2016_17學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式章末分層突破3學(xué)案蘇教版.docx

第3章 不等式章末分層突破自我校對分式不等式的解法選點法一正、二定、三相等_不等式的解法1.一元二次不等式的求解流程(1)一化：化二次項系數(shù)為正數(shù)(2)二判：判斷對應(yīng)方程的根(3)三求：求對應(yīng)方程的根(4)四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象(5)五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集2含參數(shù)的一元二次不等式的分類和討論步驟(1)對二次項系數(shù)含有參數(shù)的一元二次不等式，要注意對二次項系數(shù)是否為零的討論，特別當(dāng)二次項系數(shù)為零時需轉(zhuǎn)化為一元一次不等式來求解(2)對含參數(shù)的一元二次不等式，在其解的情況不明確的情況下，需要對其判別式分0，0，x2，x1x2，x11(a1)【精彩點撥】先化分式不等式為整式不等式，再就a的取值討論不等式的解法【規(guī)范解答】原不等式可化為10，即(a1)(x2)0，(*)當(dāng)a1時，(*)即為(x2)0，而210.2或x.當(dāng)a1時，(*)即為(x2)0，而2.若0a2，此時2x；若a0，則(x2)20，此時無解；若a0，則2，此時x1時，不等式的解集為；當(dāng)0a1時，不等式的解集為；當(dāng)a0時，不等式的解集為；當(dāng)a0時，不等式的解集為.再練一題1解不等式x22ax20.【解】對于方程x22ax20，因為4a28，所以當(dāng)0，即a0，即a或a時，x22ax20有兩個不相等的實根，分別為x1a，x2a，且x1或a時，解集為x|axa；當(dāng)a時，解集為x|x；當(dāng)a時，解集為x|x；當(dāng)a時，解集為.簡單的線性規(guī)劃問題1.線性規(guī)劃在實際中的類型(1)給定一定數(shù)量的人力、物力資源，如何運用這些資源，使完成任務(wù)量最大，收到的效益最高；(2)給定一項任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排，使得完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最少2解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟(1)列：設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)(2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域(3)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一族平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線(4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解(5)答：作出答案某廠用甲、乙兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，制造1 t A,1 t B產(chǎn)品需要的各種原料數(shù)，可得到的利潤以及工廠現(xiàn)有各種原料數(shù)如下表：(1)在現(xiàn)有原料條件下，生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品各多少時，才能使利潤最大？(2)每噸B產(chǎn)品的利潤在什么范圍變化時，原最優(yōu)解不變？當(dāng)超出這個范圍時，最優(yōu)解有何變化？【精彩點撥】先用二元一次不等式組表示約束條件，并畫出可行域，再利用圖解法求最優(yōu)解【規(guī)范解答】(1)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x t，y t，則利潤z5x3y，x，y滿足作出可行域如圖：當(dāng)直線5x3yz過點B時，z取最大值37，即生產(chǎn)A產(chǎn)品 t，B產(chǎn)品 t時，可得最大利潤(2)設(shè)每噸B產(chǎn)品利潤為m萬元，則目標(biāo)函數(shù)是z5xmy，直線斜率k，又kAB2，kCB，要使最優(yōu)解仍為B點，則2，解得m15，則B產(chǎn)品的利潤在萬元/t與15萬元/t之間時，原最優(yōu)解仍為生產(chǎn)A產(chǎn)品 t，B產(chǎn)品 t，若B產(chǎn)品的利潤超過15萬元/t，則最優(yōu)解為C(0,6)，即只生產(chǎn)B產(chǎn)品6 t，若B產(chǎn)品利潤低于萬元/t，則最優(yōu)解為A(7,0)，即只生產(chǎn)A產(chǎn)品7 t.再練一題2實數(shù)x，y滿足不等式組則W的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號：91730074】【解析】連線的斜率問題畫出題中不等式組所表示的可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)W表示陰影部分的點與定點A(1,1)的連線的斜率，由圖可知，點(1,1)與點(1,0)連線的斜率為最小值，最大值趨近于1，但永遠(yuǎn)達(dá)不到1，故W0，b0)解“定積求和，和最小”問題，用ab2解“定和求積，積最大”問題一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量等方法，構(gòu)造定值成立的條件，和對等號能否成立的驗證若等號不能取到，則應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來求最值，還要注意運用基本不等式解決實際問題設(shè)函數(shù)f(x)x，x0，)(1)當(dāng)a2時，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)當(dāng)0a0，0，x12，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時，f(x)取最小值此時，f(x)min21.