Fourier級數(shù)一致收斂性的幾個證明.doc

F o u r i e r級數(shù)一致收斂性的幾個證明3楊香鳳(東華大學(xué)理學(xué)院,上海,201620)摘要 基于 Fo urie r 級數(shù)的逐點收斂性已經(jīng)有很全面的研究 ,如 Dini 判別法 、L ip schitz 判別法 、Dirichlet2J o r da n 判別法 等 ,而關(guān)于 Fo urie r 級數(shù)的一致收斂性在文獻(xiàn)中很少提及 ,本文將討論 Fo urie r 級數(shù)的一致收斂性的幾個判別方法 。 關(guān)鍵詞 : Fo urie r 級數(shù) ,收斂性 ,一致收斂性中圖分類號 : O 174 . 21假 定 f ( x ) 在 - , 上 可 積 和 廣 義 絕 對 可 積 , a M 判 別 法 2 , 從 而 推 得 級 數(shù) 0 + ( a c o s k x +則 f ( x ) 的 F o u r i e r 級 數(shù) 可 寫 為 :bsi n k x ) 一 致 收 斂 。2 k k=1a kf ( x ) 0 + ( a c o s k x + b si n k x )2 kk k=1現(xiàn) 證 明| a |02+ ( | a| + | b k| ) 收 斂 :k其 中 ak1= f ( x ) c o s k x d x ( k = 0 , 1 , 2 , ) ,-1k=1f ( x ) 在 - , 上 光 滑 , 故 f ( x ) 在 - , 上 可 積 , 已 知 - , 上 f ( x ) 的 F o u r i e r 系 數(shù) 為 a 、kb k = f ( x ) si n k x d x ( k = 1 , 2 , ) 。b , 設(shè) f ( x ) 在 - , 上 F o u r i e r 系 數(shù) 為 a、b, 則-一 般 數(shù) 學(xué) 分 析 中 F o u r i e r 級 數(shù) 的 討 論 , 往 往 只針 對 其 收 斂 性 , 本 文 將 重 點 討 論 F o u r i e r 級 數(shù) 一 致k有 1kk 1 收 斂 性 。下 文 中 定 理 1 條 件 較 強(qiáng) , 定 理 2 、定 理 3 為a=0 f ( x ) d x =- f () - f ( - ) = 0更 一 般 條 件 下 的 一 致 收 斂 性 判 斷 , 本 文 重 點 闡 述 這兩 個 定 理 , 并 給 予 充 分 的 證 明 。(f ( - ) = f () ) ;定 義 1 : 若 f ( x ) 的 導(dǎo) 函 數(shù) f ( x ) 在 - , 上a= 1f ( x ) c o s k x d x =連 續(xù) , 則 稱 f ( x ) 在 - , 上 光 滑 1。定 理 1 : 設(shè) f ( x ) 為 - , 上 的 光 滑 函 數(shù) ,k -k1 f ( x ) c o s k x + f ( x ) si n k x d x =f ( - ) = f () , 則 f ( x ) 的 F o u r i e r 級 數(shù) - , 上 一 致 收 斂 于 f ( x ) 。k b ;k- -證 明 : 由 f ( x ) 在 - , 上 光 滑 , 則 f ( x ) 的F o u r i e r 級 數(shù) 存 在 , 記 為b= 1 f ( x ) si n k x d x =k - a k1 f ( x ) si n k x - f ( x ) c o s k x d x =f ( x ) 0 + ( a c o s k x + b si n k x ) 2 kk k=1- k a ;k- -其 中 ak1= f ( x ) c o s k x d x ( k = 0 , 1 , 2 , ) ,所 以 有 a = 0 , a = k b, b = - k ak = 1 ,-1b k = f ( x ) si n k x d x ( k = 1 , 2 , ) 。02 , 3 , ) ;(k k k k-注 意 到 | a c o s k x + b si n k x | | a| + | b| , 當(dāng) 級 數(shù)從 而 有 | ak| + | bk| a| = kk| b|+ k kk k k k| a | 1 1 1 1 0 + ( | a| + | b| ) 收 斂 時 , 由 W e i e r s r a s sa2+ 1 +b2+ 1 =( a2+ b2) + ,2 kk k=12 k k 22 k k 22 k k k 2| a | | a | 證明: ( x) 在 a , b 上有界, 存在 M 于是可得0 + ( | a| +| b | ) 0 +2k=1k k 20 , x a , b , | ( x) | M ,1 ( a2+ b2) + 1 。 bb2k k k 2( x) si n pu d u M si n pu d u k=1k=1aa對級數(shù) ( a2+ b2) , 由Bessel 不等式3 知:2 M 0 ( p ) ,k k p k=1 2bf ( a2+ b2) 1 2( x) d x - a ,所以li mx si n pu d u = 0 , 同理kk k=10 - 2n( )pa b故 ( a2+ b2) 部分和 T ( x) = ( a2+ b2) li m( x) cos pu d u = 0 .kk k=1fnkk k=1 2pa引理2( 局部性定理4) : 函數(shù)可積和廣義絕對 ( a2+ b2) 1 2( x) d x - akkk=10 - 2可積函數(shù) f ( x ) 的 Fouri er 級數(shù)在 x 點的收斂和發(fā)散情況, 只與 f ( x ) 在 x 點的小鄰域( 充分小) 的值所以級數(shù) ( a2+ b2) 部分和有界, 故其收斂。