學(xué)概率論輔導(dǎo)講義主講：馬超第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖 2、重要公式和結(jié)論（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1 。2 。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即axb 其他，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0,則A= 。例215：設(shè)，求。例216：XN(2,2)且P(2X4)0.3，則P(Xh）=P(Xa+hXa). (a,h均為正整數(shù))的充分條件為：(1) X服從幾何分布 P(X=k)=p(1-p)k-1 (k=1,2,)(2) X服從二項(xiàng)分布 P(X=k)= Pk (1-p)n-k (k=0,1,2,n)例222：實(shí)驗(yàn)器皿中產(chǎn)生甲乙兩種細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的，且產(chǎn)生細(xì)菌的數(shù)X服從參數(shù)為的泊松發(fā)布，試求：（1）產(chǎn)生了甲類細(xì)菌但沒有乙類細(xì)菌的概率；（2）在已知產(chǎn)生了細(xì)菌而且沒有甲類細(xì)菌的條件下，有兩個(gè)乙類細(xì)菌的概率。例223：設(shè)隨機(jī)變量X服從a,b(a0)的均勻分布，且P(0X4)，求： （1）X的概率密度 （2）P(1X5)例224：X,Y獨(dú)立，均服從U1,3，A=Xa，B=Ya，已知P(AB)=,求a=？ 定義：如果P(XxYy)=P(Xx)P(Yy)，稱X與Y獨(dú)立。例225：設(shè)隨機(jī)主量X的概率密度為其使得，則k的取值范圍是。例226：設(shè)顧客到某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（單位：分）服從指數(shù)發(fā)布，其密度函數(shù)為某顧客在窗口等待服務(wù)，如超過(guò)10分鐘，他就離開。他一個(gè)月到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布列，并求P(Y1)。例227：X3N(1,72)，則P(1X2)=？例228：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：則其分布函數(shù)F(x)是（A）（B）（C）（D）例229：設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，即|X|1，且，在事件-1X1出現(xiàn)的條件下，X在（-1，1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比。試求X的分布函數(shù)F(x)及P（X0）（即X取負(fù)值的概率）。2、函數(shù)分布例230：設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F(x)，求Y=F（X）的分布函數(shù)F（y）。（或證明題：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。）例231：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為F（x）是X的分布函數(shù)，求隨機(jī)變量Y=F（X）的分布函數(shù)。例232：假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間（EX）為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）。第四節(jié) 歷年真題數(shù)學(xué)一：1（88，2分）設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為10，均方差為0.02的正態(tài)分布上。已知?jiǎng)tX落在區(qū)間（9.95, 10.05）內(nèi)的概率為。2（88，6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，求隨機(jī)變量Y=1-的概率密度函數(shù)。3（89，2分）設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間（1，6）上服從均勻分布，則方程有實(shí)根的概率是。4（90，2分）已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，則X的概率分布函數(shù)F（x）=。5（93，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從（0，2）上的均勻分布，則隨機(jī)變量在（0，4）內(nèi)的概率分布密度。6（95，6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度。7（02，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且二次方程無(wú)實(shí)根的概率為，則。8（04，4分） 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，對(duì)給定的，數(shù)滿足，若，則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 9（06，4分） 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且（A）（B）（C）（D） 數(shù)學(xué)三：1（87，2分）（是非題）連續(xù)型隨機(jī)變量取任何給定實(shí)數(shù)值的概率都等于0。2（87，4分）已知隨機(jī)變量X的概率分布為PX=1=0.2，PX=2=0.3, PX=3=0.5試寫出其分布函數(shù)F(x).3（88，6分）設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(y)。4（89，3分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則A=，=。5（89，8分）設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布，現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率。6（90，7分）對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。附表：表中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。7（91，3分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則X的概率分布為。8（91，5分）一輛汽車沿一街道行駛，要過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅、綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等。以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布。9（92，7分）設(shè)測(cè)量誤差XN（0，102）。試求在100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率，并用泊松分布求出的近似值（要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字）。附表：10（93，8分）設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為t的泊松分布。（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q。11（94，3分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為以Y表示對(duì)X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則 。12（95，3分）設(shè)隨機(jī)變量XN（，2），則隨著的增大，概率（A）單調(diào)增大。（B）單調(diào)減小。（C）保持不變。（D）增減不定。13（97，7分）設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，。在事件-1X1出現(xiàn)的條件下，X在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求X的分布函數(shù)。14（00，3分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為若的取值范圍是。15（03，13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為16（04，4分） 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布, 對(duì)給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) . 