高一數(shù)學必修一必修二各章知識點總結(jié).doc

數(shù)學必修1各章知識點總結(jié)第一章 集合與函數(shù)概念一、集合（一）集合有關(guān)概念1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性3.集合的表示： （1）常用數(shù)集及其記法 （2）列舉法 （3）描述法4、集合的分類：有限集、無限集、空集5. 常見集合的符號表示：數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或（二）集合間的基本關(guān)系1.子集、真子集、空集； 2.有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集；3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.（三）集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)設(shè)U是一個集合，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補集（或余集）記作，即CUA=韋恩圖示UA性質(zhì)AA=AA=AB=BAABAABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 二、函數(shù)（一）函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域.2.常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：解析法：必須注明函數(shù)的定義域；圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征優(yōu)點：解析法：便于算出函數(shù)值.列表法：便于查出函數(shù)值.圖象法：便于量出函數(shù)值.求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1； (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；(6)指數(shù)為零底不可以等于零； (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數(shù)的判斷方法：(以下兩點必須同時具備)(1)表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；(2)定義域一致. 求函數(shù)值域方法 :（先考慮其定義域）（1）函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2)應(yīng)熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ). (3)求函數(shù)值域的常用方法有：直接法、換元法、配方法、分離常數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法等.2. 函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù).(2) 畫法:描點法;圖象變換法常用變換方法有三種:平移變換;對稱變換；*伸縮變換.3區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示4映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射.記作“f（對應(yīng)關(guān)系）：A（原象集）B（象集）”對于映射f：AB來說，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象.5.分段函數(shù) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)；(2)各部分的自變量的取值情況；(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集（二）函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.定義的變形應(yīng)用：如果對任意的，且有或者，則函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)；如果對任意的，且有或者，則函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù).注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì).（2）圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3)函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x11，且*u 負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作.當是奇數(shù)時，當是偶數(shù)時，2分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，u 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）；（2）；（3）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和12指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a1）或 (0a10a1定義域：定義域：值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1，0）函數(shù)圖象都過定點（1，0）三、冪函數(shù)1冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2冪函數(shù)性質(zhì)歸納：（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）當時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）當時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點1函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.2函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點3函數(shù)零點的求法： （代數(shù)法）求方程的實數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點4二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)（1），方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點（2），方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點（3），方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點二、函數(shù)的應(yīng)用解答數(shù)學應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然后進行科學的抽象、概括，將實際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學問題；二是要合理選取參變數(shù)，設(shè)定變元后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型；最終求解數(shù)學模型使實際問題獲解.數(shù)學必修2各章知識點總結(jié)第一章 空間幾何體1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（要補充直棱柱、正棱柱、正棱錐、正棱臺、平行六面體的定義）結(jié) 構(gòu) 特 征性質(zhì)圖例棱柱（1）兩底面相互平行，其余各面都是平行四邊形；（2）側(cè)棱平行且相等.圓柱（1）兩底面相互平行；（2）側(cè)面的母線平行于圓柱的軸；（3）是以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體.棱錐（1）底面是多邊形，各側(cè)面均是三角形；（2）各側(cè)面有一個公共頂點.圓錐（1）底面是圓；（2）是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體.棱臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分.圓臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分.球（1）球心到球面上各點的距離相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體.2、空間幾何體的三視圖三視圖定義：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度.3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點：原來與x軸平行的線段仍然與x軸平行且長度不變；原來與y軸平行的線段仍然與y軸平行，長度為原來的一半.4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）柱體、錐體、臺體的表面積（幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和）表面積相關(guān)公式表面積相關(guān)公式棱柱圓柱 （r：底面半徑，h：高）棱錐圓錐 （r：底面半徑，l：母線長）棱臺圓臺（r：下底半徑，r：上底半徑，l：母線長）（2）柱體、錐體、臺體的體積公式體積公式體積公式棱柱圓柱棱錐圓錐棱臺圓臺（3）球體的表面積和體積公式：V= ； S=第二章 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（1）平面 平面的概念： 平面是無限伸展的. 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內(nèi)）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC. 點與平面的關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作；點不在平面內(nèi)，記作.點與直線的關(guān)系：點A在直線l上，記作：Al； 點A在直線l外，記作Al.直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l；直線l不在平面內(nèi)，記作l.（2）平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.符號語言公理2的三條推論：推論1： 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面； 推論2： 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3： 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.（3）空間直線與直線之間的位置關(guān)系公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行空間兩條直線的位置關(guān)系：異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線異面直線所成角：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，為了簡便，點通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作. 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點平移定角計算. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補.（4）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點三種位置關(guān)系的符號表示：； A ； .（5）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點，記作.相交有一條公共直線，記作b.2、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.(線線平行線面平行)符號表示為：. 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.線面平行線線平行符號表示為：（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.（線面平行面面平行），用符號表示為：.*（2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行.（線線平行面面平行），*（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行.（面面平行線面平行）用符號表示為：，（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行.（面面平行線線平行）用符號表示為：，,b 3、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直.線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直.平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直.（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面.（線線垂直線面垂直）用符號表示為：，B，性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行. 用符號表示為：， 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.（線面垂直面面垂直） 用符號表示為：，. 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.（面面垂直線面垂直） 用符號表示為：，.4、空間角問題（1）直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為.兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角.兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角.（2）直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為. 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為.平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”.（3）二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點，過這個點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線得到二面角平面角.*垂面法：已知二面角內(nèi)一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角第三章 直線與方程1、直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度.因此，傾斜角的取值范圍是0180（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用k表示.即.斜率反映直線與軸的傾斜程度.當時，；當時，； 當時，不存在.過兩點的直線的斜率公式： 設(shè)，則線段AB中點坐標公式為2、直線的方程 （1）直線方程的幾種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點式y(tǒng)y1y2y1xx1x2x1不含直線xx1(x1x2) 和直線yy1(y1y2)截距式xayb1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用注意：各式的適用范圍; 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）. （2）直線系方程（即具有某一共同性質(zhì)的直線）平行直線系：平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系方程為：（C為參數(shù)）垂直直線系：垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系方程為：（C為參數(shù)）過定點的直線系:（）斜率為k的直線系方程為，直線過定點；*（）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中.3、兩直線平行與垂直已知，則；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否.4、兩條直線的交點 ，相交，交點坐標即方程組的一組解.方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合5、距離公式：(1)平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離為|P1P2|.特別地，當所在直線與x軸平行時，；當所在直線與y軸平行時，；(2)平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0(A，B不同時為0)的距離為d|Ax0By0C|r(A2B2).(3)兩條平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20(其中A，B不同時為0，且C1C2)間的距離為d|C1C2|r(A2B2).第三章 圓與方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.2、圓的方程（1）標準方程，圓心，半徑為；（2）一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點； 當時，方程不表示任何圖形.（3）求圓方程的方