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第1章 矩陣及其基本運(yùn)算第1章 矩陣及其基本運(yùn)算MATLAB，即“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，它是以矩陣為基本運(yùn)算單元。因此，本書從最基本的運(yùn)算單元出發(fā)，介紹MATLAB的命令及其用法。1.1 矩陣的表示1.1.1 數(shù)值矩陣的生成1實(shí)數(shù)值矩陣輸入MATLAB的強(qiáng)大功能之一體現(xiàn)在能直接處理向量或矩陣。當(dāng)然首要任務(wù)是輸入待處理的向量或矩陣。不管是任何矩陣（向量），我們可以直接按行方式輸入每個(gè)元素：同一行中的元素用逗號(hào)（，）或者用空格符來(lái)分隔，且空格個(gè)數(shù)不限；不同的行用分號(hào)（；）分隔。所有元素處于一方括號(hào)（ ）內(nèi)；當(dāng)矩陣是多維（三維以上），且方括號(hào)內(nèi)的元素是維數(shù)較低的矩陣時(shí)，會(huì)有多重的方括號(hào)。如： Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Time =11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_Data = 2.32 3.43；4.37 5.98X_Data =2.43 3.434.37 5.98 vect_a = 1 2 3 4 5vect_a =1 2 3 4 5 Matrix_B = 1 2 3； 2 3 4；3 4 5Matrix_B = 1 2 32 3 43 4 5 Null_M = %生成一個(gè)空矩陣2復(fù)數(shù)矩陣輸入復(fù)數(shù)矩陣有兩種生成方式：第一種方式例1-1 a=2.7;b=13/25; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1C= 1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000 第2種方式例1-2 R=1 2 3;4 5 6, M=11 12 13;14 15 16R = 1 2 3 4 5 6M = 11 12 13 14 15 16 CN=R+i*MCN = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i1.1.2 符號(hào)矩陣的生成在MATLAB中輸入符號(hào)向量或者矩陣的方法和輸入數(shù)值類型的向量或者矩陣在形式上很相像，只不過(guò)要用到符號(hào)矩陣定義函數(shù)sym，或者是用到符號(hào)定義函數(shù)syms，先定義一些必要的符號(hào)變量，再像定義普通矩陣一樣輸入符號(hào)矩陣。1用命令sym定義矩陣：這時(shí)的函數(shù)sym實(shí)際是在定義一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，這時(shí)的符號(hào)矩陣中的元素可以是任何的符號(hào)或者是表達(dá)式，而且長(zhǎng)度沒(méi)有限制，只是將方括號(hào)置于用于創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式的單引號(hào)中。如下例：例1-3 sym_matrix = sym（a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!，）sym_matrix =a b cJack Help Me! NO WAY! sym_digits = sym（1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）sym_digits =1 2 3a b csin（x）cos（y）tan（z）2用命令syms定義矩陣先定義矩陣中的每一個(gè)元素為一個(gè)符號(hào)變量，而后像普通矩陣一樣輸入符號(hào)矩陣。例1-4 syms a b c ； M1 = sym（Classical）； M2 = sym（ Jazz）； M3 = sym（Blues） syms_matrix = a b c； M1， M2， M3；int2str（2 3 5）syms_matrix = a b cClassical Jazz Blues 2 3 5把數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的符號(hào)矩陣。數(shù)值型和符號(hào)型在MATLAB中是不相同的，它們之間不能直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化。MATLAB提供了一個(gè)將數(shù)值型轉(zhuǎn)化成符號(hào)型的命令，即sym。例1-5 Digit_Matrix = 1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23（-11.23） Syms_Matrix = sym（Digit_Matrix）結(jié)果是：Digit_Matrix =0.3333 1.4142 3.42341.2586 3.3673 0.0000Syms_Matrix = 1/3， sqrt（2）， 17117/50005668230535726899*2（-52），7582476122586655*2（-51），5174709270083729*2（-103）注意：矩陣是用分?jǐn)?shù)形式還是浮點(diǎn)形式表示的，將矩陣轉(zhuǎn)化成符號(hào)矩陣后，都將以最接近原值的有理數(shù)形式表示或者是函數(shù)形式表示。