17（06，4分） 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布,且,則必有 ( )(A)(B) (C) (D) 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1時(shí)，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2y1時(shí)，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨(dú)立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨(dú)立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，則：h（X）和g（Y）獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：對(duì)于連續(xù)型，fZ(z)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨(dú)立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量F服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).例31 二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX-1012p1100020300pj1例32： 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，其中求X的邊緣密度f(wàn)X(x)例33：設(shè)隨機(jī)變量X以概率1取值0，而Y是任意的隨機(jī)變量，證明X與Y相互獨(dú)立。例34：如圖3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不獨(dú)立。例35：f(x,y)=例36：設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且XU（0，1），Ye（1），求Z=X+Y的分布密度函數(shù)fz(z)。例37：設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為e(1)，求隨機(jī)變量U=的概率密度g(u)。第二節(jié) 重點(diǎn)考核點(diǎn)二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)、隨機(jī)變量的獨(dú)立性、簡(jiǎn)單函數(shù)的分布第三節(jié) 常見題型1、二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)例38：如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A）（B）（C）（D）例39：設(shè)X與Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們均勻地分布在（0,）內(nèi)，試求方程t2+Xt+Y=0有實(shí)根的概率。例310：將一枚均勻硬幣連擲三次，以X表示三次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的差的絕對(duì)值，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。例311：設(shè)隨機(jī)變量，且，求例312：設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p(0p1)，并且他們?cè)谥型鞠萝嚺c否是相互獨(dú)立的，用Y表示在中途下車的人數(shù)，求：二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布。例313：設(shè)平面區(qū)域D是由與直線y=0,x=1,x=e2所圍成（如圖3.15），二維隨機(jī)向量=（X，Y）在D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布密度在x=2處的值。例314：設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求() 隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度；() 的概率密度； () 概率2、隨機(jī)變量的獨(dú)立性例315：設(shè)隨機(jī)變量X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一隨機(jī)變量Y在1X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X，Y）的分布律，X，Y的邊緣分布律，并判斷獨(dú)立性。例316：設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，并且P(X=1)=P(Y=1)=p，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0p2|Y1),求的分布。第四節(jié) 歷年真題數(shù)學(xué)一：1（87，6分）設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為求隨機(jī)變量Z=2X+Y的概率密度函數(shù)。2（91，6分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。3（92，6分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X服從正態(tài)分布，Y服從-，上均勻分布，試求Z=X+Y的概率分布密度（計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表示，其中。4（94，3分）設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)數(shù)隨機(jī)變量X與Y具有同一分布律，且X的分布律為則隨機(jī)變量Z=maxX，Y的分布律為。5（95，3分）設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且則。6（98，3分）設(shè)平面區(qū)域D由曲線，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，則（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為。7（99，3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（0，1）和N（1，1），則（A）（B）（C）（D）8（99，8分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 Y X19（02，3分）設(shè)是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為，則（A）必為某一隨機(jī)變量的概率密度；（B）必為某一隨機(jī)變量的概率密度；（C）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（D）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。10（03，4分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為則=。11（05，4分） 從數(shù)1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?，X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y，則PY=2=.12（05，4分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為 Y X 01 0 0.4a 1 b0.1已知隨機(jī)事件X=0與X+Y=1互相獨(dú)立，則（A）a=0.2, b=0.3（B） a=0.4, b=0.1（D）a=0.3, b=0.2（D）a=0.1, b=0.4 13（05，9分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 求：（I）（X，Y）的邊緣概率密度 （II）Z=2XY的概率密度14（06，4分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布，則= .15（06，9分）隨機(jī)變量x的概率密度為為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).()求Y的概率密度()數(shù)學(xué)三：1（90，3分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，其概率分布為則下列式子正確的是：（A）（B）（C）（D）2（90，5分）一電子儀器由兩個(gè)部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：（1） 問X和Y是否獨(dú)立？（2） 求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100小時(shí)的概率。