《相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固-- 知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

宇軒在線資源中心 相似全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解決問題的能力.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).要點(diǎn)詮釋： (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形； (2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩 個(gè)圖形全等；2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比.3. 比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）要點(diǎn)二、相似三角形1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.2. 相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比； 相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.(3) 相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)： （1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等（2）相似多邊形的周長比等于相似比（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方要點(diǎn)三、位似1.位似圖形定義: 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比； （3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類型一、相似圖形及比例線段1. （2016崇明縣一模）如圖，已知ADBECF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，AC=14；（1）求AB、BC的長；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長【思路點(diǎn)撥】（1）由平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)得出，即可求出AB的長，得出BC的長；（2）過點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，得出AD=HE=GF=7，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出結(jié)果【答案與解析】解：（1）ADBECF，AC=14，AB=4，BC=144=10；（2）過點(diǎn)A作AGDF交BE于點(diǎn)H，交CF于點(diǎn)G，如圖所示：又ADBECF，AD=7，AD=HE=GF=7，CF=14，CG=147=7，BECF，BH=2，BE=2+7=9【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運(yùn)用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關(guān)鍵舉一反三【變式】（2015眉山）如圖，ADBECF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F已知AB=1，BC=3，DE=2，則EF的長為（）A4B5C6D8【答案】C.類型二、相似三角形2. 如圖所示，在44的正方形方格中，ABC和DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上(1)ABC=_，BC=_；(2)判斷ABC與DEF是否相似，并說明理由.【答案與解析】(1)135， (2)ABC和DEF相似(或ABCDEF). 因?yàn)?，所? 又因?yàn)锳BC=DEF=90+45=135，所以ABCDEF.【總結(jié)升華】根據(jù)正方形的性質(zhì)和格點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從邊角方面去探究兩三角形有關(guān)角的度數(shù)和邊的長度，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證明兩三角形相似舉一反三：【變式】下列44的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）.A B C D【答案】B.【高清課堂:相似專題復(fù)習(xí) ID號(hào)： 394502關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：“一線三等角”問題及例5】3. 在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：ADQQCP【答案與解析】BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，又ADQ=QCP=90，ADQQCP.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，以及相似三角形的判定.4. 如圖所示，在ABC和DBE中，若. (1)ABC與DBE的周長差為10 cm，求ABC的周長； (2)ABC與DBE的面積之和為170 cm2，求DBE的面積【答案與解析】(1) ， ABCDBE. ，設(shè)ABC的周長為5k cm，DBE的周長為3k cm， ， ABC的周長為.(2) ABCDBE， .設(shè)，. ，解得k=5， .【總結(jié)升華】相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方舉一反三【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，DE：EC=2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則SDEF：SEBF：SABF=（）A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25【答案】D.5. 如圖所示，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=6，ABC=60，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合)，且BEF=120，設(shè)，. (1)求y與x的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【答案與解析】(1)在梯形ABCD中，ADBC， AB=DC=AD=6，ABC=60，所以A=D=120， 所以AEB+ABE=180-120=60. 因?yàn)锽EF=120，所以AEB+DEF=180-120=60， 所以ABE=DEF. 所以ABEDEF，所以. 因?yàn)?，所以?所以y與x的函數(shù)解析式是. (2)，所以當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為.【總結(jié)升華】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題.舉一反三【變式】如圖所示，在RtABC中，A=90，AB=8，AC=6若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度過點(diǎn)D作DEBC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長為y(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，BDE的面積S有最大值，最大值為多少?【答案】(1)因?yàn)镈EBC，所以ADEABC，所以.又因?yàn)锳B=8，AC=6，所以，即，自變量x的取值范圍為. (2) .所以當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為6.類型三、位似6. 將下圖中的ABC作下列變換，畫出相應(yīng)的圖形，指出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)所發(fā)生的變化(1)沿y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位；(2)關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)以C點(diǎn)為位似中心，放大到1.5倍【答案與解析】變換后的圖形如下圖所示(1)將ABC沿y軸負(fù)方向平移1個(gè)單位后得到A1B1C1， A1(-5，-1)，B1(0，2)，C1(0，-1) 即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減小(2)將ABC關(guān)于x軸對(duì)稱后，得A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0) 即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)(3)將ABC以C點(diǎn)為