(2)當(dāng)0a1時，f(x)x11，若x12，則當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號，此時x1x20，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1x20，x1x20，x111，x211，(x11)(x21)1，而0a1，0，f(x)在0，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(0)a.再練一題3東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價為100元，從今年起，工廠投入100萬元科技成本，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本，預(yù)計產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本投入n關(guān)系g(n)，若水晶產(chǎn)品銷售價格不變，第n次投入后的平均利潤為f(n)萬元(1)求f(n)；(2)從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？【解】(1)第n次投入后，產(chǎn)量10n萬件，售價100元，固定成本元，科技成本投入100n萬元，f(n)(10n)100n(nN*)(2)由(1)知f(n)(10n)100n1 00080520(萬元)，當(dāng)，即n8時，利潤最高，最高利潤520萬元答：從今年算起第8年利潤最高為520萬元.等價轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化與化歸，就是轉(zhuǎn)化已知和所求，對于恒成立問題，一般是探求字母參數(shù)的取值范圍，經(jīng)常采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為字母參數(shù)與函數(shù)的最值關(guān)系問題對于不等式恒成立求參數(shù)范圍問題常見類型及解法有以下幾種：1變更主元法根據(jù)實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元2分離參數(shù)法若f(a)g(x)恒成立，則f(a)g(x)恒成立，則f(a)g(x)max.3數(shù)形結(jié)合法利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化若x22ax2a在x1，)上恒成立，求a的取值范圍【精彩點撥】可聯(lián)系二次函數(shù)，利用對稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系討論a，也可結(jié)合二次函數(shù)的圖象構(gòu)造a的不等式組【規(guī)范解答】法一：設(shè)f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為xa.(1)當(dāng)a(，1)時，結(jié)合圖象知，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3.又a1，3a1.(2)當(dāng)a1，)時，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1.又a1，1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3,1法二：由已知得x22ax2a0在1，)上恒成立，令g(x)x22ax2a，即(2a)24(2a)0或解得3a1.再練一題4若關(guān)于x的不等式0，0，要使2x28x6m0恒成立，則只需要0，即648(6m)0，m2，m的取值范圍是m0對任意的x恒成立，則只需m2x28x6對任意的x恒成立，2x28x62(x2)222，2x28x6在xR上的最小值為2，m0，y0時，xy(2y)x的最小值為_【解析】因為xy，所以(2y)x.又x0.y0，故xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時，等號成立【答案】4(2016浙江高考改編)在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區(qū)域中的點在直線xy20上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|_.【解析】作出可行域，如圖所示由得A(2，2)由得B(1,1)由于直線xy0與直線xy20平行，所以可行域中的點在直線xy20上的投影AB的長度|AB|AB|3.【答案】35(2016江蘇高考)已知實數(shù)x，y滿足則x2y2的取值范圍是_【解析】根據(jù)已知的不等式組畫出可行域，如圖陰影部分所示，則(x，y)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點d可以看做坐標(biāo)原點O與可行域內(nèi)的點(x，y)之間的距離數(shù)形結(jié)合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線2xy20的距離由可得A(2,3)，所以dmax，dmin.所以d2的最小值為，最大值為13.所以x2y2的取值范圍是.【答案】章末綜合測評(三)(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填在題中的橫線上)1若不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，那么ab_.【解析】因為x22x30的解集為Ax|1x3，不等式x2x60的解集為Bx|3x2，不等式x2axb0的解集為ABx|1x1；錯，與為負(fù)時不成立【答案】4某工廠第一年的產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b.這兩年的平均增長率為x，則x與的大小關(guān)系為_. 【導(dǎo)學(xué)號：91730075】【解析】由題意可知A(1x)2A(1a)(1b)A2，x.