正多邊形的有關(guān)概念、正多邊形與圓的關(guān)系

24 3正多邊形和圓 第二十四章圓 問(wèn)題 觀看大屏幕上這些美麗的圖案 都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的 你能從這些圖案中找出類(lèi)似的圖形嗎 導(dǎo)入新課 觀察與思考 問(wèn)題1什么叫做正多邊形 各邊相等 各角也相等的多邊形叫做正多邊形 問(wèn)題2矩形是正多邊形嗎 為什么 菱形是正多邊形嗎 為什么 不是 因?yàn)榫匦尾环细鬟呄嗟?不是 因?yàn)榱庑尾环细鹘窍嗟?正多邊形 各邊相等 各角相等 缺一不可 講授新課 問(wèn)題3正三角形 正四邊形 正五邊形 正六邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎 都是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎 正n邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形 都有n條對(duì)稱(chēng)軸 只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對(duì)稱(chēng)圖形 問(wèn)題3正三角形 正四邊形 正五邊形 正六邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎 都是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎 互動(dòng)探究 O A B C D 問(wèn)題1以正四邊形為例 根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì) 你能得出什么結(jié)論 E F G H EF是邊AB CD的垂直平分線 OA OB OD OC GH是邊AD BC的垂直平分線 OA OD OB OC OA OB OC OD 正方形ABCD有一個(gè)以點(diǎn)O為圓心的外接圓 O A B C D E F G H AC是 DAB及 DCB的角平分線 BD是 ABC及 ADC的角平分線 OE OH OF OG 正方形ABCD還有一個(gè)以點(diǎn)O為圓心的內(nèi)切圓 所有的正多邊形是不是也都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓 想一想 O A B C D E F G H R r 正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心 叫作正多邊形的中心 外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑 內(nèi)切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距 知識(shí)要點(diǎn) 正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角 叫做正多邊形的中心角 正多邊形的每個(gè)中心角都等于 60 120 120 90 90 90 120 60 60 正多邊形的外角 中心角 完成下面的表格 如圖 已知半徑為4的圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF 它的中心角等于度 OCBC 填 或 OBC是三角形 圓內(nèi)接正六邊形的面積是 OBC面積的倍 圓內(nèi)接正n邊形面積公式 C D O B E F A P 60 等邊 6 探究歸納 例1 有一個(gè)亭子 它的地基是半徑為4m的正六邊形 求地基的周長(zhǎng)和面積 精確到0 1m2 C D O E F A P 抽象成 典例精析 利用勾股定理 可得邊心距 亭子地基的面積 在Rt OMB中 OB 4 MB 4m O A B C D E F 解 過(guò)點(diǎn)O作OM BC于M 想一想 問(wèn)題1正n邊形的中心角怎么計(jì)算 問(wèn)題2正n邊形的邊長(zhǎng)a 半徑R 邊心距r之間有什么關(guān)系 a R r 問(wèn)題3邊長(zhǎng)a 邊心距r的正n邊形的面積如何計(jì)算 其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng) 如圖所示 正五邊形ABCDE內(nèi)接于 O 則 ADE的度數(shù)是 A 60 B 45 C 36 D 30 練一練 C 2 作邊心距 構(gòu)造直角三角形 1 連半徑 得中心角 圓內(nèi)接正多邊形的輔助線 當(dāng)堂練習(xí) 1 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 2 若正多邊形的邊心距與半徑的比為1 2 則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 3 4 要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為4cm的正方形鐵片 則選用的圓形鐵片的直徑最小要 cm 也就是要找這個(gè)正方形外接圓的直徑 3 如圖是一枚奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念幣的圖案 其形狀近似看作為正七邊形 則一個(gè)內(nèi)角為 度 不取近似值 5 如圖 四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形 若正方形的面積等于4 求 O的面積 解 正方形的面積等于4 則半徑為 O的面積為 正方形的邊長(zhǎng)AB 2 6 如圖 正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為 點(diǎn)P為六邊形內(nèi)任一點(diǎn) 則點(diǎn)P到各邊距離之和是多少 點(diǎn)P到各邊距離之和 3BD 3 6 18 解 過(guò)P作AB的垂線 分別交AB DE于H K 連接BD 作CG BD于G G H K P到AF與CD的距離之和 及P到EF BC的距離之和均為HK的長(zhǎng) 六邊形ABCDEF是正六邊形 AB DE AF CD BC EF BC CD BCD ABC CDE 120 CBD BDC 30 BD HK 且BD HK CG BD BD 2BG 2 BC cos CBD 6 拓廣探索如圖 M N分別是 O內(nèi)接正多邊形AB BC上的點(diǎn) 且BM CN 1 求圖 中 MON 圖 中 MON 圖 中 MON 2 試探究 MON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)n的關(guān)系 A B C M N M N M N O