數(shù)值分析大綱.doc

【課程編號】Z0181508數(shù)值分析Numerical Analysis【學(xué)分】5 【學(xué)時】80 【性質(zhì)】學(xué)科基礎(chǔ) 【上機(jī)】10（一）授課對象四年制本科信息與計算科學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。（二）課程的性質(zhì)和地位本課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)計劃中的學(xué)科基礎(chǔ)課程之一。數(shù)值分析是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個分支，是一門與計算機(jī)使用密切結(jié)合的實用性很強的數(shù)學(xué)課程，也是科學(xué)計算的基礎(chǔ)。數(shù)值分析是以各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法作為研究對象，并結(jié)合現(xiàn)代計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)為解決科學(xué)與工程中遇到的各類數(shù)學(xué)問題提供基本的算法。數(shù)值分析課程是研究用計算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法和理論。重在分析各種算法的可行性及優(yōu)劣評價。通過學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握數(shù)值分析的基本知識，建立創(chuàng)造性思維。學(xué)會使用各種方法解決實際問題的技能技巧。并為后繼應(yīng)用型課程奠定基礎(chǔ)。（三）課程的教學(xué)目標(biāo)通過本課程的學(xué)習(xí)學(xué)生應(yīng)達(dá)到如下教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握如下基本知識誤差基本概念和性質(zhì)、矩陣分析基礎(chǔ)、解線性方程組的直接方法和迭代方法、矩陣特征值與特征向量的計算、非線性代數(shù)方程（組）求解、插值法、最佳平方逼近與曲線擬合、數(shù)值積分、數(shù)值微分、常微分方程初值問題的數(shù)值方法。2. 掌握如下基本理論及方法(1) 解誤差的基本概念與性質(zhì)，絕對誤差及絕對誤差限、相對誤差及相對誤差限和有效數(shù)字之間的關(guān)系。掌握向量范數(shù)、矩陣范數(shù)的基本概念、計算與性質(zhì)；(2) 握解線性方程組的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解及 Jocobi 迭代、 Gauss-Seidel 和超松弛迭代方法，理解這些方法的構(gòu)造過程和特點以及適用的線性方程組。能判別 Jocobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的斂散性 , 了解解特殊線性方程組的追趕法 ,知道直接解法的誤差分析及病態(tài)方程組概念；(3) 握求矩陣按模最大特征值及相應(yīng)特征向量的冪法，了解冪法計算時常用的原點平移法。掌握求矩陣按模最小特征值及相應(yīng)特征向量的反冪法。了解求對稱矩陣全部特征值及相應(yīng)特征向量的 Jacobi 方法。掌握求一般矩陣全部特征值的 QR 方法。了解這些數(shù)值方法的適用范圍；(4) 解并掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值、 Hermite 插值的構(gòu)造和計算，掌握這些插值函數(shù)的余項表達(dá)式的求法、形式、作用及估計，并能用插值基函數(shù)思想求任何插值條件的插值函數(shù)問題，掌握分段插值及三次樣條函數(shù)插值的構(gòu)造思想、特點和計算方法；(5) 解正交多項式的概念，掌握求函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的方法；了解曲線擬和最小二乘法的意義，掌握多項式擬和的方法；(6) 理解求積公式及代數(shù)精度概念，掌握確定求積公式的代數(shù)精度的方法,掌握 Newton-Cotes 求積公式、 Romberg 算法及 Gauss 求積公式的構(gòu)造技術(shù)、特點及余項形式。掌握復(fù)化梯形求積公式、復(fù)化 Simpson 求積公式的構(gòu)造技術(shù)及余項形式 . 了解上述求積公式的適用類型并會熟練使用這些公式做數(shù)值積分；(7) 掌握解常微分方程初值問題的單步法的基本概念以及相容性、收斂性、穩(wěn)定性，掌握 Runge-Kutta 方法的構(gòu)造特點，會用 Runge-Kutta 方法解常微分方程初值問題。了解線性多步法。3. 