【答案】x5(2016南京高二檢測)若0x1,0y2，且2yx1，則z2y2x4的最小值為_【解析】由已知作出可行域(如圖)，由z2y2x4，得yx2，當(dāng)x1，y1時，zmin4.【答案】46設(shè)Ma(2a3)，Nlog，xR，則M，N的大小關(guān)系為_【解析】Ma22224，此時a21，a3，而2a4，Nloglog4，MN.【答案】MN7在如圖1所示的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，目標(biāo)函數(shù)zxay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的一個可能值是_圖1【解析】若最優(yōu)解有無數(shù)個，則yx與其中一條邊平行，而三邊的斜率分別為，1,0，與對照可知a3或1，又因zxay取得最小值，則a3.【答案】38將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2 m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是_(1)6.5 m；(2)6.8 m；(3)7 m；(4)7.2 m.【解析】設(shè)兩直角邊分別為a，b，直角三角形的框架的周長為l，則ab2，ab4，lab2426.828(m)因為要求夠用且浪費最少，故答案為(3)【答案】(3)9方程x2(m2)x5m0的兩根都大于2，則m的取值范圍是_【解析】令f(x)x2(m2)x5m，要使f(x)0的兩根都大于2，則解得故答案為(5，4【答案】(5，410已知等比數(shù)列an各項均為正數(shù)，公比q1，設(shè)P，Q，則P與Q的大小關(guān)系是_【解析】an是等比數(shù)列，a2a9a4a7，.又q1，a2a9，PQ.【答案】PQ11已知函數(shù)f(x)若f(f(1)3a2，則a的取值范圍是_【解析】f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)3a2，則96a3a2，即a22a30，解得1a3.【答案】(1,3)12已知x，y，z(0，)，且滿足x2y3z0，則的最小值為_【解析】由題意知y，所以3，當(dāng)且僅當(dāng)x29z2時等號成立，所以的最小值為3.【答案】313(2016蘇州高二檢測)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么不等式f(x2)5的解集是_. 【導(dǎo)學(xué)號：91730076】【解析】因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(|x2|)f(x2)，則f(x2)5可化為f(|x2|)5，即|x2|24|x2|5，(|x2|1)(|x2|5)0，所以|x2|5，解得7x3，所以不等式f(x2)1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)zx5y的最大值為4，則m的值為_【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示，把目標(biāo)函數(shù)化為yx，顯然當(dāng)yx過點A時取到最大值此時z4，即yx.由得A.把A代入ymx得，m，m1.【答案】1二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)解關(guān)于x的不等式：0(aR)【解】原不等式等價于(xa)(xa2)0.(1)當(dāng)a0時，原不等式為x20，x.(2)當(dāng)a1時，原不等式為(x1)20，x.(3)當(dāng)0aa2，原不等式的解集為x|a2xa(4)當(dāng)a1時，a2a，原不等式的解集為x|axa2綜上，當(dāng)a0或a1時，不等式解集為；當(dāng)0a1時，不等式解集為x|a2xa；當(dāng)a1時，不等式解集為x|axa216(本小題滿分14分)已知關(guān)于x的不等式kx22x6k0(k0)(1)若不等式的解集是x|x2，求k的值；(2)若不等式的解集是R，求k的取值范圍【解】(1)因為不等式的解集為x|x2，所以3，2是方程kx22x6k0的兩根且k0.由根與系數(shù)的關(guān)系得解得k.(2)因為不等式的解集為R，所以即所以k0，tan Btan C1.由得tan Btan C.又由tan Btan C1得1，tan A2.tan Atan Btan C(tan A2)4248，當(dāng)且僅當(dāng)tan A2，即tan A4時取得等號故tan Atan Btan C的最小值為8.19(本小題滿分16分)規(guī)定：max(a，b，c)與min(a，b，c)分別表示a，b，c中的最大數(shù)與最小數(shù)，若正系數(shù)二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象與x軸有公共點，試證：(1)max(a，b，c)f(1)；(2)min(a，b，c)f(1)【證明】由題意知a，b，c0，f(1)abc，b24ac0.(1)若bf(1)，結(jié)論顯然成立；下面證明當(dāng)bf(1)時，結(jié)論也成立記f(1)abcd.，由b24ac0，可知acd，所以a2d2a2aca(ac)ad，即0，解得ad.若ad，cd.因此，必有af(1)或bf(1)或cf(1)，于是max(a，b，c)f(1)(2)若af(1)，結(jié)論顯然成立；下面證明當(dāng)af(1)時，結(jié)論也成立因為bcdacd，所以ccbd，整理為0，解得cd.因此，必有af(1)或cb7，所以到7月份甲企業(yè)的產(chǎn)值比乙企業(yè)的產(chǎn)值要大(2)設(shè)一共使用了n天，n天的平均耗資P(n)2(元)，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，此時n800，即日平均耗資最少時使用了800天模塊綜合測評(時間120分鐘，滿分160分)一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案填在題中的橫線上)1在ABC中，a，b，c所對的角分別為A，B，C，若a2，A，B，則b等于_【解析】由正弦定理得b.【答案】2已知等比數(shù)列an的公比q為正數(shù)，且a5a74a，a21，則a1_.