1.1.3 大矩陣的生成對(duì)于大型矩陣，一般創(chuàng)建M文件，以便于修改：例1-6 用M文件創(chuàng)建大矩陣，文件名為example.mexm= 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 987 5488 10 9 6 33 77在MATLAB窗口輸入：example;size(exm) %顯示exm的大小ans= 5 6 %表示exm有5行6列。1.1.4 多維數(shù)組的創(chuàng)建函數(shù) cat格式 A=cat(n,A1,A2,Am)說(shuō)明 n=1和n=2時(shí)分別構(gòu)造A1；A2和A1，A2，都是二維數(shù)組，而n=3時(shí)可以構(gòu)造出三維數(shù)組。例1-7 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A4=cat(3,A1,A2,A3)A4(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9A4(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A4(:,:,3) = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 0或用另一種原始方式可以定義：例1-8 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3A5(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9A5(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A5(:,:,3) = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 01.1.5 特殊矩陣的生成命令 全零陣函數(shù) zeros格式 B = zeros(n) %生成nn全零陣B = zeros(m,n) %生成mn全零陣B = zeros(m n) %生成mn全零陣B = zeros(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全零陣或數(shù)組B = zeros(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全零陣或數(shù)組B = zeros(size(A) %生成與矩陣A相同大小的全零陣命令 單位陣函數(shù) eye格式 Y = eye(n) %生成nn單位陣Y = eye(m,n) %生成mn單位陣Y = eye(size(A) %生成與矩陣A相同大小的單位陣命令 全1陣函數(shù) ones格式 Y = ones(n) %生成nn全1陣Y = ones(m,n) %生成mn全1陣Y = ones(m n) %生成mn全1陣Y = ones(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全1陣或數(shù)組Y = ones(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全1陣或數(shù)組Y = ones(size(A) %生成與矩陣A相同大小的全1陣命令 均勻分布隨機(jī)矩陣函數(shù) rand 格式 Y = rand(n) %生成nn隨機(jī)矩陣，其元素在（0，1）內(nèi)Y = rand(m,n) %生成mn隨機(jī)矩陣Y = rand(m n) %生成mn隨機(jī)矩陣Y = rand(m,n,p,) %生成mnp隨機(jī)矩陣或數(shù)組Y = rand(m n p) %生成mnp隨機(jī)矩陣或數(shù)組Y = rand(size(A) %生成與矩陣A相同大小的隨機(jī)矩陣rand %無(wú)變量輸入時(shí)只產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)s = rand(state) %產(chǎn)生包括均勻發(fā)生器當(dāng)前狀態(tài)的35個(gè)元素的向量rand(state, s) %使?fàn)顟B(tài)重置為srand(state, 0) %重置發(fā)生器到初始狀態(tài)rand(state, j) %對(duì)整數(shù)j重置發(fā)生器到第j個(gè)狀態(tài)rand(state, sum (100*clock) %每次重置到不同狀態(tài)例1-9 產(chǎn)生一個(gè)34隨機(jī)矩陣 R=rand(3,4)R = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919例1-10 產(chǎn)生一個(gè)在區(qū)間10, 20內(nèi)均勻分布的4階隨機(jī)矩陣 a=10;b=20; x=a+(b-a)*rand(4)x = 19.2181 19.3547 10.5789 11.3889 17.3821 19.1690 13.5287 12.0277 11.7627 14.1027 18.1317 11.9872 14.0571 18.9365 10.0986 16.0379命令 正態(tài)分布隨機(jī)矩陣函數(shù) randn格式 Y = randn(n) %生成nn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣Y = randn(m,n) %生成mn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣Y = randn(m n) %生成mn正態(tài)分布隨機(jī)矩陣Y = randn(m,n,p,) %生成mnp正態(tài)分布隨機(jī)矩陣或數(shù)組Y = randn(m n p) %生成mnp正態(tài)分布隨機(jī)矩陣或數(shù)組Y = randn(size(A) %生成與矩陣A相同大小的正態(tài)分布隨機(jī)矩陣randn %無(wú)變量輸入時(shí)只產(chǎn)生一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)s = randn(state) %產(chǎn)生包括正態(tài)發(fā)生器當(dāng)前狀態(tài)的2個(gè)元素的向量s = randn(state, s) %重置狀態(tài)為ss = randn(state, 0) %重置發(fā)生器為初始狀態(tài)s = randn(state, j) %對(duì)于整數(shù)j重置狀態(tài)到第j狀態(tài)s = randn(state, sum(100*clock) %每次重置到不同狀態(tài)例1-11 產(chǎn)生均值為0.6，方差為0.1的4階矩陣 mu=0.6; sigma=0.1; x=mu+sqrt(sigma)*randn(4)x = 0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527命令 產(chǎn)生隨機(jī)排列函數(shù) randperm格式 p = randperm(n) %產(chǎn)生1n之間整數(shù)的隨機(jī)排列例1-12 randperm(6)ans = 3 2 1 5 4 6命令 產(chǎn)生線性等分向量函數(shù) linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上產(chǎn)生100個(gè)線性等分點(diǎn)y = linspace(a,b,n) %在(a, b)上產(chǎn)生n個(gè)線性等分點(diǎn)命令 產(chǎn)生對(duì)數(shù)等分向量函數(shù) logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之間產(chǎn)生50個(gè)對(duì)數(shù)等分向量y = logspace(a,b,n)y = logspace(a,pi)命令 計(jì)算矩陣中元素個(gè)數(shù)n = numel(a) %返回矩陣A的元素的個(gè)數(shù)命令 產(chǎn)生以輸入元素為對(duì)角線元素的矩陣函數(shù) blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,) %產(chǎn)生以a,b,c,d,為對(duì)角線元素的矩陣?yán)?-13 out = blkdiag(1,2,3,4)out = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4命令 友矩陣函數(shù) compan格式 A = compan(u) %u為多項(xiàng)式系統(tǒng)向量，A為友矩陣，A的第1行元素為 -u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)為u的第2到第n個(gè)元素，A為特征值就是多項(xiàng)式的特征根。例1-14 求多項(xiàng)式 的友矩陣和根 u=1 0 -7 6; A=compan(u) %求多項(xiàng)式的友矩陣A = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 eig(A) %A的特征值就是多項(xiàng)式的根ans = -3.0000 2.0000 1.0000命令 hadamard矩陣函數(shù) hadamard 格式 H = hadamard(n) %返回n階hadamard矩陣?yán)?-15 h=hadamard(4)h = 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1命令 Hankel方陣函數(shù) hankel格式 H = hankel(c) %第1列元素為c，反三角以下元素為0。H = hankel(c,r) %第1列元素為c，最后一行元素為r，如果c的最后一個(gè)元素與r的第一個(gè)元素不同，交叉位置元素取為c的最后一個(gè)元素。例1-16 c=1:3,r=7:10c = 1 2 3r = 7 8 9 10 h=hankel(c,r)h = 1 2 3 8 2 3 8 9 3 8 9 10命令 Hilbert矩陣函數(shù) hilb格式 H = hilb(n) %返回n階Hilbert矩陣，其元素為H(i,j)=1/(i+j-1)。例1-17 產(chǎn)生一個(gè)3階Hilbert矩陣 format rat %以有理形式輸出 H=hilb(3)H = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 命令 逆Hilbert矩陣函數(shù) invhilb格式 H = invhilb(n) %產(chǎn)生n階逆Hilbert矩陣命令 Magic(魔方)矩陣函數(shù) magic格式 M = magic(n) %產(chǎn)生n 階魔方矩陣?yán)?-18 M=magic(3)M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 命令 Pascal矩陣函數(shù) pascal格式 A = pascal(n) %產(chǎn)生n階Pascal矩陣，它是對(duì)稱、正定矩陣，它的元素由Pascal三角組成，它的逆矩陣的所有元素都是整數(shù)。