對k k k=1有關(guān)。級數(shù)1 , 顯然收斂。引理3 : 設(shè)( u) 可積和廣義絕對可積, 則有:k=1 k 2上述級數(shù)均為正項級數(shù), 由比較判別法知級數(shù)1 112 n + 1 li m ( u) -si n2u d u = 0 ,| a0 |2+ ( | ak k=1| +| b k| ) 收斂, 從而 f ( x) 的n+ 02si n u u2Fouri er 級 數(shù) 在 -, 上 一 致 收 斂, 又 設(shè) f ( x) 為f ( x) 的Fouri er 級數(shù)前n 項和, 則易知從而當(dāng)n 時, 以下兩個積分收斂情況相同nS2 n + 12 n + 1 - , 上每一點x 處有l(wèi)i m f ( x) - S n f ( x) =1 si n2usi nu2n( u)d u , 1( u)d u .0 , 因此f ( x) 的Fouri er 級數(shù) - , 上一致收斂于 0f ( x) , 定理1 證畢。推論1 : 設(shè)f ( x) 以2 為周期, 且具有二階連續(xù)2si n u 2 0uu - 2si n u可微的函 數(shù), 則 f ( x ) 的 Fouri er 級 數(shù) 一 致 收 斂證明: 注意到 1 - 1= 2 0于f ( x) 。推論2 : 設(shè) f ( x ) 為( - , + ) 上以2 為周 期的光滑函數(shù), 則 f ( x ) 的 Fouri er 級數(shù)在( - ,( u 0) ,2si n u u22 usi n u2+ ) 上一致收斂于 f ( x) 。從而1 - 1是 0 , 上的連續(xù)有界函數(shù)推論 1 和推論 2 的證明只需簡單應(yīng)用定理1 即可。定理2 : 設(shè)周期為2 的可積和廣義絕對可積 函數(shù)f ( x) 在比區(qū)間 a , b 更寬的區(qū)間 a - , b + 2si n u u2( 在 u = 0 處定義其值為零) .因為 ( u) 可 積 和 廣 義 絕 對 可 積,所 以( 其中 0 ) 上 有 有 界 導(dǎo) 數(shù) f ( x ) , 則 f ( x ) 的( u) 1 - 1也可積和廣義絕對可積, 由引理Fouri er 級數(shù)在區(qū)間 a , b 上一致收斂于 f ( x) 。2si n uu2為了證明定理2 , 先引入以下幾個引理:1( Ri e ma nn 引 理) 可 知 li m1( u) 1 -引理1( Ri e ma n n 引理4) : 設(shè)函數(shù)( u) 在區(qū)間 a , b 上可積和廣義絕對可積, 則以下極限式成立li m b( u) si n pu d u = 0 ,li m b( u) cos pu d u = 0 。n+ 01 si n 2 n + 1 u d u = 0 , 引理3 證畢。u22si n u2papa利用以上的引理及推論, 我們證明定理2 :推論: 設(shè)( x) 在區(qū)間 a , b 上有界, 則成立li m b( x) si n pud u = 0 ,li m b( x) cos pud u = 0由文獻(xiàn) 5 , 以 2 為 周 期 的 函 數(shù) f ( x ) , 其Fouri er 級數(shù)的部分和為papaS f ( x) = 1 ( x + u) + f( 極限一致為零) 。n 0f ( x - u ) si n2 n + 1u2d u ;對 于 I :12 si n u 2I1 = 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0) 0 u這 時 , 又 因 為 1 2 si n2 n + 1u2 u d u =sin 2 n + 1 u d u =202 si n2n 1 f ( x +1 ) u - f ( x - 2 ) u 0 usin2 n + 1 u d u =22 1+ c o s k u d u = 1 , 由 假 設(shè) 在 區(qū) 間 a - , 1 2 n + 1 0 2k =10 f ( x +1 ) - f ( x - 2 ) si n2u d ub + 上 有 導(dǎo) 數(shù) f ( x ) , 故 有 f ( x + 0 ) + f ( x - 0 ) =2其中 、 ( 0 , ) , x a , b , 由 0 0 , 使得n 2| f ( x + ) - f ( x - ) | M , 從而由引理 1 推論121 即知對 x a , b 有l(wèi)i m I = 0 。1n f ( x + u ) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) -02 n + 1綜上 I 、I 得1 2si nu 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0)f ( x - 0 ) 2d uli m u.2 si n u 2n 0si n 2 n + 1 u d u = 0 且一致收斂2由 引 理 2 的 局 部 性 思 想 , 取 一 個 , 0 0 ) 上 連 續(xù) 且 為si n2 n + 1u d u = 1 分段 單 調(diào) 函 數(shù) , 則 f ( x ) 的 Fo u ri e r 級 數(shù) 在 區(qū) 間2 0 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) .u a , b 上一致收斂于 f ( x ) 。