高中數(shù)學(xué) （主干知識+典例精析）3.1任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù)課件 理 新人教B版.ppt

第一節(jié)任意角的概念與弧度制 任意角的三角函數(shù) 三年3考高考指數(shù) 1 了解任意角的概念 2 了解弧度制的概念 能進(jìn)行弧度與角度的互化 3 理解任意角的三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 的定義 1 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用是本節(jié)的考查重點(diǎn) 注意三角函數(shù)值符號的確定 2 同角三角函數(shù)關(guān)系式常用來化簡 求值 是高考的熱點(diǎn) 3 主要以選擇題 填空題的形式考查 1 角的有關(guān)概念 1 角的分類 按旋轉(zhuǎn)的方向 正角 按照 方向旋轉(zhuǎn)而成的角 角負(fù)角 按照 方向旋轉(zhuǎn)而成的角 射線沒有旋轉(zhuǎn) 逆時(shí)針 順時(shí)針 零角 2 象限角 第一象限角 2k 2k k z 第二象限角 2k 2k k z 第三象限角 2k 2k k z 第四象限角 2k 2k 2 k z 3 終邊相同的角所有與 終邊相同的角 包括 本身構(gòu)成一個(gè)集合 這個(gè)集合可記為s 或 k 360 k z 2k k z 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 角 為銳角是角 為第一象限角的什么條件 提示 充分不必要條件 因?yàn)殇J角為大于0小于的角 而第一象限角為 2k 2k k z 2 若 是第二象限角 判斷下列表述是否正確 在括號內(nèi)填 或 k 360 45 k z 90 180 k 360 90 k 360 180 k z k 180 135 k z 解析 k 360 45 k z表示的是與45 終邊相同的角 是第一象限的角 故不正確 90 180 不能表示所有第二象限的角 故不正確 正確 k 180 135 表示的是當(dāng)k為偶數(shù)時(shí) 與135 終邊相同的角 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí) 與315 終邊相同的角 不能表示第二象限的角 故不正確 答案 2 弧度的定義和公式 1 定義 長度等于 的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 弧度記作rad 2 公式 半徑長 角的弧度數(shù)公式 弧長用l表示 角度與弧度的換算 1 rad 弧長公式 弧長l 扇形面積公式 s 1rad 即時(shí)應(yīng)用 1 337 30 的弧度數(shù)是 2 的度數(shù)為 3 扇形半徑為45 圓心角為120 則弧長為 解析 1 337 30 表示的弧度數(shù)為 2 的度數(shù)為 75 3 圓心角120 的弧度數(shù)為 故弧長l 45 30 答案 1 2 75 3 30 3 任意角的三角函數(shù) 1 任意角的三角函數(shù)的定義 為任意角 的終邊上任意一點(diǎn)p 異于原點(diǎn) 的坐標(biāo) x y 它與原點(diǎn)的距離 op r r 0 則sin cos tan cot sec csc 2 三角函數(shù)在各象限的符號 象限 函數(shù) 符號 3 三角函數(shù)線三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示 正弦線的起點(diǎn)都在x軸上 余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn) 正切線的起點(diǎn)都是 1 0 如圖中有向線段mp om at分別叫做角 的 角 的 和角 的 正弦線 余弦線 正切線 即時(shí)應(yīng)用 1 已知角 終邊上一點(diǎn)a 2 2 則sin cos tan cot sec csc 2 判斷下列三角函數(shù)值的符號 sin tan csc 解析 1 r sin cos tan cot sec csc 2 是第二象限角 sin 是第三象限角 tan 是第四象限角 csc 答案 1 2 正 正 負(fù) 弧度制的應(yīng)用 方法點(diǎn)睛 弧度制的應(yīng)用 1 引進(jìn)弧度制后 實(shí)現(xiàn)了角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化 在弧度制下可以應(yīng)用弧長公式 l r 扇形面積公式 s lr r2 計(jì)算弧長和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡捷 方便 2 應(yīng)用上述公式時(shí) 要先把角統(tǒng)一為用弧度制表示 提醒 弧度制和角度制不能混用 解決問題時(shí)要先統(tǒng)一 例1 已知扇形的圓心角是 半徑為r 弧長為l 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧長l 2 若扇形的周長為20cm 當(dāng)扇形的圓心角 為多少弧度時(shí) 這個(gè)扇形的面積最大 3 若 r 2cm 求扇形的弧所在的弓形的面積 解題指南 1 可直接用弧長公式 但要注意用弧度制 2 可用弧長或半徑表示出扇形面積 然后確定其取最大值時(shí)的半徑和弧長 進(jìn)而求出圓心角 3 利用s弓 s扇 s 這樣就需要求扇形的面積和三角形的面積 規(guī)范解答 1 l 10 cm 2 由已知得 l 2r 20 所以s lr 20 2r r 10r r2 r 5 2 25 所以r 5時(shí) s取得最大值25 此時(shí)l 10 2rad 3 設(shè)弓形面積為s弓 由題知l cms弓 s扇 s 2 22 sin cm2 互動探究 將本例第 1 小題中的r 10cm改為扇形的弦ab cm 再求弧長l 解析 因?yàn)閳A心角 60 ab cm 所以r cm l cm 反思 感悟 1 弧度制下的弧長 扇形面積公式與角度制下的弧長公式l 扇形面積公式s 有著必然的內(nèi)在聯(lián)系 2 在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)要注意合理地利用圓心角所在的三角形 變式備選 扇形oab的面積是1cm2 它的周長是4cm 求圓心角的弧度數(shù)和弦ab的長 