A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系數(shù)組成的Pascal矩陣A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的轉(zhuǎn)置和交換的形式例1-19 A=pascal(4)A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 A=pascal(3,1)A = 1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 A=pascal(3,2)A = 1 1 1 -2 -1 0 1 0 0 命令 托普利茲矩陣函數(shù) toeplitz格式 T = toeplitz(c,r) %生成一個(gè)非對(duì)稱的托普利茲矩陣，將c作為第1列，將r作為第1 行，其余元素與左上角相鄰元素相等。T = toeplitz(r) %用向量r生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣?yán)?-20 c=1 2 3 4 5; r=1.5 2.5 3.5 4.5 5.5; T=toeplitz(c,r)T = 1 5/2 7/2 9/2 11/2 2 1 5/2 7/2 9/2 3 2 1 5/2 7/2 4 3 2 1 5/2 5 4 3 2 1 命令 Wilkinson特征值測(cè)試陣函數(shù) wilkinson格式 W = wilkinson(n) %返回n階Wilkinson特征值測(cè)試陣?yán)?-21 W=wilkinson(4)W = 3/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 3/2 W=wilkinson(7)W = 3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 1.2 矩陣運(yùn)算1.2.1 加、減運(yùn)算運(yùn)算符：“”和“”分別為加、減運(yùn)算符。運(yùn)算規(guī)則：對(duì)應(yīng)元素相加、減，即按線性代數(shù)中矩陣的“十”，“一”運(yùn)算進(jìn)行。例1-22 A=1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6B=8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2AB=A+BA-=A-B結(jié)果顯示：A+B=9 2 74 7 105 12 8AB=-7 0 -5-2 -3 -4-3 -6 41.2.2 乘法運(yùn)算符：*運(yùn)算規(guī)則：按線性代數(shù)中矩陣乘法運(yùn)算進(jìn)行，即放在前面的矩陣的各行元素，分別與放在后面的矩陣的各列元素對(duì)應(yīng)相乘并相加。1兩個(gè)矩陣相乘例1-23X= 2 3 4 5; 1 2 2 1；Y=0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0；Z=X*Y結(jié)果顯示為：Z= 8 5 6 3 3 3 2矩陣的數(shù)乘：數(shù)乘矩陣上例中：a=2*X則顯示：a =4 6 8 102 4 4 2向量的點(diǎn)乘（內(nèi)積）：維數(shù)相同的兩個(gè)向量的點(diǎn)乘。數(shù)組乘法：A.*B表示A與B對(duì)應(yīng)元素相乘。3向量點(diǎn)積函數(shù) dot格式 C = dot(A,B) %若A、B為向量，則返回向量A與B的點(diǎn)積，A與B長(zhǎng)度相同；若為矩陣，則A與B有相同的維數(shù)。C = dot(A,B,dim) %在dim維數(shù)中給出A與B的點(diǎn)積例 X=-1 0 2；Y=-2 -1 1;Z=dot(X, Y)則顯示：Z =4還可用另一種算法：sum(X.*Y)ans= 44向量叉乘在數(shù)學(xué)上，兩向量的叉乘是一個(gè)過(guò)兩相交向量的交點(diǎn)且垂直于兩向量所在平面的向量。在Matlab中，用函數(shù)cross實(shí)現(xiàn)。函數(shù) cross格式 C = cross(A,B) %若A、B為向量，則返回A與B的叉乘，即C=AB，A、B必須是3個(gè)元素的向量；若A、B為矩陣，則返回一個(gè)3n矩陣，其中的列是A與B對(duì)應(yīng)列的叉積，A、B都是3n矩陣。C = cross(A,B,dim) %在dim維數(shù)中給出向量A與B的叉積。A和B必須具有相同的維數(shù)，size(A,dim)和size(B,dim)必須是3。例1-24 計(jì)算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=1 2 3; b=4 5 6; c=cross(a,b)結(jié)果顯示： c= -3 6 -3可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量為(-3, 6, -3)5混合積混合積由以上兩函數(shù)實(shí)現(xiàn)：例1-25 計(jì)算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3, 6, -3) 的混合積解：a=1 2 3; b=4 5 6; c=-3 6 -3;x=dot(a, cross(b, c)結(jié)果顯示：x = 54注意：先叉乘后點(diǎn)乘，順序不可顛倒。6矩陣的卷積和多項(xiàng)式乘法函數(shù) conv格式 w = conv(u,v) %u、v為向量，其長(zhǎng)度可不相同。