3（92，4分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1） 求X的概率密度求。4（94，8分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，。求行列式的概率分布。5（95，8分）已知隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為求（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。6（97，3分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布，P（X=-1）=P（Y=-1）=，P（X=1）=P（Y=1）=，則下列各式成立的是（A）（B）（C）（D）7（98，3分）設(shè)分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù)。為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。ˋ）（B）（C）（D）8（99，3分）設(shè)隨機(jī)變量且滿足（A）0（B）（C）（D）19（01，8分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布。試求隨機(jī)變量。10（03，13分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u)。11（05，4分）從數(shù)1，2，3，4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?，X中任取一個(gè)數(shù)，記為Y，則PY=2= .12（05，4分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為YX 0 10 0.4a1 b 0.1若隨機(jī)事件X=0與X+Y=1互相獨(dú)立，則a =_, b =_.13（05，13分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的概率密度為 求：（I）(X,Y) 的邊緣概率密度（II）Z=2X-Y的概率密度（III）14（06，4分） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間上的均勻分布,則第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié) 基本概念1、概念網(wǎng)絡(luò)圖2、重要公式和結(jié)論（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P()pk，k=1,2,n，（要求絕對(duì)收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差， 矩對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=E(Xk)= k=1,2, .對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對(duì)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）0, D(Y)0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。|1，當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i） 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。例41：箱內(nèi)裝有5個(gè)電子元件，其中2個(gè)是次品，現(xiàn)每次從箱子中隨機(jī)地取出1件進(jìn)行檢驗(yàn)，直到查出全部次品為止，求所需檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。例42：將一均勻骰子獨(dú)立地拋擲3次，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望。例43：袋中裝有標(biāo)著1，2，9號(hào)碼的9只球，從袋中有放回地取出4只球，求所得號(hào)碼之和X的數(shù)學(xué)期望。例44：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求E（X）及D（X）。例45：設(shè)隨機(jī)變量XN（0， 4）， YU（0， 4），且X，Y相互獨(dú)立，求E（XY），D（X+Y）及D（2X-3Y）。例46：罐中有5顆圍棋子，其中2顆為白子，另3顆為黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望與方差。例47：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例48：“隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)= .”的充分條件：(1)X的密度函數(shù)為f(x)= (0,-x+)(2) X的密度函數(shù)為， （）例49：利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差大于3倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率。例410：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不等于0，則D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y（）。（A） 不相關(guān)的充分條件，且不是必要條件；（B） 獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件；（C） 不相關(guān)的充分必要條件；（D） 獨(dú)立的充分必要條件。例411：設(shè)X與Y相互獨(dú)立都服從P（），令U=2X+Y，V=2X-Y。求隨機(jī)變量U和V的相關(guān)系數(shù)例412：設(shè)（X，Y）服從D=(x,y)|x2+y21|上的均勻分布，求并且討論X與Y的獨(dú)立性。第二節(jié) 重點(diǎn)考核點(diǎn)常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差；隨機(jī)變量矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)；獨(dú)立和不相關(guān)第三節(jié) 常見題型1、一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例413：判斷隨機(jī)變量X是否存在期望和方差。（1）, ；（2）。例414：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間a, b中取值，證明：aE(X)b。例415：將n只球放入到N只盒子中去，設(shè)每只球落入各個(gè)盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。例416：一輛送客汽車，載有m位乘客從起點(diǎn)站開出，沿途有n個(gè)車站可以下車，若到達(dá)一個(gè)車站，沒有乘客下車就不停車。設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的，試求汽車平均停車次數(shù)。例417：投硬幣n次，設(shè)X為出現(xiàn)正面后緊接反面的次數(shù)，求E(X)。例418：一臺(tái)儀器由5只不太可靠的元件組成，已知各元件出故障是獨(dú)立的，且第k只元件出故障的概率為，則出故障的元件數(shù)的方差是A1.3 B1.2 C1.1 D1.0例419：設(shè)X是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且P(A)=p,令Y= ,求Y的數(shù)學(xué)期望。例420：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求。例421：地鐵到達(dá)一站時(shí)間為每個(gè)整點(diǎn)的第5分、25分、55分鐘，設(shè)一乘客在早8點(diǎn)9點(diǎn)之間隨機(jī)到達(dá)，求侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。例422：設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式，有。2、二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例423：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，都服從求D（|X-Y|）。例424：今有兩封信欲投入編號(hào)為I、II、III的3個(gè)郵筒，設(shè)X，Y分別表示投入第I號(hào)和第II號(hào)郵箱的信的數(shù)目，試求（1）（X，Y）的聯(lián)合分布；（2）X與Y是否獨(dú)立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。