證 明 : 不失一般性 , 設(shè) f ( x ) 在 a - , b + 上si n2 n + 12u d u + 1 為單調(diào)遞增 函 數(shù) , 當(dāng) f ( x ) 遞 減 時 亦 可 證 之 , 同 樣 ,當(dāng) f ( x ) 在 a - , b + 上分段單調(diào)時同理證之 。 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) .u2 n + 1同定理 2 一樣考慮 1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 )si nu d u I + I212 02 n + 1u 1對 于 I :2si n2u d u = ( f ( x + u) + f ( x - u) -0由 假 設(shè) f ( x ) 可 積 和 廣 義 絕 對 可 積 , 知 f ( x +u) - f ( x + 0 ) + f ( x - u ) - f ( x - 0 ) 可 積 和 廣f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) )si n2 n + 1 u2ud u + 1義 絕 對 可 積 , 又 1u在 , 上 為 連 續(xù) 有 界 函 數(shù) , 所f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) 1以 f ( x + u ) + f ( x - u ) - f ( x + 0 ) - f ( x - 0 ) 也u可 積 和 廣 義 絕 對 可 積 , 由 引 理 1 ( R i e m a n n 引 理 ) 知si n 2 n + 1 u d u A2u1+ A .2 x , , 都 有 l i m In 2= 0 , 所 以 I對 x 一 致 收 斂2對于 A2 : 由定理 2 的證明可知 , A一致收斂于零 。2于 零 。對于 A 1 : 由 假 設(shè) f ( x ) 遞 增 , 故 可 利 用 第 二 中值定理, 得收斂, 故 A 0 , L , Asi n t d t L , 從而1 0 tA 1 = f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) -02 2n+1si n td t = 22n+1si n td t - 22n+1si n td t f ( x - 0) si n 2 n + 1 u2ud u =2n+1 t20t 0t2 L ;1 f ( x + ) + f ( x - ) -si n 2 n + 1 u故對 A 1 , 有| A 1 | 4 L, 所以 A 1 一致收斂于零,從而1 f ( x + u) + f ( x - u) - f ( x + 0) - f ( x - 0)f ( x + 0) - f ( x - 0) 2d u =li m u 1u n 01 f ( x + ) + f ( x - ) - f ( x + 0) -2f ( x - 0) 2n+1si n t d t =tsi n 2 n + 1 u d u = 0 且一致收斂。2同 樣 由 引 理 3知 li mnS f (nx) -2n+12 f ( x + 0) + f ( x - 0) f ( x) - f ( x) 22n f ( x + ) - f ( x + 0) 2n+1si n t d t -2n+1t 2 2 f ( x - 0) - f ( x - ) 2n+1si n t d t= li m Sn= 0 且一致收斂, 這樣就證明了 f ( x) 的Fouri er 級數(shù)在區(qū)間 a , b 上一致收斂于 f ( x) , 定理3 證畢。2n+1 t2 ( 其中0 0 ,可選上述適當(dāng)?shù)? 使得0 f ( x + ) - f ( x + 0) ,0 f ( x - 0) - f ( x - ) ;同時, 由廣義積分 Di ri chl et 判別法可知 +si n t dt參考文獻(xiàn) 1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下). 北京: 高等教育出版 社,1991: 86 2 歐陽光中,朱學(xué)炎,秦曾復(fù). 數(shù)學(xué)分析(下). 上海: 上海科學(xué)技 術(shù)出版社,1982: 9 3 張筑生. 數(shù)學(xué)分析新講(下). 北京: 北京大學(xué)出版社,1990:102 103 4 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎,等. 數(shù)學(xué)分析(第二版) (下). 北京:高等教育出版社,1983: 100 103 5 歐陽光中,姚允龍. 數(shù)學(xué)分析. 上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社,19910tS e v e r a l P r o o f