說(shuō)明 長(zhǎng)度為m的向量序列u和長(zhǎng)度為n的向量序列v的卷積(Convolution)定義為：式中：w向量序列的長(zhǎng)度為(m+n-1)，當(dāng)m=n時(shí)，w(1) = u(1)*v(1)w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)w(n) = u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+ +u(n)*v(1)w(2*n-1) = u(n)*v(n)例1-26 展開(kāi)多項(xiàng)式解： w=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1)w = 1 7 16 18 8 P=poly2str(w,s) %將w表示成多項(xiàng)式P = s4 + 7 s3 + 16 s2 + 18 s + 87反褶積（解卷）和多項(xiàng)式除法運(yùn)算函數(shù) deconv格式 q,r = deconv(v,u) %多項(xiàng)式v除以多項(xiàng)式u，返回商多項(xiàng)式q和余多項(xiàng)式r。注意：v、u、q、r都是按降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)向量。例1-27 ，則其卷積為u = 1 2 3 4v = 10 20 30c = conv(u,v)c = 10 40 100 160 170 120則反褶積為q,r = deconv(c,u)q = 10 20 30r = 0 0 0 0 0 08張量積函數(shù) kron格式 C=kron (A,B) %A為mn矩陣，B為pq矩陣，則C為mpnq矩陣。說(shuō)明 A與B的張量積定義為：AB與BA均為mpnq矩陣，但一般地ABBA。例1-28 求AB。 A=1 2;3 4;B=1 2 3;4 5 6;7 8 9; C=kron(A,B)C = 1 2 3 2 4 6 4 5 6 8 10 12 7 8 9 14 16 18 3 6 9 4 8 12 12 15 18 16 20 24 21 24 27 28 32 361.2.3 集合運(yùn)算1兩個(gè)集合的交集函數(shù) intersect格式 c = intersect(a,b) %返回向量a、b的公共部分，即c= ab。c = intersect(A,B,rows) %A、B為相同列數(shù)的矩陣，返回元素相同的行。c,ia,ib = intersect(a,b) %c為a、b的公共元素，ia表示公共元素在a中的位置，ib表示公共元素在b中位置。例1-29 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4A = 1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4B = 1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 C=intersect(A,B,rows)C = 6 7 1 4例1-30 A = 1 9 6 20; B = 1 2 3 4 6 10 20; c,ia,ib = intersect(A,B)c = 1 6 20ia = 1 3 4ib = 1 5 72檢測(cè)集合中的元素函數(shù) ismember格式 k = ismember(a,S) %當(dāng)a中元素屬于S時(shí)，k取1，否則，k取0。k = ismember(A,S,rows) %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0的列向量。例1-31 S=0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20; a=1 2 3 4 5 6; k=ismember(a,S)k = 0 1 0 1 0 1 %1表示相同元素的位置例1-32 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4 k=ismember(A,B,rows)k = 0 0 1 %1表示元素相同的行3兩集合的差函數(shù) setdiff格式 c = setdiff(a,b) %返回屬于a但不屬于b的不同元素的集合，C = a-b。c = setdiff(A,B,rows) %返回屬于A但不屬于B的不同行c,i = setdiff() %c與前面一致，i表示c中元素在A中的位置。例1-33 A = 1 7 9 6 20; B = 1 2 3 4 6 10 20; c=setdiff(A,B)c = 7 9例1-34 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4 c=setdiff(A,B,rows)c = 1 2 3 4 1 2 4 64兩個(gè)集合交集的非（異或）函數(shù) setxor格式 c = setxor(a,b) %返回集合a、b交集的非c = setxor(A,B,rows) %返回矩陣A、B交集的非，A、B有相同列數(shù)。c,ia,ib = setxor() %ia、ib表示c中元素分別在a (或A)、b(或B)中位置例1-35 A=1 2 3 4; B=2 4 5 8; C=setxor(A,B)C = 1 3 5 8例1-36 A=1 2 3 4;1 2 4 6;6 7 1 4A = 1 2 3 4 1 2 4 6 6 7 1 4 B=1 2 3 8;1 1 4 6;6 7 1 4B = 1 2 3 8 1 1 4 6 6 7 1 4 C,ia,ib=setxor(A,B,rows)C = 1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6ia = 1 2ib = 2 15兩集合的并集函數(shù) union格式 c = union(a,b) %返回a、b的并集，即c = ab。