【解析】an成等比數(shù)列，a5a7a，a4a，q24，q2.又q0，q2.a1.【答案】3設(shè)x0，y0，下列不等式中等號不成立的是_xy4；(xy)4；4；2.【解析】中，.因為2，故應(yīng)用不等式時，等號不成立【答案】4等差數(shù)列an滿足aa2a4a79，則其前10項之和為_【解析】由aa2a4a79，可知a4a73.S1015.【答案】155已知點A(3，1)，B(1,2)在直線ax2y10的同側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍為_【解析】由題意可知，(3a3)(a3)0，即(a1)(a3)0，1a3.【答案】(1,3)6已知2a10的解集是_【解析】x24ax5a20，即(x5a)(xa)0，而方程(x5a)(xa)0的根為x1a，x25a.2a10，則a5a，原不等式的解集為x|xa【答案】x|xa7在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c，成等比數(shù)列，且c2a，則cos B_.【解析】由已知可知b2ac.又c2a，cos B.【答案】8(2016南通高二檢測)已知數(shù)列1，a1，a2,4等差數(shù)列，且實數(shù)列1，b1，b2，b3,4成等比數(shù)列，則的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：91730077】【解析】a1a2145，b144，但b21q20，b22，故.【答案】9臺風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40 km處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)持續(xù)的時間為_小時【解析】設(shè)t小時后，B市處于危險區(qū)內(nèi)，則由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45302.化簡得4t28t70，t1t22，t1t2.從而|t1t2|1.【答案】110設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為_【解析】首先畫出線性約束條件的可行域(如圖陰影部分)，是一個三角形，然后在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)z3xy，當(dāng)經(jīng)過x2y4與xy1的交點(2,1)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值z3215.【答案】511已知數(shù)列an：，那么數(shù)列的前n項和為_【解析】觀察數(shù)列an可知，an，4，的前n項和為：44444.【答案】12(2016鎮(zhèn)江高二檢測)已知二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域為0，)，則的最小值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：91730078】【解析】二次函數(shù)f(x)ax2xc(xR)的值域0，)，a0，且0，ac，c0，222810，當(dāng)且僅當(dāng)ac時取等號【答案】1013(2016南京高二檢測)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_【解析】2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc，cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(當(dāng)且僅當(dāng)bc時取得“”)，SABCbcsin A4.【答案】14設(shè)an是等比數(shù)列，公比q，Sn為an的前n項和記Tn，nN*.設(shè)Tn0為數(shù)列Tn的最大項，則n0_.【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式Sn，故Tn，令qn()nt，則函數(shù)g(t)t，當(dāng)t4時函數(shù)g(t)取得最小值，此時n4，而0，故此時Tn最大，所以n04.【答案】4二、解答題(本大題共6小題，共90分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分14分)已知a，b，c分別為ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.【解】(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.16(本小題滿分14分)已知數(shù)列an的前n項和Sn與通項an滿足Snan.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2017.【解】(1)當(dāng)n1時，a1.當(dāng)n2時，anSnSn1，又Snan，anan1，即數(shù)列an是首項為，公比為的等比數(shù)列，故ann.(2)由已知得f(an)log3nn，bnf(a1)f(a2)f(an)123n，2，Tn22.T2 0172.17(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)x22x8，g(x)2x24x16.(1)求不等式g(x)2，均有f(x)(m2)xm15成立，求實數(shù)m的取值范圍【解】(1)g(x)2x24x160，(2x4)(x4)0，2x4，不等式g(x)0的解集為x|2x2時，f(x)(m2)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)，對一切x2，均有不等式m成立而(x1)2222(當(dāng)x3時等號成立)實數(shù)m的取值范圍是(，218(本小題滿分16分)(2016蘇州高二檢測)已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當(dāng)d0時，an2；當(dāng)d4時，an2(n1)44n2，從而得數(shù)列an的通項公式為