初中數(shù)學(xué)-釋疑類課程-垂徑定理求弦長（定稿）.doc

釋疑類課程:垂徑定理求弦長微課說明 從2012年寧波卷第18題說起一、【背景說明】 垂徑定理是圓的一個重要知識,是許多以圓為背景的平面幾何問題的主要解題依據(jù).為進(jìn)一步整合知識結(jié)構(gòu),有必要對垂徑定理在試題中的呈現(xiàn)形式做提煉,希望能提高學(xué)生快速尋找解題思路的能力水平. 二、【內(nèi)容分析】本微課選用例題是2012年寧波市數(shù)學(xué)中考試卷第18題，該題以圓為背景,在動點問題的基礎(chǔ)上求線段長度的最小值,考查垂徑定理、圓周角定理等知識,本微課通過對該題目的解析,重點探究垂徑定理在試題中的呈現(xiàn)及應(yīng)用方式.三、【適用對象】 浙教版初中數(shù)學(xué)九年級第三章圓復(fù)習(xí)課.四、【構(gòu)思說明】本微課以指導(dǎo)學(xué)生解題為主,從審題到定性判斷EF的最小值,進(jìn)而探索如何求出此時EF的長度,即最小值.在這個過程中,重點突出以垂徑定理為基礎(chǔ)的半徑、半弦、弦心距所構(gòu)造的直角三角形中勾股定理的應(yīng)用.五、【過程實錄】圖11.知識點回顧垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧.數(shù)學(xué)表達(dá)為:如圖1,直徑DC垂直于弦AB,則AE=EB,劣弧AD等于劣弧BD,優(yōu)弧ACD=優(yōu)弧BCD.我們通常稱其為知二推三,即在下列5個元素中只要具備其中任意兩個,就可以推出其他三個:平分弦所對的優(yōu)弧;平分弦所對的劣弧;平分弦（不是直徑);垂直于弦;經(jīng)過圓心.涉及到線段的長度問題時通常采用勾股定理計算,由半徑AO、半弦AE、弦心距OE構(gòu)成直角三角形,滿足.垂徑定理是圓的重要性質(zhì)之一,它是證明圓內(nèi)線段、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù),也為圓中的計算、證明和作圖提供了依據(jù)、思路和方法.2.展示題目,分析試題題目:(2012寧波)圖3如圖3,ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2,D是線段BC上的一個動點,以AD為直徑畫O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長度的最小值為分析:本題是2012年寧波市中考試題第12題,是填空題的小壓軸題,具有一定難度.它是以圓為背景,在動點問題的基礎(chǔ)上求線段長度的最值,主要考查的是垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形等知識.圖4定性判斷:線段EF是圓周角BAC所對的弦,圓周角為定值60,要使所對的弦最短,則圓最小,即圓的直徑AD最短.化動為靜:由垂線段的性質(zhì)可知,當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時,直徑AD最短,此時線段EF最短.還原模塊:連接OE,OF,過O點作OHEF,垂足為H,在RtADB中,根據(jù)等腰直角三角形三邊的比值求直徑AD,由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,解直角三角形求EH,由垂徑定理可知EF=2EH3.解決試題解:如圖4,連接OE,OF,過O點作OHEF,垂足為H. (還原模塊:半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形)在RtADB中,ABC=45,AB=2,AD=BD=2,即此時圓的直徑為2,（暗示條件:45角構(gòu)成等腰直角三角形)由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60,在RtEOH中,EH=OEsinEOH=1=,由垂徑定理可知EF=2EH=.故答案為: 另解:如圖5,構(gòu)造含直徑的直角三角形求解,同學(xué)們可以自行嘗試求解.求弦長的兩種基本思路:（1)由垂徑定理出發(fā)的半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形;(2)含直徑和弦的直角三角形.4.解題反思本題考查了垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動變化,找出滿足條件的最小圓,即定性的判斷出點D在何處時線段EF取得最小值,此時就把動點問題靜態(tài)化,最后再解直角三角形即可求解.事實上我們可以借助題中的一些隱性條件和殘缺模塊快速尋求解題思路.比如條件就是一個隱性條件,通常情況下,題目中給出45角時,解題過程中往往會用到等腰直角三角形的性質(zhì),此時需要在圖形中尋找或構(gòu)造等腰直角三角形,本題中存在的等腰直角三角形為等腰RtABD.又如附1中2014年江西中考第12題;如果把以垂徑定理為基礎(chǔ)的半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形稱為一個基本模塊的話,本題中線段EF就是該模塊的殘缺形式,只有把模塊補(bǔ)充完整,才能順利求出線段EF的長度.如附2中2014年紹興中考試題.附1:隱性條件習(xí)題（2014年江西第12題)如圖，ABC內(nèi)接于O，AO=2，則BAC的度數(shù)_60.分析:本題中是特殊數(shù)值,觀察圖形特點,可構(gòu)造邊長比為1:1:的等腰三角形求解. 附2:殘缺模塊練習(xí)(2014年紹興)O與矩形ABCD的邊BC，AD分別相切和相交（E，F(xiàn)是交點)，已知EF=CD=8，則O的半徑為5分析:題中線段EF是圓O的弦，已知弦長求半徑，必然要考慮