c = union(A,B,rows) %返回矩陣A、B不同行向量構(gòu)成的大矩陣，其中相同行向量只取其一。c,ia,ib = union() %ia、ib分別表示c中行向量在原矩陣(向量)中的位置例1-37 A=1 2 3 4； B=2 4 5 8； c=union(A,B)則結(jié)果為c = 1 2 3 4 5 8例1-38 A=1 2 3 4;1 2 4 6A = 1 2 3 4 1 2 4 6 B=1 2 3 8;1 1 4 6B = 1 2 3 8 1 1 4 6 c,ia,ib=union(A,B,rows)c = 1 1 4 6 1 2 3 4 1 2 3 8 1 2 4 6ia = 1 2ib = 2 16取集合的單值元素函數(shù)格式 b = unique (a) %取集合a的不重復(fù)元素構(gòu)成的向量b = unique (A,rows) %返回A、B不同行元素組成的矩陣b,i,j = unique () %i、j體現(xiàn)b中元素在原向量（矩陣）中的位置例1-39 A=1 1 2 2 4 4 6 4 6A = 1 1 2 2 4 4 6 4 6 c,i,j=unique(A)c = 1 2 4 6i = 2 4 8 9j = 1 1 2 2 3 3 4 3 4例1-40 A=1 2 2 4;1 1 4 6;1 1 4 6A = 1 2 2 4 1 1 4 6 1 1 4 6 c,i,j=unique(A,rows)c = 1 1 4 6 1 2 2 4i = 3 1j = 2 1 11.2.4 除法運(yùn)算Matlab提供了兩種除法運(yùn)算：左除（）和右除（/）。一般情況下，x=ab是方程a*x =b的解，而x=b/a是方程x*a=b的解。例：a=1 2 3; 4 2 6; 7 4 9b=4; 1; 2;x=ab則顯示：x=-1.5000 2.00000.5000如果a為非奇異矩陣，則ab和b/a可通過(guò)a的逆矩陣與b陣得到： ab = inv(a)*b b/a = b*inv(a)數(shù)組除法：A./B表示A中元素與B中元素對(duì)應(yīng)相除。1.2.5 矩陣乘方運(yùn)算符：運(yùn)算規(guī)則：（1）當(dāng)A為方陣，P為大于0的整數(shù)時(shí)，AP表示A的P次方，即A自乘P次；P為小于0的整數(shù)時(shí)，AP表示A-1的P次方。（2）當(dāng)A為方陣，p為非整數(shù)時(shí)，則其中V為A的特征向量，為特征值對(duì)角矩陣。如果有重根，以上指令不成立。（3）標(biāo)量的矩陣乘方PA，標(biāo)量的矩陣乘方定義為式中V，D取自特征值分解AV=AD。（4）標(biāo)量的數(shù)組乘方P.A，標(biāo)量的數(shù)組乘方定義為數(shù)組乘方：A.P：表示A的每個(gè)元素的P次乘方。1.2.6 矩陣函數(shù)命令 方陣指數(shù)函數(shù) expm格式 Y = expm(A) %使用Pade近似算法計(jì)算eA，這是一個(gè)內(nèi)部函數(shù)，A為方陣。 Y=expm1(A) %使用一個(gè)M文件和內(nèi)部函數(shù)相同的算法計(jì)算eA Y=expm2(A) %使用泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算eA Y=expm3(A) %使用特征值和特征向量計(jì)算eA命令 矩陣的對(duì)數(shù)函數(shù) logm格式 Y = logm(X) %計(jì)算矩陣X的對(duì)數(shù)，它是expm(X)的反函數(shù)。Y,esterr = logm(X) %esterr為相對(duì)殘差的估計(jì)值：norm(expm(Y)-X)/norm(X)例1-41 A=1 1 0;0 0 2;0 0 -1; Y=expm(A)Y = 2.7183 1.7183 1.0862 0 1.0000 1.2642 0 0 0.3679 A=logm(Y)A = 1.0000 1.0000 0.0000 0 0 2.0000 0 0 -1.0000命令 方陣的函數(shù)函數(shù) funm格式 F = funm(A,fun) %A為方陣，計(jì)算由fun指定的A的矩陣函數(shù)，fun可以是任意基本函數(shù)，如sin、cos等等，例如：funm(A, exp)=expm(A)。F,esterr = funm(A,fun) %esterr為結(jié)果所產(chǎn)生的相對(duì)誤差的估計(jì)值。命令 矩陣的方根函數(shù) sqrtm格式 X = sqrtm(A) %矩陣A的平方根A1/2，相當(dāng)于X*X=A，求X。若A的特征值有非負(fù)實(shí)部，則X是唯一的；若A的特征值有負(fù)的實(shí)部，則X為復(fù)矩陣；若A為奇異矩陣，則X不存在。X,resnorm = sqrtm(A) % resnorm為結(jié)果產(chǎn)生的相對(duì)誤差X,alpha,condest = sqrtm(A) % alpha為穩(wěn)定因子，condest為結(jié)果的條件數(shù)的估計(jì)值。命令 矩陣A的多項(xiàng)式函數(shù) polyvalm格式 polyvalm(P, A) %P為多項(xiàng)式系數(shù)向量，方陣A為多項(xiàng)式變量，返回多項(xiàng)式值。1.2.7 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算符：運(yùn)算規(guī)則：若矩陣A的元素為實(shí)數(shù)，則與線性代數(shù)中矩陣的轉(zhuǎn)置相同。若A為復(fù)數(shù)矩陣，則A轉(zhuǎn)置后的元素由A對(duì)應(yīng)元素的共軛復(fù)數(shù)構(gòu)成。若僅希望轉(zhuǎn)置，則用如下命令：A.。1.2.8 方陣的行列