掌握如下基本技能(1) 過理論課教學(xué)，掌握現(xiàn)代科學(xué)計算中常用的數(shù)值計算方法及其基本理論； (2) 過實踐課教學(xué)，熟練數(shù)值方法的實際應(yīng)用，鍛煉學(xué)生的編程能力和實踐能力； (3) 過課外科技活動，盡早訓(xùn)練學(xué)生從事交叉學(xué)科研究的科學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。同時，本課程的學(xué)習(xí)為解決科學(xué)與工程中的實際問題打好基礎(chǔ)，后繼課程的學(xué)習(xí)提供必要的知識。（四）教學(xué)內(nèi)容1.緒論（1）數(shù)值分析研究對象；（2）誤差知識與算法知識；（3）向量范數(shù)與矩陣范數(shù)。重點：絕對誤差相對誤差和有效數(shù)字之間的關(guān)系、向量范數(shù)、矩陣范數(shù)。難點：向量范數(shù)和矩陣范數(shù)的相容性。2 .線性方程組的解法（1） Gauss消去法；（2）直接三角分解法；（3）矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組；（4）迭代法。重點：Gauaa消去法的基本思想、三角分解法實現(xiàn)過程、矩陣條件數(shù)、病態(tài)方程組的求解方法、迭代法的原理、迭代公式的收斂性。難點：迭代法的收斂性。3. 矩陣特征值與特征向量的計算（1）冪法和反冪法；（2）Iacobi方法；（3）QR方法。重點：冪法的原理、QR分解法的原理和方法。難點：QR方法。4非線性方程與非線性方程組的迭代解法（1）非線性方程的迭代解法；（2）非線性方程組的迭代解法。重點：二分法、Newton法、割線法。難點：Newton法的收斂性和收斂速度。5插值與逼近（1）代數(shù)插值；（2）Hermite插值；（3）樣條插值；（4）角插值與快速Fourier變換；（5）正交多項式；（6）函數(shù)的最佳平方逼近。重點：插值法的原理、樣條插值、最佳平方逼近。難點：樣條插值。6數(shù)值積分（1）求積公式及其代數(shù)精度；（2）插值型求積公式；（3）NewtonCotes求積公式；（4）NewtonCotes求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性；（5）復(fù)化求積法；（6） Romberg積分法；（7） GaUSS型求積公式；（8）二重積分的數(shù)值求積法。重點：求積公式的代數(shù)精度、插值型求積公式、Romberg積分法、Gauss型求積公式。難點：求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性。7常微分方程初值問題的數(shù)值解法（1）一般概念；（2）顯式單步法；（3）線性多步法；（4）步長的選擇；（5）常微分方程組與剛性問題。重點：Euler 法、線性多步法。難點：步長的選擇。8偏微分方程的差分解法（1）橢圓型方程第一邊值問題；（2）拋物型方程初邊值問題；（3）雙曲型方程的特征一差分解法。重點：各類方程差分格式的構(gòu)造。難點：差分格式的數(shù)值穩(wěn)定性。（五）教學(xué)實踐環(huán)節(jié)安排上機(jī)（10學(xué)時）1誤差傳播與算法穩(wěn)定性（2學(xué)時）利用兩種算法計算某個積分，討論比較兩種算法的穩(wěn)定性。2線性方程組的解法（2學(xué)時）利用列主元素高斯消去法、Jacobi迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解線性方程組3矩陣特征值的求法（2學(xué)時）用冪法求矩陣的按模最大的特征值與特征向量。用反冪法改進(jìn)矩陣的特征值。4迭代函數(shù)對收斂性的影響（2學(xué)時）選取不同的迭代函數(shù)求解非線性方程，比較其結(jié)果，體會不同的迭代函數(shù)對收斂性的影響。5數(shù)值積分（2學(xué)時）利用Newton-cotes型求積公式、Romberg算法、Gauss型求積公式計算積分。（六）教學(xué)方式與習(xí)題要求本課程采用啟發(fā)式與討論式結(jié)合的教學(xué)方法，應(yīng)充分利用多媒體課件以及實物教具等教學(xué)手段。為鞏固基本概念、基本理論，使學(xué)生靈活掌握所學(xué)知識，活躍學(xué)習(xí)氣氛，增強學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排習(xí)題課與課堂討論。每章應(yīng)布置一定數(shù)量的習(xí)題，習(xí)題出自教材。（七）考核辦法 采用閉卷形式對學(xué)生進(jìn)行考核，學(xué)生的最終成績評定按考試成績占80%，平時成績占20%進(jìn)行統(tǒng)計。（八）推薦教材或講義及主要參考書1顏慶津編：數(shù)值分析(修訂版)，北京航空航天大學(xué)出版社，1999年。2孟大志、劉偉編：現(xiàn)代科學(xué)與工程計算，高等教育出版社，2009年。3李慶揚等編.：數(shù)值分析（第四版），清華大學(xué)出版社，2001年。4林成森編：數(shù)值分析，科學(xué)出版社，2006年。（九）學(xué)時分配