例425：假設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在矩形G=（X,Y）|0x2, 0y1上服從均勻分布，記（1） 求U和V的聯(lián)合分布；（2） 求U和V的相關(guān)系數(shù).例426：設(shè)Xe（1），（k=1, 2）,求：（1）的分布；（2）邊緣分布，并討論他們的獨(dú)立性；（3）例427：設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件,且, , , 令 求() 二維隨機(jī)變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 例428：n封信任意投到n個(gè)信封里去，而每個(gè)信封應(yīng)該對(duì)應(yīng)著唯一的一封信，設(shè)信與信封配對(duì)的個(gè)數(shù)為X，求E(X)與D(X)。3、獨(dú)立和不相關(guān)例429：已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)，設(shè)（1）求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？例430：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 判別X，Y是否相互獨(dú)立，是否相關(guān)；（2） 求E（XY）， D（X+Y）例431：如果X與Y滿足D（X+y）=D（X-Y），則必有（A）X與Y獨(dú)立。（B）X與Y不相關(guān)。（C）D（Y）=0。（D）D(X)D(Y)=0.例432：將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X與Y的相關(guān)系數(shù)等于（A）-1。（B）0。（C）。（D）1。例433：設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為(1) 求X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）；(2) 求X與|X|的協(xié)方差，并問X與|X|是否不相關(guān)？(3) 問X與|X|是否相互獨(dú)立？為什么？例434：設(shè)A，B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量證明X,Y不相關(guān)與A,B獨(dú)立互為充分且必要條件。例435：對(duì)于任意二事件A和B，0P(A)1,0P(B)1,稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù)。（1） 證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零；（2） 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明4、應(yīng)用題例436：設(shè)某種商品每周的需求量X服從區(qū)間10，30上的均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10，30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每1單位商品僅獲利300元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最少進(jìn)貨量。例437：市場(chǎng)上對(duì)商品需求量為XU（2000，4000），每售出1噸可得3萬(wàn)元，若售不出而囤積在倉(cāng)庫(kù)中則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元，問需要組織多少貨源，才能使收益最大？第四節(jié) 歷年真題數(shù)學(xué)一：1（87，2分）已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則EX=，DX=。2（89，6分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且XN（1，2），YN（0，1），試求隨機(jī)變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù)。3（90，2分）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且胡機(jī)變量Z=3X-2，則EZ=。4（90，6分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D：0X1, |y|x內(nèi)服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量Z=2X+1的方差DZ。5（91，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為2、方差為的正態(tài)分布，且。6（92，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則。7（93，6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為（1） 求EX和DX；（2） 求X與|X|的協(xié)方差，并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨(dú)立？為什么？8（94，6分）已知隨機(jī)變量。（1） 求EZ和DZ；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)（3） 問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？9（95，3分）設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，則=。10（96，3分）設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布N（0，）的隨機(jī)變量，則。11（96，6分）設(shè)是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知的分布律為（1） 寫出二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布律；（2） 求EX。12（97，3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是（A）8（B）16（C）28（D）4413（97，7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是。設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。14（98，6分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，求|X-Y|的方差。15（00，3分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量不相關(guān)的充分必要條件為（A）（B）（C）（D）16（00，8分）某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修。設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）。17（01，3分）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（A）-1（B）0（C）（D）118（02，7分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。19（03，10分）已知甲、乙兩箱中裝有兩種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。（2） 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。20（04，4分） 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .21（04，4分） 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且其方差為 令，則(A) Cov( (B) . (C) . (D) . 22（04，9分） 設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且，令 求：（I）二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)三：1（87，4分）已知隨機(jī)變量X的概率密度為求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。2（89，7分）已知隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度為試求：（1）； （2）。3（91，3分）對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，若，則（A）。（B）（C）X與Y獨(dú)立。（D）X與Y不獨(dú)立。4（91，6分）設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在圓域上服從聯(lián)合均勻分布。（1） 求（X，