2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末復(fù)習(xí)課講義新人教B版.docx

第2章 推理與證明合情推理1歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟2類(lèi)比推理的特點(diǎn)及一般步驟【例1】觀察式子：1，1，1，由此可歸納出的式子為()A1B1C1D1(2)兩點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sin()0；三點(diǎn)等分單位圓時(shí)，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sinsin0，由此可以推知，四點(diǎn)等分單位圓時(shí)的相應(yīng)正確關(guān)系為_(kāi)思路探究(1)觀察各式特點(diǎn)，找準(zhǔn)相關(guān)點(diǎn)，歸納即得(2)觀察各角的正弦值之間的關(guān)系得出結(jié)論解析(1)由各式特點(diǎn)，可得10，b0，ab1，求證：8.試用綜合法和分析法分別證明思路探究(1)綜合法：根據(jù)ab1，分別求與的最小值(2)分析法：把變形為求證解法一：(綜合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)法二：(分析法)a0，b0，ab1，要證8，只要證8，只要證8，即證4.也就是證4.即證2，由基本不等式可知，當(dāng)a0，b0時(shí)，2成立，所以原不等式成立2(1)已知a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)求證：a2b2c2()(2)用分析法證明：2cos().解(1)因?yàn)閍2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因?yàn)閍，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)，所以上面三個(gè)式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因?yàn)閍bbc2，bcac2，abac2，又a，b，c為互不相等的非負(fù)數(shù)，所以abbcac()，所以a2b2c2()(2)要證原等式成立，只需證：2cos()sin sin(2)sin ，因?yàn)樽筮?cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右邊，所以成立，即原等式成立.反證法反證法是間接證明的一種基本方法，用反證法證明時(shí)，假定原結(jié)論的對(duì)立面為真，從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論反證法的思路：反設(shè)歸謬結(jié)論【例3】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列思路探究(1)利用等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式；(2)利用反證法證明要證的結(jié)論解(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對(duì)任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列3設(shè)an，bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cnanbn.證明：數(shù)列cn不是等比數(shù)列證明假設(shè)數(shù)列cn是等比數(shù)列，則(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)因?yàn)閍n，bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aan1an1，bbn1bn1代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2，當(dāng)p，q異號(hào)時(shí)，2，與相矛盾故數(shù)列cn不是等比數(shù)列.數(shù)學(xué)歸納法1關(guān)注點(diǎn)一：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是數(shù)學(xué)歸納法的常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少2關(guān)注點(diǎn)二：由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要利用nk時(shí)的式子，即利用假設(shè)，正確寫(xiě)出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明【例4】已知正數(shù)數(shù)列an(nN)中，前n項(xiàng)和為Sn，且2Snan，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S1，所以a1(an0)，所以a11，又1，所以n1時(shí)，結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(k1，kN)時(shí)，結(jié)論成立，即ak.當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk，所以a2ak110，解得ak1(an0)，所以nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)(2)可知，對(duì)nN都有an.4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(nN)，a22.(1)求an的前三項(xiàng)a1，a2，a3；(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并證明解(1)由Sn，得a11，又由a22，得a33.(2)猜想：ann.證明如下：當(dāng)n1時(shí)，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，猜想成立，即akk，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk.所以ak1k1，所以當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立根據(jù)知，對(duì)任意nN，都有ann.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂在本章中，合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化；數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊、有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化；反證法體現(xiàn)的是對(duì)立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化【例5】設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中的a，b，c都為整數(shù)，已知f(0)，f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)0無(wú)整數(shù)根思路探究假設(shè)方程f(x)0有整數(shù)根k，結(jié)合f(0)，f(1)均為奇數(shù)推出矛盾解假設(shè)方程f(x)0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2bkc0，f(0)c，f(1)abc都為奇數(shù)，ab必為偶數(shù)，ak2bk為奇數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k2n(nZ)，則ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必為偶數(shù)，與ak2bk為奇數(shù)矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)(2naab)為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與ak2bk為奇數(shù)矛盾綜上可知，方程f(x)0無(wú)整數(shù)根5用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除證明設(shè)n2m1，mN，則xnynx2m1y2m1要證明原命題成立，只需證明x2m1y2m1能被xy整除(mN)(1)當(dāng)m1時(shí)，x2m1y2m1xy能被xy整除(2)假設(shè)當(dāng)mk(kN)時(shí)命題成立，即x2k1y2k1能被xy整除，那么當(dāng)mk1時(shí)，x2(k1)1y2(k1)1x2k21y2k21x2k1x2x2k1y2y2k1y2x2k1y2x2k1(x2y2)y2(x2k1y2k1)x2k1(xy)(xy)y2(x2k1y2k1)因?yàn)閤2k1(xy)(xy)與y2(x2k1y2k1)均能被xy整除，所以當(dāng)mk1時(shí)，命題成立由(1)(2)，知原命題成立1甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則()A乙可以知道四人的成績(jī)B丁可以知道四人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)解析由甲說(shuō)：“我還是不知道我的成績(jī)”可推知甲看到乙、丙的成績(jī)?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”乙看丙的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績(jī)丁看甲的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績(jī)故選D.答案D2袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個(gè)空盒每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多解析通過(guò)隨機(jī)事件直接分析出現(xiàn)情況的可能性取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況：紅紅，則乙盒中紅球數(shù)加1；黑黑，則丙盒中黑球數(shù)加1；紅黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1；黑紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣多，所以和的情況一樣多，和的情況完全隨機(jī)和對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣綜上，選B.答案B3觀察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此規(guī)律，當(dāng)nN時(shí)，CCCC_.解析觀察每行等式的特點(diǎn)，每行等式的右端都是冪的形式，底數(shù)均為4，指數(shù)與等式左端最后一個(gè)組合數(shù)的上標(biāo)相等，故有CCCC4n1答案4n14ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長(zhǎng)解(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.5如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值解(1)由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，