解析 設(shè)扇形的半徑為rcm 弧長為lcm 圓心角的弧度數(shù)2r l 4r 1為 則有 解得lr 1l 2 由 得 2 ab 2sin1 cm 弦長ab為2sin1cm 終邊相同角的表示 方法點(diǎn)睛 1 角 與所在象限的關(guān)系 第一或第三象限 第二或第四象限 2 正確區(qū)分 是第一象限角 與 0 是第一象限角 則有2k 2k k z 顯然 若 是第一象限角 不一定是0 若0 則 必為第一象限角 例2 已知角 是第一象限角 確定2 終邊所在的象限位置 解題指南 確定 的范圍 并求出2 的范圍 由2 的范圍討論終邊所在位置 規(guī)范解答 是第一象限角 k 2 k 2 k z k 4 2 k 4 k z 即2k 2 2 2k 2 k z 2 的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上 當(dāng)k 2n n z 時(shí) 的終邊在第一或第三象限 當(dāng)k 2n 1 n z 時(shí) 即 的終邊在第二或第四象限 綜上 2 的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上 的終邊在第一象限或第二象限或第三象限或第四象限 反思 感悟 1 是第一象限的角 是指 的終邊落在第一象限內(nèi) 可表示為2 解答本題時(shí)容易出現(xiàn)把 第一象限的角 與 銳角 混為一談 誤認(rèn)為第一象限角就是銳角而出現(xiàn)錯(cuò)誤 變式訓(xùn)練 若角 與 的終邊在一條直線上 則 與 的關(guān)系是 解析 當(dāng) 的終邊重合時(shí) k 2 k z 當(dāng) 的終邊互為反向延長線時(shí) k 2 2k 1 k z 答案 k 2 k z或 2k 1 k z 三角函數(shù)的定義 方法點(diǎn)睛 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 1 已知角 終邊上一點(diǎn)p的坐標(biāo) 則可先求出點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離r 然后利用三角函數(shù)的定義求解 2 已知角 的終邊所在的直線方程 則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo) 求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題 若直線的傾斜角為特殊角 也可直接寫出角 的三角函數(shù)值 例3 已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 sin cos tan 的值 解題指南 在直線上設(shè)出點(diǎn) 求出所設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 求得三角函數(shù)值 因?yàn)樗O(shè)點(diǎn)可在不同象限 所以需要討論 規(guī)范解答 角 的終邊在直線3x 4y 0上 在角 的終邊上任取一點(diǎn)p 4t 3t t 0 則x 4t y 3t r po 當(dāng)t 0時(shí) r 5t sin tan 當(dāng)t 0時(shí) r 5t sin cos tan 綜上可知 sin cos tan 或sin cos tan 反思 感悟 1 利用三角函數(shù)定義解題時(shí) 方法比較靈活 若是角 的終邊落到一條直線上 一般要分類討論 2 任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系 1 聯(lián)系 銳角三角函數(shù)是任意角的三角函數(shù)的一種特例 它們的基礎(chǔ)是建立于相似或直角三角形的性質(zhì) r 同為正值 2 區(qū)別 銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的 任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離 坐標(biāo)與坐標(biāo)的比來定義的 它也適合銳角三角函數(shù)的定義 3 實(shí)質(zhì) 由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程 變式訓(xùn)練 2012 濟(jì)南模擬 已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)p m m 0 且sin 試判斷角 所在的象限 并求cos 和tan 的值 解析 由題意 得r m 0 m 故角 是第二或第三象限角 當(dāng)m 時(shí) r 點(diǎn)p的坐標(biāo)為 cos tan 當(dāng)m 時(shí) r 點(diǎn)p的坐標(biāo)為 cos tan 變式備選 已知角 的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 求 的三角函數(shù)值 解析 因?yàn)榻?的終邊過點(diǎn) a 2a a 0 所以 r x a y 2a 當(dāng)a 0時(shí) sin cos tan 2 當(dāng)a 0時(shí) sin cos tan 2 易錯(cuò)誤區(qū) 三角函數(shù)的定義應(yīng)用誤區(qū) 典例 2011 江西高考 已知角 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 始邊為x軸的正半軸 若p 4 y 是角 終邊上一點(diǎn) 且sin 則y 解題指南 根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程求出y值 注意y的符號 規(guī)范解答 由p 4 y 是角 終邊上一點(diǎn) 且sin 可知y 0 op 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得化簡得y2 64 解得y 8 答案 8 閱卷人點(diǎn)撥 通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議 1 2011 上海高考 若三角方程sinx 0與sin2x 0的解集分別為e f 則 a e f b e f c e f d e f 解析 選a 因?yàn)閟inx 0 sin2x 0 所以角x和角2x的終邊都在x軸上 所以e x x k k z f x x k z